江苏高三数学一轮复习 概率.docx
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江苏高三数学一轮复习概率
第4讲 随机事件的概率
考试要求 1.随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，概率的意义，频率与概率的区别，A级要求；2.两个互斥事件的概率加法公式，B级要求．
知识梳理
1．随机事件及其概率
（1）在一定的条件下必然要发生的事件，叫作必然事件．
（2）在一定的条件下不可能发生的事件，叫作不可能事件．
（3）在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，叫作随机事件．
（4）在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫作事件A的概率，记作P（A）．
（5）随机事件的概率P（A）的取值范围是[0,1]．
2．互斥事件与对立事件
（1）互斥事件：
不可能同时发生的两个事件叫互斥事件．
（2）对立事件：
两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件．互为对立的两个事件一定互斥，但互斥事件不一定是对立事件．
（3）互斥事件的概率
如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生（即A，B中有一个发生）的概率，等于事件A，B分别发生的概率和，即P（A＋B）＝P（A）＋P（B），推广：
如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么P（A1＋A2＋…＋An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）．
（4）对立事件的概率
事件A的对立事件表示为；对立事件的概率和等于1，即P（A）＋P（）＝P（A＋）＝1.
诊断自测
1．判断正误（在括号内打“√”或“×”）
（1）事件发生的频率与概率是相同的．（ ）
（2）在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值．（ ）
（3）若随机事件A发生的概率为P（A），则0≤P（A）≤1.（ ）
（4）6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率．（ ）
答案
（1）×
（2）√ （3）√ （4）×
2．（必修3P97习题1改编）袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则：
①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．
在上述事件中，是对立事件的为________（填序号）．
解析 至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生．∴②中两事件是对立事件．
答案 ②
3．（2016·天津卷改编）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为________．
解析 设“两人下成和棋”为事件A，“甲获胜”为事件B.事件A与B是互斥事件，所以甲不输的概率P＝P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝＋＝.
答案
4．（2017·常州期末）围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．
解析 由题意知，所求概率P＝＋＝.
答案
5．（2017·苏北四市期中）有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5,15.5），2；[15.5,19.5），4；[19.5,23.5），9；[23.5,27.5），18；[27.5,31.5），11；[31.5,35.5），12；[35.5，39.5），7；[39.5,43.5]，3.
根据样本的频率分布估计，数据落在[27.5,43.5]内的概率约是________．
解析 由条件可知，落在[27.5,43.5]的数据有11＋12＋7＋3＝33（个），故所求概率约为＝.
答案
考点一 随机事件间的关系
【例1】从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是________（填序号）．
解析 从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数有3种情况：
一奇一偶，两个奇数，两个偶数．
其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件．
又①②④中的事件可以同时发生，不是对立事件．
答案 ③
规律方法
（1）本题中准确理解恰有两个奇数（偶数），一奇一偶，至少有一个奇数（偶数）是求解的关键，必要时可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系．
（2）准确把握互斥事件与对立事件的概念．
①互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．
②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．
【训练1】口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A＝“取出的2球同色”，B＝“取出的2球中至少有1个黄球”，C＝“取出的2球至少有1个白球”，D＝“取出的2球不同色”，E＝“取出的2球中至多有1个白球”．下列判断中正确的序号为________．
①A与D为对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件；④P（C∪E）＝1；⑤P（B）＝P（C）．
解析 当取出的2个球中一黄一白时，B与C都发生，②不正确．当取出的2个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，则③不正确．显然A与D是对立事件，①正确；C∪E不一定为必然事件，所以P（C∪E）≤1，④不正确．由于P（B）＝，P（C）＝，所以⑤不正确．
答案 ①
考点二 随机事件的频率与概率
【例2】（2016·全国Ⅱ卷）某险种的基本保费为a（单位：
元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
（1）记A为事件：
“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P（A）的估计值；
（2）记B为事件：
“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P（B）的估计值；
（3）求续保人本年度平均保费的估计值．
解
（1）事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2，由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P（A）的估计值为0.55.
（2）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4，由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，
故P（B）的估计值为0.3.
（3）由所给数据得
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.
规律方法
（1）解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算频率，用频率估计概率．
（2）频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数（概率），因此有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．
【训练2】（2015·北京卷）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.
商品
顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；
（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
解
（1）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，
所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2.
（2）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．
所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3.
（3）与
（1）同理，可得：
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1.
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．
考点三 互斥事件与对立事件的概率
【例3】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数/人
x
30
25
y
10
结算时间/（分钟/人）
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
（1）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率（将频率视为概率）．
解
（1）由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，
所以x＝15，y＝20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为
＝1.9（分钟）．
（2）记A表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得
P（A1）＝＝，P（A2）＝＝，P（A3）＝＝.
因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3彼此是互斥事件，
所以P（A）＝P（A1∪A2∪A3）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）
＝＋＋＝.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.
规律方法
（1）①求解本题的关键是正确判断各事件的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来．
②结算时间不超过2分钟的事件，包括结算时间为2分钟的情形，否则会计算错误．
（2）求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：
一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P（A）＝1－P（）求解．当题目涉及“至多”、“至少”型问题，多考虑间接法．
【训练3】某商场有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
（1）P（A），P（B），P（C）；
（2）1张奖券的中奖概率；
（3）1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
解
（1）P（A）＝，P（B）＝＝，
P（C）＝＝.
故事件A，B，C的概率分别为，，.
（2）1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.
∵A，B，C两两互斥，
∴P（M）＝P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）
＝＝.
故1张奖券的中奖概率为.
（3）设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
∴P（N）＝1－P（A∪B）＝1－＝.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
[思想方法]
1．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn（A）随着试验次数的增加稳定于概率P（A），因此可以用频率fn（A）来估计概率P（A）．
2．对立事件不仅两个事件不能同时发生，而且二者必有一个发生．
3．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：
（1）直接法：
将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算．
（2）间接法：
先求此事件的对立事件的概率，再用公式P（A）＝1－P（），即运用逆向思维（正难则反）．
[易错防范]
1．易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．
2．正确认识互斥事件与对立事件的关系，对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
3．需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义.
（建议用时：
35分钟）
1．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；
②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；
③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品．
其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件（填序号）．
答案 ③ ② ①
2．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是________事件（从“对立”，“不可能”，“互斥但不对立”中选填一个）．
解析 由于每人分得一张牌，故“甲分得红牌”意味着“乙分得红牌”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．
答案 互斥但不对立
3．给出下列三个命题：
①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
其中错误命题是________（填序号）．
解析 ①错，不一定是10件次品；②错，是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．
答案 ①②③
4．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率为0.28，若红球有21个，则黑球有________个．
解析 摸出黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.30，口袋内球的个数为21÷0.42＝50，所以黑球的个数为50×0.30＝15.
答案 15
5．（2017·南通调研）将一枚骰子连续抛掷两次，至少有一次向上的点数为1的概率是________．
解析 由题可知两次向上的点数都不是1的概率是＝，则至少有一次向上的点数为1的概率是1－＝.
答案
6．（2017·盐城模拟）从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P（A）＝0.65，P（B）＝0.2，P（C）＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为________．
解析 事件“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，由于P（A）＝0.65，所以由对立事件的概率公式得“抽到的产品不是一等品”的概率为P＝1－P（A）＝1－0.65＝0.35.
答案 0.35
7．设事件A，B，已知P（A）＝，P（B）＝，P（A∪B）＝，则A，B之间的关系一定为________（从“互斥事件”或“对立事件”中选填一个）．
解析 因为P（A）＋P（B）＝＋＝＝P（A∪B），所以A，B之间的关系一定为互斥事件．
答案 互斥事件
8．（2017·苏北四市调研）掷一枚骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，若表示B的对立事件，则一次试验中，事件A＋发生的概率为________．
解析 掷一枚骰子的试验有6种可能结果．
依题意P（A）＝＝，P（B）＝＝，
∴P（）＝1－P（B）＝1－＝，
∵表示“出现5点或6点”的事件，
因此事件A与互斥，
从而P（A＋）＝P（A）＋P（）＝＋＝.
答案
9．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：
先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．
解析 20组随机数中，恰有两次命中的有5组，因此该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为P＝＝.
答案
10．某城市2017年的空气质量状况如表所示：
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良，100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2017年空气质量达到良或优的概率为________．
解析 由题意可知2017年空气质量达到良或优的概率为P＝＋＋＝.
答案
11．从一副不包括大小王的混合后的扑克牌（52张）中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P（A∪B）＝________（结果用最简分数表示）．
解析 ∵P（A）＝，P（B）＝，且A与B是互斥事件．∴P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝＋＝＝.
答案
12．如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是________．
解析 设被污损的数字为x，则
甲＝（88＋89＋90＋91＋92）＝90，
乙＝（83＋83＋87＋99＋90＋x），
若甲＝乙，则x＝8.
若甲＞乙，则x可以为0,1,2,3,4,5,6,7，
故P＝＝.
答案
13．抛掷一枚均匀的正方体骰子（各面分别标有数字1,2,3,4,5,6），事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过2”，则P（A∪B）＝________.
解析 将事件A∪B分为：
事件C“朝上一面的数为1,2”与事件D“朝上一面的数为3,5”．
则C，D互斥，
且P（C）＝，P（D）＝，
∴P（A∪B）＝P（C∪D）＝P（C）＋P（D）＝.
答案
14．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39、32、33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．
现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________．
解析 “至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为
P＝＝.
“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”．
故他属于不超过2个小组的概率是
P＝1－＝.
答案
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第5讲 古典概型
考试要求 1.古典概型及其概率计算公式，B级要求；2.计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率，B级要求．
知识梳理
1．基本事件的特点
（1）任何两个基本事件是互斥的．
（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．
（2）每个基本事件出现的可能性相等．
3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P（A）＝.
4．古典概型的概率公式
P（A）＝.
诊断自测
1．判断正误（在括号内打“√”或“×”）
（1）“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．（ ）
（2）掷一枚硬币两次，出现“两个正面”、“一正一反”、“两个反面”，这三个事件是等可能事件．（ ）
（3）某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同．（ ）
（4）“从长为1的线段AB上任取一点C，求满足AC≤的概率是多少”是古典概型．（ ）
答案
（1）×
（2）× （3）× （4）×
2．（必修3P103练习1改编）给出下列试验：
①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；④在区间上任取一值x，求cosx＜的概率．
其中是古典概型的为________（填序号）．
解析 由古典概型的意义和特点知，只有③是古典概型．
答案 ③
3．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球抽到白球的概率为________．
解析 从袋中任取一球，有15种取法，其中抽到白球的取法有6种，则所求概率为P＝＝.
答案
4．（2016·全国Ⅲ卷改编）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是________．
解析 ∵Ω＝{（M,1），（M,2），（M,3），（M,4），（M,5），（I,1），（I,2），（I,3），（I,4），（I,5），（N,1），（N,2），（N,3），（N,4），（N,5）}，
∴事件总数有15种．
∵正确的开机密码只有1种，∴P＝.
答案
5．（2015·江苏卷）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
解析 4只球分别记为白、红、黄1、黄2，则从中一次摸出2只球所有可能的情况有：
白红、白黄1、白黄2、红黄1、红黄2、黄1黄2，共6种情况，其中2只球颜色不同的有5种，故P＝.
答案
考点一 简单古典概型的概率
【例1】
（1）（2015·全国Ⅰ卷改编）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为________．
（2）（2016·全国Ⅰ卷改编）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是________．
解析
（1）从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：
（1,2,3），（1,2,4），（1,2,5），（1,3,4），（1,3,5），（1,4,5），（2,3,4），（2,3,5），（2,4,5），（3,4,5），其中勾股数只有（3,4,5），所求概率为.所以3个数构成一组勾股数的概率P＝.
（
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