大学数学实验报告数列与级数.docx
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大学数学实验报告数列与级数
数学实验
报告
实验四数列与级数
学院:
数学与信息科学学院
班级:
09级数学(4)班
姓名:
***
学号:
***
实验四数列与级数
实验名称
数列与级数
实验目的
学习使用Mathematica4.0发现数列与级数的极限与规律以及极限状态的性质。
通过作出Fibonacci数列的折线图,考察Fibonacci数列的极限与规律;以及讨论3n+1问题。
实验环境
Mathematica4.0系统
实验的基本理论与方法
对Fibonacci数列用计算机计算出Fibonacci数列的图像,观察其单调性以及增加速度;用直线去拟合数据
,猜测通项公式满足
,并进行尝试,带入差分方程,从中解出特征根;3n+1问题只需对奇数进行分析,如果对每个n,数列中有某一项小于n,从n开始产生的数列最后都落于
中。
实验的内容与步骤
一、Fabonacci数列的极限规律
1、递推关系式为
=
+
n=1,2,…,
=1,
=1
的数列被称为Fibonacci数列。
2、画Fibonacci数列折线图
(1)在计算机中打开Mathematica4.0系统;
(2)点击鼠标进入工作区后,输入以下语句;
(3)按Shift和Enter键运行。
3、用直线去拟合(i,
),i=1,2,…。
的函数
(1)在计算机中打开Mathematica4.0系统;
(2)点击鼠标进入工作区后,输入以下语句;
(3)按Shift和Enter键运行。
4、演奏Fibonacci数列的函数
(1)在计算机中打开Mathematica4.0系统;
(2)点击鼠标进入工作区后,输入以下语句;
(3)按Shift和Enter键运行。
二、3n+1问题
3n+1问题起源于20世纪50年代,又称为Syracuse猜想,角谷猜想,Collatz问题,Hasse算法问题,Ulamw问题,Thwaites猜想等等,目前有人验证
,猜想仍然成立。
任给自然数n,如果n是偶数,则将n是奇数,则将n乘3加上1.重复上述过程得到一个无穷数列。
例如:
上述数列可递归地定义为
对于初始值n=1,2,3,4,5。
相应数列是
对于任意的n,会得到怎样的结果。
编写一个产生数列
的程序
对n=
有
对
为奇数有
因此,我们只需要对奇数进行分析。
另一个有意义的观察是:
如果对每个n,数列中有某一项小于n,则猜想成立。
同时可以发现,3n+1问题与下列问题是等价的:
(1)所有航班的航程有限;
(2)所有航班的保持高度航程有限;
(3)对所有n,E(n)有限;
(4)对所有n,O(n)有限。
3n+1问题可以推广到负数。
迄今发现了三个不同的循环:
-1→-2→-1,
-5→-14→-7→-20→-10→-5,
-17→-50→-25→-74→-37→-110→-55→-164→-82→-41
→-122→-61→-182→-91→-272→-136→-68→-34→-17,
实验的结果和结果分析
练习1、分别取N=20,50,100,200,500,观察Fibonacci数列的折线图,Fibonacci数列是否单调增?
是否趋于无穷?
它增加的速度是快还是慢?
N=20
N=50
N=100
N=200
N=500
练习2、分别取N=2000,5000,10000,用直线去拟合数据
,n=1,2,…,N,由此求数列
的近似表示。
N=2000
N=5000
N=10000
练习3、取一整数m,将Fibonacci数列模m得到一周期数列,将该周期数列的值作为音高,编程演奏它,取不同的m,或将几段合并,感受旋律的变化。
m=100
m=500
m=1000
从上述实验的结果可以看出Fibonacci数列单调增,并且趋于无穷,随着N值的不断增大,它增加的速度也随之变快;经过直线拟合后发现其图像近似于一条直线,猜测到数列
的通项具有形式
。
3n+1问题可以得到更大范围的推广。
附录