∴r＝＝－5cosθ，∴sinα＝－，cosα＝，tanα＝－.
（2）∵P（x，－）（x≠0），
∴点P到原点的距离r＝，∴cosα＝.
又∵cosα＝x，∴＝x.
∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2.
当x＝时，P（，－），由三角函数的定义，得sinα＝－，tanα＝－.
当x＝－时，P（－，－），由三角函数的定义，得sinα＝－，tanα＝.
考点三同角三角函数基本关系式的应用
【例3】已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝.
（1）求tanα的值；
（2）把用tanα表示出来，并求其值．
[自主解答]
（1）法一：
联立方程
由①得cosα＝－sinα，
将其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0，
∵α是三角形内角，∴，∴tanα＝－.
法二：
∵sinα＋cosα＝，
∴（sinα＋cosα）2＝（）2，即1＋2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝－，
∴（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα＝1＋＝.
∵sinαcosα＝－<0且0<α<π，∴sinα>0，cosα<0，∴sinα－cosα>0，
∴sinα－cosα＝，由，得，∴tanα＝－.
（2）＝＝＝
∵tanα＝－，∴＝＝＝－.
1.保持题目条件不变，求：
2sin2α＋2sinαcosα的值.
解：
由例题可知tanα＝－
（1）＝＝＝.
（2）sin2α＋2sinαcosα＝＝＝＝－.
2.已知＝，求下列各式的值：
（1）；
（2）1－4sinθcosθ＋2cos2θ.
解：
法一：
由＝得sinθ＝2cosθ.
（1）＝＝＝1；
（2）1－4sinθcosθ＋2cos2θ＝sin2θ＋cos2θ－4sinθcosθ＋2cos2θ＝5cos2θ－8cos2θ＋2cos2θ
＝－cos2θ＝－＝－＝－.
法二：
由＝得＝，解得tanθ＝2.
于是：
（1）＝＝＝1；
（2）1－4sinθcosθ＋2cos2θ＝
＝＝＝－.
考点四利用诱导公式化简、求值
【例4】
（1）设f（α）＝（1＋2sinα≠0），求f（－π）的值．
（2）化简sin（nπ＋π）·cos（nπ＋π）（n∈Z）．
=[自主解答]
（1）∵f（α）＝
＝＝＝，
∴f（－）＝＝＝＝.
（2）当n＝2k（k∈Z）时，
原式＝sin（2kπ＋π）·cos（2kπ＋π）＝sinπ·cosπ
＝sin·（－cos）＝×（－）＝－.
当n＝2k＋1（k∈Z）时，原式＝sin[（2k＋1）π＋π]·cos[（2k＋1）π＋π]
＝sin（π＋π）·cos（π＋π）＝－sinπ·cos
＝－sin·cos＝－×＝－.∴原式＝－.
1.化简（k∈Z）．
解：
当k为偶数2n（n∈Z）时，
原式＝
＝＝＝＝－1；
当k为奇数2n＋1（n∈Z）时，
原式＝＝＝＝－1.
∴当k∈Z时，原式＝－1.
2.（2010·全国卷Ⅰ）记cos（－80°）＝k，那么tan100°＝（ ）
A.B．－C.D．－
[规范解答] cos（－80°）＝cos80°＝k，sin80°＝，tan80°＝
，tan100°＝－tan80°＝－.
[答案] B
四、技法巧点总结：
1．常见的终边相同的角的表示
角α终边的位置
角α的集合
在x轴的非负半轴上
{α|α＝2kπ，k∈Z}
在x轴的非正半轴上
{α|α＝2kπ＋π，k∈Z}
在y轴的非负半轴上
{α|α＝2kπ＋，k∈Z}
在y轴的非正半轴上
{α|α＝2kπ＋，k∈Z}
在x轴上
{α|α＝kπ，k∈Z}
在y轴上
{α|α＝kπ＋，k∈Z}
在坐标轴上
{α|α＝，k∈Z}
2．三角函数定义的拓展
已知角α终边上一点P（x，y），求α的三角函数值时，可先求出该点到原点的距离r，再利用下式求解：
sinα＝，cosα＝，tanα＝，这也可看作三角函数的定义．
3．三角函数求值应注意的问题
（1）由一个角的一个三角函数值求其他三角函数值时，要注意讨论角的范围．
（2）注意公式的变形使用，弦切互化、三角代换、消元是三角代换的重要方法，要尽量减少开方运算，慎重确定符号．
4．应用同角三角函数基本关系式的常见规律
（1）sinα＋cosα、sinα－cosα与sinαcosα的关系
（sinα＋cosα）2＝1＋2sinαcosα；
（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα；
（sinα＋cosα）2＋（sinα－cosα）2＝2；
（sinα＋cosα）2－（sinα－cosα）2＝4sinαcosα.
对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，已知其中一个式子的值，可求其余二式的值．
（2）“1”的代换
在求值、化简、证明时，常把1表示为三角函数式或特殊角的三角函数值参与运算．使问题得以简化，常见的代换如下：
1＝sin2α＋cos2α，1＝tan，1＝（sinα＋cosα）2－2sinαcosα.
5、巩固练习：
1．若点P在角π的终边上，且|OP|＝2，则点P的坐标为（ ）
A．（1，） B．（，－1）
C．（－1，－）D．（－1，）
解析：
设P（x，y），则x＝2cosπ＝－1，
y＝2sinπ＝，即P（－1，）．
2．若角α的终边与角β的终边关于原点对称，则（ ）
A．α＝β
B．α＝180°＋β
C．α＝k·360°＋β，k∈Z
D．α＝k·360°＋180°＋β，k∈Z
解析：
借助图形可知，若角α与β的终边关于原点对称，
则α＝k·360°＋180°＋β.
3．（2011·大连模拟）点P从（1,0）出发，沿单位圆x2＋y2＝1顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为（ ）
A．（－，）B．（－，－）
C．（－，－）D．（－，）
解析：
根据题意得Q（cos（－），sin（－）），即Q（－，－）．
4．（2011·南昌模拟）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在第________象限．
解析：
由题意知即
∴α为第二象限角．
5．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是________．
解析：
设圆的半径为r，则sin1＝，
即r＝
∴弧长l＝rα＝.
6．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．
解：
∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，
∴在角α的终边上任取一点P（4t，－3t）（t≠0），
则x＝4t，y＝－3t，
r＝＝＝5|t|，
当t＞0时，即x>0时，r＝5t，
sinα＝＝＝－，
cosα＝＝＝，
tanα＝＝＝－；
当t＜0时，即x<0时，r＝－5t，
sinα＝＝＝，
cosα＝＝＝－，
tanα＝＝＝－.
综上可知，当角α的终边在直线3x＋4y＝0的x>0部分时，
sinα＝－，cosα＝，tanα＝－；
当角α的终边在直线3x＋4y＝0的x<0部分时，
sinα＝，cosα＝－，tanα＝－.
7．（2011·顺义模拟）已知△ABC中，tanA＝－，则cosA＝（ ）
A.B.C．－D．－
解析：
由tanA＝－知A为钝角，cosA<0排除A和B，再由
tanA＝＝－，和sin2A＋cos2A＝1求得cosA＝－.
8．已知f（α）＝，则f（－π）的值为（ ）
A.B．－C．－D.
解析：
∵f（α）＝＝－cosα，
∴f（－π）＝－cos（π）＝－cos（10π＋）
＝－cos＝－.
9．（2011·宁波模拟）已知实数u，v，定义运算u*v＝（u－1）v.设u＝cosθ＋sinθ，v＝cosθ－sinθ－1，则当≤θ≤时，u*v的值域为（ ）
A．[－，]B．[－，0]C．[0,4]D．[1－，]
解析：
u*v＝（cosθ＋sinθ－1）×（cosθ－sinθ－1）
＝2（cos2θ－cosθ）＝2（cosθ－）2－，
当≤θ≤时，cosθ∈[－，]，
所以（u*v）∈[－，]．
10．sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝________.
解析：
原式＝（sin21°＋sin289°）＋（sin22°＋sin288°）＋…
＋（sin244°＋sin246°）＋sin245°＋sin290°
＝（sin21°＋cos21°）＋（sin22°＋cos22°）＋…＋（sin244°＋
cos244°）＋＋1＝
＋＋1＝45.
11．f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β）＋4（a、b、α、β均为非零实数），若f（2011）＝6，则f（2012）＝________.
解析：
f（2011）＝asin（2011π＋α）＋bcos（2011π＋β）＋4＝－asinα－bcosβ＋4＝6，
∴asinα＋bcosβ＝－2，
∴f（2012）＝asin（2012π＋α）＋bcos（2012π＋β）＋4＝asinα＋bcosβ＋4＝4－2＝2.
12．已知sinθ，cosθ是关于x的方程x2－ax＋a＝0（a∈R）的两个根．
（1）求cos3（－θ）＋sin3（－θ）的值；
（2）求tan（π－θ）－的值．
解：
由已知原方程的判别式Δ≥0，即（－a）2－4a≥0，
∴a≥4或a≤0.
又，（sinθ＋cosθ）2＝1＋2sinθcosθ，
则a2－2a－1＝0，
从而a＝1－或a＝1＋（舍去），
因此sinθ＋cosθ＝sinθcosθ＝1－.
（1）cos3（－θ）＋sin3（－θ）＝sin3θ＋cos3θ
＝（sinθ＋cosθ）（sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ）
＝（1－）[1－（1－）]＝－2.
（2）tan（π－θ）－＝－tanθ－＝－（＋）
＝－＝－＝1＋.
六、反思总结：
当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！
）
1．终边与坐标轴重合的角α的集合为（ ）
A．{α|α＝k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝k·180°，k∈Z}
C．{α|α＝k·90°，k∈Z}
D．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
解析：
终边与坐标轴重合的角α的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}．
答案：
C
2．点P（tan2012°，cos2012°）位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
解析：
∵2012°＝360°×6－148°，
∴2012°与－148°的终边相同，
∴2012°是第三象限角，
∴tan2012°>0，cos2012°<0.
∴P点在第四象限．
3．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在（ ）
A．x轴上B．y轴上
C．直线y＝x上D．直线y＝－x上
解析：
由角α的余弦线长度为1分析可知，角α的终边与x轴重合．
答案：
A
4．已知角α的终边过点（－1,2），则cosα＝________.
解析：
cosα＝＝＝－＝－.
5．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．
解析：
弧长l＝3π，圆心角α＝π，
由弧长公式l＝α·r得r＝＝＝4，
面积S＝lr＝6π.
6．（2010·全国卷Ⅰ）cos300°＝（ ）
A．－ B．－
C.D.
解析：
cos300°＝cos（360°－60°）＝cos60°＝.
7．已知点P（sin，cos）落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π），则θ的值为（ ）
A.B.
C.D.
解析：
r＝＝1，由三角函数的定义，
tanθ＝＝＝－1.
又∵sin>0，cos<0，∴P在第四象限．
∴θ＝.
答案：
D
8．（2011·海口模拟）已知点P（sinα－cosα，tanα）在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是（ ）
A．（，）B．（π，π）
C．（，π）D．（，）∪（π，π）
解析：
由已知得，解得α∈（，）∪（π，）．
答案：
D
9．“tanα＝”是“sinα＝－”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
因为tanα＝＝，sin2α＋cos2α＝1，所以sinα＝±，当sinα＝－时，tanα＝±，所以“tanα＝”是“sinα＝－”的既不充分也不必要条件．
10．（2011·镇江模拟）已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝（ ）
A．－B.C．－D.
解析：
sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ
＝
＝＝＝.
答案：
D
二、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）
11．若角α的终边落在直线y＝－x上，则＋的值等于________．
解析：
因为角α的终边落在直线y＝－x上，α＝kπ＋，k∈Z，sinα，cosα的符号相反．当α＝2kπ＋，
即角α的终边在第二象限时，sinα＞0，cosα＜0；
当α＝2kπ＋，即角α的终边在第四象限时，
sinα＜0，cosα＞0.
所以有＋＝＋＝0.
答案：
0
三、解答题（共3小题，满分35分）
12．设α为第四象限角，其终边上的一个点是P（x，－），且cosα＝x，求sinα和tanα.
解：
∵α为第四象限角，∴x>0
∴r＝
∴cosα＝＝＝x
∴x＝
∴r＝＝2
13．已知sinθ＋cosθ＝，且0≤θ≤π，求sinθ－cosθ.
解：
∵sinθ＋cosθ＝，
∴两边平方得sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝，
即1＋2sinθcosθ＝，2sinθcosθ＝－.
∴<θ<π，∴sinθ>0，cosθ<0.
∴sinθ－cosθ＝
＝＝.
∴sinα＝＝＝－.
tanα＝＝＝－.
14．已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径长为6，
（1）求
的弧长；
（2）求弓形OAB的面积．
解：
（1）∵α＝120°＝，r＝6，
∴
的弧长为l＝×6＝4π.
（2）∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，
S△ABO＝r2·sin＝×62×＝9，
∴S弓形OAB＝S扇形OAB－S△ABO＝12π－9.
7．已知sin（α＋）＝，α∈（－，0），则tanα等于（ ）
A．－2B．2
C．－D.
解析：
∵sin（α＋）＝，α∈（－，0）
∴cosα＝
∴sinα＝－＝－
∴tanα＝＝－2.
8．若tanα＝2，则的值是（ ）
A．－B．－
C.D.
解析：
∵tanα＝2，
∴＝＝＝－.
9．在△ABC中，cosA＝，则sin（B＋C）＝________.
解析：
∵cosA＝，0∴sin（B＋C）＝sin（π－A）＝sinA＝.
10．sinπ·cosπ·tan（－π）＝________.
解析：
原式＝sin（π＋）cos（π－）tan（－π－）
＝（－sin）（－cos）（－tan）
＝（－）×（－）×（－）＝－.
升级会员 