第八章二元一次方程组第3540课时.docx
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第八章二元一次方程组第3540课时
第35课时：
8.3实际问题与二元一次方程组
（一）
【学习目标】
1、会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，并且体会到二元一次方程组与实际
生活的联系和作用；
2、经历积极思考、互相讨论、探索事物之间的数量关系的过程，形成方程模型意识；
3、培养分析、解决问题的能力，比较估算与准确计算；
4、体验数学的实用性，提高学习数学的兴趣，增强数学的应用意识。
【学习重点】
经历和体验将实际问题转化为方程组的过程，会用二元一次方程组解决实际问题。
【学习难点】
用方程组建立数学模型，准确找出题中的等量关系。
1、自主学习
1、复习旧知：
列方程解应用题的步骤是什么？
、、、、
2、探究：
课本99页探究1
养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940kg。
饲养员李大叔估计每头大牛1天约需饲料18～20kg，每头小牛天约需饲料7～8kg。
你能通过计算检验他的估计吗？
a：
分析：
设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料x千克和y千克，根据两种情况的饲料用量，找出相等关系，列方程组
解这个方程组，得
这就是说，每头大牛1天约需饲料kg，每头小牛1天约需饲料kg。
因此，饲养员李大叔对大牛的食量估计，对小牛的食量估计。
b：
思考：
以上问题还能列出不同的方程组吗？
结果是否一致？
3、归纳：
试一试：
某工人每天早晨在同一时刻从家骑自行车去工厂，如果以每小时16千米的速度行驶，可在工厂上班时刻前15分钟到工厂；如果以每小时9.6千米的速度行驶，则在工厂上班时刻后15分钟到工厂．求这位工人家到工厂的距离和他出发时刻到上班时间之间的时间.
二、自我检测：
课本P101—102：
习题2、3、5
三、学习小结：
1.列方程组解应用题的基本思路：
列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系，一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：
⑴方程两边表示的是同类量；⑵同类量的单位是统一.
2.列方程组解应用题的一般步骤：
⑴设未知数（可直接设元，也可间接设元），⑵根据题中相等关系，列出方程组，⑶解所列方程组，并检验解的正确性，⑷写出答案.
3.注意事项：
⑴“设”、“答”两步，都要写出单位名称，⑵单位要统一.
四、反馈检测
1、班上有男女同学32人，女生人数的一半比男生总数少10人，若设男生人数为x人，女生人数为y人，则可列方程组为
2、甲乙两数的和为10，其差为2，若设甲数为x，乙数为y，则可列方程组为
3、一支部队第一天行军4小时，第二天行军5小时，两天共行军98km，且第一天比第二天少走2km,第一天和第二天行军的平均速度各是多少？
4、某运输队送一批货物，计划20天完成，实际每天多运送5吨，结果不但提前2天完成任务并多运了10吨，求这批货物有多少吨？
原计划每天运输多少吨？
5、《一千零一夜》中有这样一段文字：
有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：
“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的1/3；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了．”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？
第36课时：
8.3实际问题与二元一次方程组
（二）
【学习目标】
1.会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用。
2.通过应用题学习进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系，体会代数方法的优越性。
3.体会列方程组比列一元一次方程容易。
【学习重点】
通过实践与探索，运用二元一次方程组解决有关配套与设计的应用题
【学习难点】
通过实践与探索，运用二元一次方程组解决有关配套与设计的应用题
一、自主探究
1、复习旧知
1）长方形的面积公式？
当宽相同时，面积比等于-------------，
当长相同时，面积比等于---------------
2）回顾列方程解决实际问题的基本思路？
2、探究2：
根据以往的统计资料，甲、乙两种作物的单位面积的产量比是1∶2，现在要在一块长为200m，宽100m的长方形的土地上种植这两种作物，怎样把这块地分为两个长方形，使甲、乙两种作物的总产量比为3∶4？
⑴“甲、乙两种作物的单位面积产量比是1∶2”是什么意思？
⑵“甲、乙两种作物的总产量比为3∶4”是什么意思？
⑶本题中有哪些等量关系？
⑷如下图，一种种植方案为：
甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE.此时设AE＝xm，BE＝ym，根据问题中涉及长度、产量的数量关系，列方程组
解这个方程组，得
过长方形土地的长边上离一端约______处，把这块土地分为两块长方形土地.较大的一块土地种___种作物，较小的一块土地种____种作物.
⑸你还能设计其他种植方案吗？
试试看.
二、自我检测
课本P1024、6
三、学习小结
通过本节课的讨论，你对用方程解决实际的方法又有何新的认识？
四、反馈检测
1、若两个数的和是187,这两个数的比是6:
5,则这两个数分别是___________.
2、木工厂有28人，2个工人一天可以加工3张桌子，3个工人一天可加工10只椅子，现在如何安排劳动力，使生产的一张桌子与4只椅子配套？
3、一外圆凳由一个凳面和三条腿组成，如果1立方米木材可制作300条腿或制作凳面50个，现有9立方米的木材，为充分利用材料，请你设计一下，用多少木材做凳面，用多少木材做凳腿，最多能生产多少张圆凳？
4、某中学组织七年级同学到长城春游,原计划租用45座客车若干辆,但有15人没有座位;如果租用60座客车,则多出1辆,且其余客车恰好坐满,已知45座客车日租金为每辆220元,60座客车日租金为每辆300元,试问:
（1）七年级人数是多少?
原计划租用45座客车多少辆?
（2）要使每个同学都有座位,怎样租车更合算?
第37课时：
8.3实际问题与二元一次方程组（三）
【学习目标】
1.会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用；
2.通过应用题学习进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系，体会代数方法的优越性.
【学习重点】
通过实践与探索，运用二元一次方程组解决实际问题.
【学习难点】
通过实践与探索，运用二元一次方程组解决实际问题.
一、自主探究
活动1 探究用二元一次方程组解决实际问题
（先独立分析问题中的数量关系，列出方程组，得出问题的解答，然后再互相交流与评价）
如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连.这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5元（吨·千米），铁路运价为1.2元（吨·千米），且这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元.这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
⑴销售款与什么有关？
原料费与什么有关？
⑵设产品重x吨，原料重y吨.根据题中数量关系填写下表.
产品x吨
原料y吨
合计
公路运费（元）
铁路运费（元）
价值（元）
⑶题目所求的数值是________________________________，为此需先解出___与____.
⑷由上表，列方程组
⑸解这个方程组，得
因此，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多 ________________________元.
从以上探究可以看出，方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具.要根据问题中的数量关系列出方程组，解出方程组的解后，应进一步考虑它是否符合问题的实际意义.
活动2 练习
医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质.若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？
（小组共同讨论思路，完成后交流心得体会）
二、自我检测
课本P1027、8、9
三、学习小结：
1、在用一元一次方程组解决实际问题时，你会怎样设定未知数，可借助哪些方式辅助分析问题中的相等关系？
2、小组讨论，试用框图概括“用一元一次方程组分析和解决实际问题”的基本过程．
四、反馈检测
1、一批蔬菜要运往某批发市场，菜农准备租用汽车公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车的记录如下表所示．
甲种货车（辆）
乙种货车（辆）
总量（吨）
第1次
4
5
28.5
第2次
3
6
27
这批蔬菜需租用5辆甲种货车、2辆乙种货车刚好一次运完，如果每吨付20元运费，问：
菜农应付运费多少元？
2、某公园的门票价格如下表所示：
购票人数
1人～50人
51～100人
100人以上
票价
10元/人
8元/人
5元/人
某校八年级甲、乙两个班共100多人去该公园举行游园联欢活动，其中甲班有50多人，乙班不足50人。
如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共只要付515元。
问：
甲、乙两个班分别有多少人？
第38课时：
8.4三元一次方程组解法举例
【学习目标】
1、知道解三元一次方程组的基本思想方法是消元，即化“三元”为“二元”。
2、会用加减法和代入法解简单的三元一次方程组。
【学习重点】
掌握三元一次方程组的解法。
【学习难点】
三元一次方程组如何化归到二元一次方程组。
一、自主探究：
1．复习导入
（1）解二元一次方程组的基本方法有哪几种？
（2）解二元一次方程组的基本思想是什么？
2、探究：
甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，求这三个数．
思考：
题目中有几个未知数？
含有几个相等关系?
你能根据题意列出几个方程？
这个方程组有三个未知数，每个方程的未知数的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组，就是我们要学的三元一次方程组．
①
②
③
思考：
怎样解这个三元一次方程组呢？
你能不能设法消云一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程？
有几种解法？
3、归纳：
解三元一次方程组的基本思路是：
通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．即
消元消元
问题1：
解三元一次方程组
①
②
③
问题2在等式
中，当x＝－1时y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60．求a、b、c的值．
分析：
把a，b，c看作三个未知数，分别把已知的x，y值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组．
二、自我检测
课本P106练习1、2
三、学习小结
1．三元一次方程组的解法；
2、解多元方程组的思路――消元
3、解题前要认真观察各方程的系数特点，选择最好的解法，当方程组中某个方程只含二元时，一般的，这个方程中缺哪个元，就利用另两个方程用加减法消哪个元；如果这个二元方程系数较简单，也可以用代入法求解．
4、注意检验
四、反馈检测
课本P106习题8.41、2、3、4、5
解三元一次方程组:
第39——40课时：
《二元一次方程组》总复习
【学习目标】
1、记住本章的重要概念。
2、能正确运用代入法或加减消元法解二元一次方程组；
3、能根据题意列出二元一次方程组并能正确求解。
【学习重点】
1、对于一个二元一次方程组能灵活用代入法或加减消元法求解。
2、能根据题意列出二元一次方程组并能正确求解。
【学习难点】
1、对于一个二元一次方程组能灵活用代入法或加减消元法求解。
2、能根据题意列出二元一次方程组并能正确求解。
一、自主学习
1.二元一次方程：
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是一次的整式方程.
2.二元一次方程的解集：
适合二元一次方程的一组未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解；由这个二元一次方程的所有解组成的集合叫做这个二元一次方程的解集.
3.二元一次方程组：
由几个一次方程组成并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组.
4.二元一次方程组解：
适合二元一次方程组里各个方程的一对未知数的值，叫做这个方程组里各个方程的公共解，也叫做这个方程组的解.
5.解方程组：
求出方程组的解或确定方程组没有解的过程叫做解方程组。
6.同解方程组：
如果第一个方程组的解都是第二个方程组的解，而第二个方程组的解也都是第一个方程组的解，即两个方程的解集相等，就把这两个方程组叫做同解方程组.
7.解二元一次方程组的基本方法是代入消元法和加减消元法（简称代入法和加减法）
（1）代入法解题步骤：
把方程组里的一个方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，可先求出一个未知数的值；把求得的这个未知数的值代入第一步所得的式子中，可求得另一个未知数的值，这样就得到了方程的解
（2）加减法解题步骤：
把方程组里的一个（或两个）方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数的绝对值相等；把所得到的两个方程的两边分别相加（或相减），消去另一个未知数的一元一次方程（以下步骤与代入法相同）
8.二元一次方程组
解的情况：
（1）当
时，方程有唯一解；
（2）当
时，方程组有无数个解；
（3）当
时，方程组无解；
9.列二元一次方程组解应用题的步骤与列方程解应用题的步骤相同，即“读”“找”“译”“解”“验”“答”
二、合作探究
（一）行程问题
1.相遇问题:
甲的路程+乙的路程=总的路程；（环形跑道）:
甲的路程+乙的路程=一圈长
2.追及问题:
快者的路程-慢者的路程=原来相距路程；（环形跑道）:
快者的路程-慢者的路程=一圈长
3.顺逆问题:
顺速=静速+水（风）速；逆速=静速-水（风）速
例1.A、B两地相距36千米.甲从A地出发步行到B地,乙从B地出发步行到A地.两人同时出发,4小时相遇,6小时后,甲所余路程为乙所余路程的2倍,求两人的速度.
解:
设甲、乙的速度分别为x千米/小时和y千米/小时.
依题意可得:
解得
答:
甲、乙的速度分别为4千米/小时和5千米/小时.
例2.某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地,如果他以每小时50千米的速度行驶,就会迟到24分钟,如果他以每小时75千米的速度行驶,就会提前24分钟到达乙地,求甲、乙两地间的距离.
解：
设甲、乙两地间的距离为S千米，规定时间为t小时,根据题意得方程组
解得
答：
三、实际问题与二元一次方程组分类练习
知能点1销售和利润问题
1．某商场为迎接店庆进行促销，羊绒衫每件按标价的八折出售，每件将赚70元，后因库存太多，每件羊绒衫按标价的六折出售，每件将亏损110元，则该商场每件羊绒衫的进价为_____，标价为_______．
2．某种彩电原价是1998元，若价格上涨x%，那么彩电的新价格是______元；若价格下降y%，那么彩电的新价格是_______元．
3．某商店经销一种商品，由于进价降低了5%，出售价不变，使得利润由m%提高到（m+6）%，则m的值为（）．
A．10B．12C．14D．17
4．在我国股市交易中，每买一次要交千分之七点五的各种费用，某投资者以每股10元的价格买入上海股票1000股，当该股票涨到12元时全部卖出，该投资者的实际赢利为（）．
A．2000元B．1925元C．1835元D．1910元
5．某商场欲购进甲、乙两种商品共50件，甲种商品每件进价为35元，利润率是20%，乙种商品每件进价为20元，利润率是15%，共获利278元，则甲、乙两种商品各购进多少件？
知能点2利率、利税问题
6．某公司存入银行甲、乙两种不同性质的存款共20万元，甲、乙两种存款的年利率分别为1.4%和3.7%，该公司一年共得利息（不计利息税）6250元，则甲种存款______，乙种存款______．
7．某人以两种形式一共存入银行8000元人民币，其中甲种储蓄的年利率为10%，乙种储蓄的年利率为8%，一年共得利息860元，若设甲种存入x元，乙种存入y元，根据题意列方程组，得_________．
8．某工厂现向银行申请了两种货款，共计35万元，每年需付利息2．25万元，甲种贷款每年的利率是7%，乙种贷款每年的利率是6%，求这两种贷款的数额各是多少．若设甲、乙两种贷款的数额分别为x万元和y万元，则（）．
A．x=15，y=20B．x=12，y=23C．x=20，y=15D．x=23，y=12
开放探索创新
9．某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：
甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元，若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．
◆中考真题实战
10．（重庆）为了解决农民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城农民工子女就学的保障机制，其中一项是免交“借读费”．据统计，2004年秋季有5000名农民工子女进入主城区中小学学习，预测2005年秋季进入主城区中小学学习的农民工子女将比2004年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样2005年秋季将新增1160名农民工子女在主城区中小学学习．如果按小学生每年的“借读费”500元，中学生每年的“借读费”1000元计算，求2005年新增的1160名中小学生共免收多少“借读费”．
11．（南通）张栋同学到百货大楼买了两种型号的信封共30个，其中买A型号的信封用了1元5角，买B型号的信封用了1元2角，B型号的信封每个比A型号的信封便宜2分，则两种型号信封的单价各是多少元？
知能点3行程问题
1．甲、乙两人相距45km，甲的速度是7km/h，乙的速度为3km/h，两人同时出发，
（1）若同向而行，甲追上乙需_______h；
（2）若相向而行，甲、乙需______h相遇；（3）若同向而行，乙先走1h，甲再追乙，经过______h甲可追上乙．
2．两人在400m的圆形跑道上练习赛跑，方向相反时每32s相遇一次，方向相同时每3min相遇一次，若设两人速度分别为x（m/s）和y（m/s）（x>y），则由题意列出方程组为_________．
3．A，B两地相距20km，甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，经过2h相遇，相遇后，甲立即返回A地，乙仍向A地前进，甲回到A地时，乙离A地还有2km，则两人的速度分别为________．
4．一只船在一条河上的顺流速度是逆流速度的3倍，则这只船在静水中的速度与水流速度之比为：
_________．
5．已知某铁路桥长800m，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用45s，整列火车完全在桥上的时间是35s，求火车的速度和长度．
知能点4配套问题
6．张阿姨要把若干个苹果分给小朋友们吃，若每人2个，则多1个；若每人3个，则缺2个，苹果有_______个，小朋友有_______个．
7．两台拖拉机共运水泥35t，其中一台比另一台多运7t，则这两台拖拉机分别运送了水泥_______t和_________t．
8．如图所示，周长为34的长方形ABCD被分成7个大小完全一样
的小长方形，则每个小长方形的面积为（）．
A．30B．20C．10D．14
9．一个长方形周长为30，若它的长减少2，宽增加3，就变成了一个正方形，设该长方形长为x，宽为y，则可列方程组为（）．
10．现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问：
用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？
11．用白铁皮做水桶，每张铁皮能做1个桶身或8个桶底，而1个桶身1个桶底正好配套做1个水桶，现在有63张这样的铁皮，则需要多少张做桶身，多少张做桶底正好配套？
12．一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：
第一次
第二次
甲货车辆数（单位：
辆）
2
5
乙货车辆数（单位：
辆）
3
6
累计运货吨数（单位：
吨）
15.5
35
现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，则货主应付运费多少元？
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