第一节函数及其表示.docx

第一节函数及其表示.docx

《第一节函数及其表示.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一节函数及其表示.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第一节函数及其表示

第二章

函数、导数及其应用

近三年广东高考中对本章考点考查的情况

年份

题号

赋分

所考查的知识点

2011

4

5

函数的定义域

10

5

函数的新定义问题

19

14

利用导数讨论含参数的函数的单调性

2012

4

5

函数的奇偶性

11

5

函数的定义域

21

14

三次函数的极值、分类讨论

2013

2

5

对数函数的定义域

12

5

导数的几何意义

21

14

三次函数的单调性、最值

本章内容主要包括：

函数的概念与表示，函数的基本性质，基本初等函数，函数的应用，导数的概念、运算及应用．

1．函数的概念、表示和函数的基本性质（单调性与最值、奇偶性、周期性）：

（1）判断两函数是否为同一函数，确定定义域与对应关系即可．

（2）用换元法求函数的解析式时，注意换元前后的等价性．

（3）单调性与最值是函数的局部性质，凸显用导数研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围．

（4）奇偶性是函数的整体性质，奇偶性、周期性的综合运用灵活多变．

2．基本初等函数：

以具体的二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等函数的概念、性质和图象为主要考查对象，适当考查分段函数、抽象函数．

3．函数的应用主要包含：

函数与方程、函数模型及应用两部分内容．

（1）对函数是否存在零点（方程是否存在实根）进行判断或利用零点（方程实根）的存在情况求相关参数的取值范围，是高考中常见的题目类型．

（2）函数的实际应用问题，多以社会实际生活为背景，设问新颖、灵活，综合性较强．

4．导数的概念、运算及应用．

高考总复习·数学（文科）

（1）导数的概念是推导基本初等函数导数公式和四则运算法则的基础．

（2）利用导数求曲线的切线方程时，一定要分清已知点是否在曲线上．另外，曲线的切线和平面几何中圆的切线概念易混淆，曲线在点P（x0，f（x0））处的切线是曲线另一点Q无限接近点P时的极限位置，它与曲线可能还有其他公共点．

（3）利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，还要注意公式不要用混．

（4）导数的应用包括函数的单调性、极值、最值等方面，单调性是关键，一个函数的递增区间或递减区间有多个时，不能盲目地将它们取并集，特别是函数的定义域不能忽略．

在选择题和填空题中出现，主要以导数的运算、导数的几何意义、导数的应用为主（研究函数的单调性、极值和最值等）；在解答题中，有时作为压轴题，主要考查导数的综合应用，往往与函数、方程、不等式、数列、解析几何等联系在一起，考查学生的分类讨论、转化与化归等思想．

预测高考对本部分内容的考查，仍会以小题和大题的形式出现，小题主要考查基本初等函数的图象、性质，几种常见函数模型在实际问题中的应用以及函数零点，函数与方程的关系等，大题主要以函数为背景，以导数为工具，考查应用导数研究函数的单调性、极值或最值问题，在函数、不等式、解析几何等知识网络交汇点命题．

复习本章要重点解决好五个问题：

1．准确、深刻地理解函数的有关概念．

概念是数学的基础，而函数是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学数学的始终．数、式、方程、不等式、导数、数列等都是以函数为中心的代数知识．近十年来，高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线．

2．揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系．

函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容．

3．把握数形结合的特征和方法．

函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，图象有效地揭示了各类函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性．因此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换、伸缩变换．

4．认识函数思想的实质，强化应用意识．

函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系，使问题得以解决．纵观近几年高考题，考查函数思想方法，尤其是应用题力度加大，因此一定要认识函数思想的实质，强化应用意识．

5．运用好导数这一锐利武器．

应始终把握对导数概念的认识、计算及应用这条主线．复习应侧重概念、公式、法则在各方面的应用，应淡化某些公式、法则的理论推导，应立足基础知识和基本方法的复习，以熟练技能、强化应用为目标．学会优先考虑利用导数求函数的极大（小）值、最大（小）值或解决应用问题，这些问题是函数内容的继续与延伸，这种方法使复杂问题简单化．导数与解析几何或函数图象的综合问题，尤其是抛物线与三次函数的切线问题，是高考中考查综合能力的一个方向，应引起注意．

第一节　函数及其表示

1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．

2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数．

3．了解简单的分段函数，并能简单应用．

知识梳理

一、函数与映射的概念

函数

映射

两集合

A、B

设A、B是两个________

设A、B是两个________

对应关系

f：

A→B

如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的______一个数x，在集合B中有______确定的数f（x）和它对应

如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的______一个元素x，在集合B中有________的元素y与之对应

名称

称________为从集合A到集合B的一个函数

称对应________为从集合A到集合B的一个映射

记法

y＝f（x），x∈A，x∈B

对应f：

A→B是一个映射

二、函数的表示

1．函数的表示方法．

表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种．

（1）解析法：

就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式．

（2）列表法：

就是列出表格来表示两个变量的函数关系．

（3）图象法：

就是用函数图象表示两个变量之间的关系．

2．函数解析式的常用求法．

（1）配凑法；

（2）换元法；（3）待定系数法；（4）赋值法．

三、函数定义域的确定

1．定义域是函数的灵魂，因此在研究函数时一定要遵循“定义域优先”的原则．

确定函数的定义域的原则是：

（1）当函数y＝f（x）是用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合；

（2）当函数y＝f（x）是用图象给出时，函数的定义域是指图象在x轴上投影所覆盖的实数x的集合；

（3）当函数y＝f（x）是用解析式给出时，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集合；

（4）当y＝f（x）是由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定．

基础自测

1．下列图形中不能作为函数图象的是（　　）

解析：

根据函数定义，定义域内任何一个x取值，都有且只有唯一的y＝f（x）与之对应，故选D.

答案：

D

2．设A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤2}，则f：

A→B不是函数的是（　　）

A．f：

x→y＝

xB．f：

x→y＝

x

C．f：

x→y＝

xD．f：

x→y＝

x

解析：

因为x∈A，y＝

x∈[0,3]，而B＝{y|y∈[0,2]}．由函数定义可知，对于6∈A，在集合B中找不到其对应元素3，故f：

x→y＝

x不是函数．故选A.

答案：

A

3．（2013·浙江卷文11改编）已知函数f（x）＝

.若f（a）＝2

，则实数a＝（　　）

A.

B．－3

C.3或－3D.

或－

解析：

因为f（x）＝

，且f（a）＝2

，所以

＝2

，即a2＝9，所以a＝3或－3.故选C.

答案：

C

4.（2013·东莞城南中学月考）若函数f（x）＝

，则f（x）的定义域是__________.

解析：

1－log2x≥0，所以log2x≤1，得0＜x≤2，即定义域为（0,2]．

答案：

（0,2]

2.由解析式表示的函数的定义域的求法．

（1）若f（x）是整式，则函数的定义域是实数集R；

（2）若f（x）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；

（3）若f（x）是二次（偶次）根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；

（4）若f（x）是对数式，则函数的定义域是使真数的式子大于0且底数大于0并不等于1的实数集合；

（5）若f（x）是指数式，则零指数幂的底数不等于零；

（6）若f（x）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；

（7）含参问题的定义域要分类讨论．

四、分段函数

1．分段函数的定义：

在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，叫做分段函数．它是一类较特殊的函数．

2．分段函数是一个函数，而不是几个函数．若函数为分段函数，则分别求出每一段上的解析式，再合在一起．

3．因分段函数在其定义域内的不同子集上，其对应法则不同而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在的子集，而代入相应的解析式去求函数值，不要代错解析式．

4．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．

一、非空数集　非空集合　任意　唯一　任意　唯一确定　f：

A→B　f：

A→B

1．（2013·山东卷）函数f（x）＝

＋

的定义域为（　　）

A．（－3,0]B．（－3,1]

C．（－∞，－3）∪（－3,0]D．（－∞，－3）∪（－3,1]

解析：

由题意

解得－3＜x≤0，故选A.

答案：

A

2．（2013·新课标全国I卷）已知函数f（x）＝

若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（　　）

A．（－∞，0]B．（－∞，1]

C．[－2,1]D．[－2,0]

解析：

∵|f（x）|＝

∴由|f（x）|≥ax得，

且

由

可得a≥x－2，则a≥－2，排除A、B，

当a＝1时，易证ln（x＋1）

故a＝1不适合，排除C，故选D.

答案：

D

1．已知函数f（x）＝

若f

（1）＋f（a）＝2，则a的所有可能值为（　　）

A．1或－10B．－1或10

C．2或－10D．－2或10

解析：

因为f

（1）＝e1－1＝1，所以f（a）＝1，

当a≥0时，显然a＝1满足；

当a<0时，令lg（－a）＝1，得－a＝10，即a＝－10满足．故选A.

答案：

A

2．已知函数f（x）＝

，则函数f[f（x）]的定义域是_______．

解析：

由x＋1≠0且

＋1≠0，得x≠－1，且x≠－2.∴定义域为{x|x≠－1，且x≠－2}．

答案：

{x|x≠－1，且x≠－2}