神奇的数字世界.docx

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神奇的数字世界

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神奇的数字世界【黄金律】

黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。

0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。

上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。

黄金律的正确画法是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。

其比值是一个确切值，等于[5^（1/2）-1]/2，这是个是无限不循环小数，取其前三位数字的近似值是0.618。

据说在古希腊，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听。

他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数理的方式表达出来。

公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。

公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。

中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。

德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。

黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为“金法”，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为“各种算法中最可宝贵的算法”。

这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”，也就是我们现在常说的比例方法。

到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。

黄金律在自然界和人们生活中到处可见：

大多数门窗的宽长之比也是0.618，有些植茎上，两张相邻叶柄的夹角是137度28'，这恰好是把圆周分成1:

0.618的两条半径的夹角。

据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。

另外有人研究过向日葵，发现向日葵花有89个花辫，55个朝一方，34个朝向另一方，其比值正好也是0.618黄金分割被认为是建筑和艺术中最理想的比例。

建筑师们对数字0.618特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与0.618有关的数据。

还有，在古希腊神庙的设计中就用到了黄金分割。

人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处。

意大利画家达·芬奇发现，人的肚脐位于身长的0.618处；咽喉位于肚脐与头顶长度的0.618处；肘关节位于肩关节与指头长度的0.618处，人体存在着肚脐、咽喉、膝盖、肘关节四个黄金分割点，它们也是人赖以生存的四处要害。

如果按0.618:

1来设计腿长与身高的比例，画出的人体身材最优美，而现今的女性，腰身以下的长度平均只占身高的0.58，因此古希腊维纳斯女神塑像及太阳神阿波罗的形象都通过故意延长双腿，使之与身高的比值为0.618，从而创造艺术美。

难怪许多姑娘都愿意穿上高跟鞋，而芭蕾舞演员则在翩翩起舞时，不时地踮起脚尖。

难怪许多姑娘都愿意穿上高跟鞋，而芭蕾舞演员则在翩翩起舞时，不时地踮起脚尖。

艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美。

【完全数】完全数（Perfectnumber），又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数：

它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。

　例如：

第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3＝6。

第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14＝28。

诸如此类。

公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已经知道6和28是完全数。

毕达哥拉斯曾说：

“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。

”不过，或许印度人和希伯来人早就知道它们的存在了。

有些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时所用的基本数字，他们指出，创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕地球一周的日数。

圣·奥古斯丁说：

6这个数本身就是完全的，并不因为上帝造物用了六天；事实恰恰相反，因为这个数是一个完全数，所以上帝在六天之内把一切事物都造好了。

衍生阅读：

　　对于“4”这个数，它的真因子有1、2，其和是3。

由于4本身比其真因子之和要大，这样的数叫做亏数。

对于“12”这个数，它的真因子有1、2、3、4、6，其和是16。

由于12本身比其真因子之和要小，这样的数就叫做盈数。

那么有没有既不盈余，又不亏欠的数呢？

即等于它自己的所有真因子之和的数，这样的数就叫做完全数。

　　完全数有许多有趣的性质：

它们都能写成连续自然数之和

　　例如：

　　6＝1+2+3　　28＝1+2+3+4+5+6+7　　496＝1+2+3+……+30+31每个都是调和数

　　它们的全部因数的倒数之和都是2，因此每个完全数都是调和数。

例如：

1/1+1/2+1/3+1/6＝2　　1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28＝2可以表示成连续奇立方数之和

　　除6以外的完全数，还可以表示成连续奇立方数之和。

例如：

　　28＝1^3+3^3　　496＝1^3+3^3+5^3+7^3　　8128＝1^3+3^3+5^3+……+15^3　各位数字相加直到变成个位数则一定是1

　　除6以外的完全数，把它的各位数字相加，直到变成个位数，那么这个个位数一定是1。

（亦即：

除6以外的完全数，被9除都余1）例如：

　　28：

2+8＝10，1+0＝1　　496：

4+9+6＝19，1+9＝10，1+0＝1

寻找完全数并不是容易的事。

大数学家欧几里德曾推算出完全数的获得公式：

如果2^p-1质数，那么（2^p-1）X2^（p-1）便是一个完全数。

例如p＝2，2^p-1＝3是质数，（2^p-1）X2^（p-1）＝3X2＝6，是完全数。

　例如p＝3，2^p-1＝7是质数，（2^p-1）X2^（p-1）＝7X4＝28，是完全数。

　但是2^p-1什么条件下才是质数呢?

事实上，当2^p-1是质数的时候，称其为梅森素数。

至今，人类只发现了47个梅森素数，也就是只发现了47个完全数。

奇怪的是，已发现的47个完全数都是偶数，会不会有奇完全数存在呢？

至今无人能回答这些问题。

尽管没有发现奇完全数，但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明，若有奇完全数，则其形式必然是12^p+1或36^p+9的形式，其中p是素数。

在10^300以下的自然数中奇完全数是不存在的。

【斐波那契数列】　

艾略特，波浪理论的开山祖师，，其理论的数字基础是一系列的数列，是斐波那契在13世纪时所发现的，因此，此数列一般却称之谓斐波那契数列。

其实早在中国《道德经》第四十三章中就道出了神奇数字系列的真谛：

“道生一，一生二，二生三，三生万物。

”斐波那契数列是由意大利数学家费波拉希于1202年发表，也称为奇异数列、兔子数列。

斐波那契数列是一串神奇的数字：

1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597……直至无限。

构成斐波那契神希数字系列的基础非常简单，由1，2，3开始，产生无限数字系列，表面看来，此一数字系列很简单，但背后却隐藏着无穷的奥妙。

斐波那契数列的排列由1开始，任何相邻的两个数字之和都等于后一个数字，例如：

1＋1＝2；2＋3＝5；5＋8＝13；144＋233＝377；……在斐波南希的神奇数字系列中，任取相邻两神奇数字，将低位的神奇数字比上高位的神奇数字，其计算的结果会逐渐接近于0.618，数值位愈高的数字，其比率会更接近于0.618。

例如：

13÷8＝1.625；21÷13＝1.615；34÷21＝1.619；……

俄罗斯著名数学家韦罗斯利夫曾经发表许多有关斐波南希神奇数字的神秘性，其中之一就是神奇数字平方的秘密。

即两相隔神奇数字的高位神奇数字的平方减去低位神奇数字的平方，两平方数字之差的结果必然属于另一个神奇数字。

例：

5×5-2×2=218×8-3×3=5513×13-5×5=144……

黄金分割比率是波浪理论中预测未来的高点或低点的重要工具。

在使用上述神奇数字比率时，分析者若与波浪形态配合，再加上动力系统指标的协助，能较好地预估股价见顶见底的讯号。

【数字黑洞】黑洞原是天文学中的概念，表示这样一种天体：

它的引力场是如此之强，就连光也不能逃脱出来。

数学中借用这个词，指的是某种运算，这种运算一般限定从某些整数出发，反复迭代后结果必然落入一个点或若干点。

也称为自我生成数。

“123”　　任取一个数，相继依次写下它所含的偶数的个数，奇数的个数与这两个数字的和，将得到一个正整数。

对这个新的数再把它的偶数个数和奇数个数与其和拼成另外一个正整数，如此进行，最后必然停留在数123。

　　例：

所给数字14741029　　第一次计算结果448　　第二次计算结果303　　第三次计算结果123“495”

　　只要你输入一个三位数，要求个，十，百位数字不相同，如不允许输入111，222等。

那么你把这三个数字按大小重新排列，得出最大数和最小数。

再两者相减，得到一个新数，再重新排列，再相减，最后总会得到495这个数字。

　　举例：

输入352，排列得532和235，相减得297；再排列得972和279，相减得693；排列得963和369，相减得594；再排列得954和459，相减得495。

“153”153被称作“圣经数”。

这个美妙的名称出自圣经《新约全书》中约翰福音第21章：

耶稣对他们说：

“把刚才打的鱼拿几尾来。

”西门·彼得就去把网拉到岸上。

那网网满了大鱼，共一百五十三尾。

鱼虽这样多，网却没有破。

奇妙的是，153具有一些有趣的性质：

任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加,得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和，重复运算下去，就能得到一个固定的数153。

　　例如：

63是3的倍数，按上面的规律运算如下：

6^3+3^3=216+27=243,2^3+4^3+3^3=8+64+27=99,9^3+9^3=729+729=1458,1^3+4^3+5^3+8^3=1+64+125+512=702　　7^3+0^3+2^3=351,　　3^3+5^3+1^3=153,　　1^3+5^3+3^3=153,　　...

　　现在继续运算下去,结果都为153,如果换另一个3的倍数,试一试,仍然可以得到同样的结论。

“6174”1949年印度数学家D.R.Kaprekar研究出一种四位数的变换：

任意列出4个自然数（不能全部相同,如1111、2222），把这四个数字组成的最大四位数与最小四位数相减，得到的四个数字再用相同方式相减法（不足四位补0），几轮减下来最后得到的数字一定是6174。

后来人们把这个问题称为‘6174问题’或‘Kaprekar变幻’。

比如：

5200-0025=5175

7551-1557=5994

9954-4599=5355

5553-3555=1998

9981-1899=8082

8820-0288=8532

8532-2358=6174

7641-1467=6174【喀氏数】　　喀氏，指的是印度数学家喀普利卡。

一天，喀普利卡从铁道线经过，一个偶然的现象，引起了他的思考：

一块里程指示牌被龙卷风拦腰折断，那上面写着的3025公里的四位数字被分成30和25。

见此景象，喀普利卡心里一亮：

“这个数字好奇怪呀！

30＋25＝55，而55^2＝3025，原数不是又再次重现了吗？

”

　　此后，他便研究、搜寻这类数字，竟然发现了一大批具备这种特点的数。

如，2025——20＋25＝45；45^2＝2025。

　　9801——98＋1＝99；99^2＝9801。

人们把这种怪数命名为“喀普利卡数”，简称“喀氏数”，也有人称为“分和累乘再现数”或“雷劈数”。

　“喀氏数”不仅存在于四位数，其他位数的数也有。

如美国数学家亨特就发现了一个八位数的喀氏数：

60481729——6048＋1729＝7777；77772＝60481729。

而且，如果一个自然数的各位数皆为9，例如：

9、99、999、9999……那么它们的平方都是喀氏数。

像9的平方81,99的平方9801,999的平方980001,9999的平方98000001。

【来源于金字塔的数字--142857】世界上最神奇的数字是“142857”，传说中它发现于埃及金字塔内，它证明一星期有7天，它自我累加一次，就由它的6个数字，依顺序轮值一次，到了第7天，它们就放假，由999999去代班，数字越加越大，每超过一星期轮回，每个数字需要分身一次，你不需要计算机，只要知道它的分身方法，就可以知道继续累加的答案，它还有更神奇的地方等待你去发掘！

让我们根据上面的说法计算一下看看：

142857×1＝142857（原数字）

142857×2＝285714（轮值）

142857×3＝428571（轮值）

142857×4＝571428（轮值）

142857×5＝714285（轮值）

142857×6＝857142（轮值）

142857×7＝999999（放假由9代班）142857×8＝1142856（7分身，即分为头一个数字1与尾数6，数列内少了7）

142857×9＝1285713（4分身，即分为头一个数字1与尾数3，数列内少了4）

142857×10＝1428570（1分身）

142857×11＝1571427（8分身）

142857×12＝1714284（5分身）

142857×13＝1857141（2分身）

142857×14＝1999998（9也需要分身变大）……而且142+857=999；14+28+57=99；最后，我们用142857乘与142857，答案是：

20408122449前五位+上后六位的得数是多少呢？

20408+122449=142857以上任何一个数字的众数和都是9。

【无8数】12345679这个数字由于没有8，因此被称为“无8数”。

这个数字在不同的计算表达式中变现出了神奇的规律，让我们看看以下这几组计算：

12345679×（9×1）=111111111；

12345679×（9×2）=222222222；

12345679×（9×3）=333333333；

12345679×（9×4）=444444444；

12345679×（9×5）=555555555；

12345679×（9×6）=666666666；

12345679×（9×7）=777777777；

12345679×（9×8）=888888888；

12345679×（9×9）=999999999。

12345679×（3×1）=37037037；

12345679×（3×2）=74074074；

12345679×（3×3）=111111111；

12345679×（3×4）=148148148；

12345679×（3×5）=185185185；

12345679×（3×6）=222222222；

12345679×（3×7）=259259259；

12345679×（3×8）=296296296；

12345679×（3×9）=333333333。

12345679×（9×1+1）=123456790；

12345679×（9×2+1）=234567901；

12345679×（9×3+1）=345679012；

12345679×（9×4+1）=456790123；

12345679×（9×5+1）=567901234；

12345679×（9×6+1）=679012345；

12345679×（9×7+1）=790123456；

12345679×（9×8+1）=901234567；

12345679×（9×9+1）=1012345678。

【透过“众数和”看河图洛书】任意取一个数字，例如取48965，将这个数字的各个数字进行求和，结果为4+8+9+6+5=32，再将结果求和，得3+2=5。

我将这种求和的方法称为求一个数字的众数和。

所有数字都有以下规律：

众数和为9的数字与任意数相乘，其结果的众数和都为9。

例如306的众数和为9，而306*22=6732，数字6732的众数和也为9（6+7+3+2=18，1+8=9）。

众数和为1的数字与任意数相乘，其结果的众数与被乘数的众数和相等。

例如13的众数和为4，325的众数和为1，而325*13=4225，数字4225的众数和也为4（4+2+2+5=13，1+3=4）。

总结得出一个普遍的规律，如果A*B=C，则众数和为A的数字与众数和为B的数字相乘，其结果的众数和亦与C的众数和相等。

例如3*4=12。

取一个众数和为3的数字，如201，再取一个众数和为4的数字，如112，两数相乘，结果为201*112=22512，22512的众数和为3（2+2+5+1+2=12，1+2=3），可见3*4=12，数字12的众数和亦为3。

另外，数字相加亦遵守此规律。

例如3+4=7。

求数字201和112的和，结果为313，求313的众数和，得数字7（3+1+3=7），刚好201的众数和3与112的众数和4相加的结果亦为7。

令人奇怪的是，中国古人早就知道此数学规律。

我们看看“河图”与“洛书”数字图就知道了。

以下是“洛书”数字图。

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816（洛书）

世人都知道，“洛书”数字图之所以出名，是因为它是世界上最早的幻方图，它的特点是任意一组数字进行相加，其结果都为15。

其实用数字众数和的规律去分析此图，就会发现，任意一组数字的随机组合互相相乘，其结果的众数和都为9，例如第一排数字的一个随机组合数字为924，第二行的一个随机组合数字为159，两者相乘，其结果为146916，求其众数和，得1+4+6+9+1+6=27，2+7=9，可见，结果的众数和都为9。

这种巧合不能说明什么问题，让我们再看看“河图”数字图。

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2

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1

6（河图）“河图”数字图中，任意一组数字互相进行相乘，其结果的众数和都为6。

例如27165*38495=1045716675，求结果的众数和，1+4+5+7+1+6+6+7+5=42，4+2=6，可见，结果的众数和为6。

由此可见，“河图”的数字图亦不可能是随意摆设，否则，其结果的众数和不可能都为6。

从上述两个数字图可知，古人十分重视数字6与数字9。

无独有偶，太极图的就由数字6与数字9组合而成。

太极图的左边部分为数字6，太极图的右边部分为数字9。

“太极图”﹑“河图”﹑“洛书”通过种种手段暗示数字6与数字9的重要性，其中“河图”与“洛书”更是在熟悉数字众数和规律的前提下编制而成。

还有一个很有趣的数学现象，凡是众数和为9的数字除以36，其余数必为9或18或27或0（36）。

一个物体从数字36（0）的位置出发，运行一圈（转过360度）就能回到原位。

在运行过程中，物体的运动方向经过四次转变，每次都发生在数字9或18或27或是36（0）的位置上，可见，处于这四个数字上面的物体，其性质面临着改变。

这即是说，众数和为9的数字往往代表着物质性质的完全改变。

巧合的是，《周易》之中最流行九九归一的说法，数字9亦被称为老阳，即是说，数字9代表了一个物质阳气的终结，新一轮的周期又要开始了。

这种说法刚好和上述数字现象不谋而合，从上图可知，一个物体一旦经过数字9而处于数字10的位置，其众数和就变为1，从众数和中，再一次领略到了古代中国人的智慧。

【梵塔问题】传说印度圣地瓦拉纳西（旧称贝拿勒斯），有一座梵塔，也叫「汉内塔」（TowersofHanoi）。

这里有一块黄铜板，板上插著三根细细的、镶上宝石的细针，传说当印度教的主神梵天在创造地球这个世界时，就在其中的一根针上从下到上放了半径由大到小的六十四片圆金片环，天神梵天要这庙的僧侣，把这些金片全部由一根针移到另外一根指定的针上，一次只能移一片，不管在什么情况下，金片环的大小次序不能变更，小金片环永远只能放在大金片环上面。

只要有一天这六十四片的金环能从指定的针上完全转移到另外指定的针上，世界末日就来到。

这个就是有名的梵塔问题。

n阶梵塔移动次数:

设金片数为n，则移动次数=2的n次方-1；经过计算机的运算，移动的次数需18,446,744,073,709,551,615。

假设1秒钟移动1片金盘，1年中共365×24×60×60＝31536000秒，完成64片金盘的时间为18,446,744,073,709,551,615/31536000,大约需要5849亿年。

【曼德勃罗集合】曼德勃罗特集是人类有史以来做出的最奇异,最瑰丽的几何图形。

曾被称为“上帝的指纹”。

这个点集均出自公式:

Zn+1=（Zn）^2+C,这是一个迭代公式,式中的变量都是复数。

图形是由美国数学家曼徳勃罗特教授于1975年夏天一个寂静的夜晚，在冥思苦想之余翻看儿子的拉丁文字典是想到的，起拉丁文的原意是“产生无规则的碎片”,只要你计算的点足够多,不管你把图案放大多少倍,都能显示出更加复杂的局部.这些局部既与整体不同,又有某种相似的地方,好像着梦幻般的图案具有无穷无尽的细节和自相似性.曼德勃罗特教授称此为“魔鬼的聚合物”。

为此,曼德勃罗特在1988年获得了“科学为艺术大奖”。