队长的数学竞赛心得与经验.docx
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队长的数学竞赛心得与经验
队长的数学竞赛心得与经验
本文主要告诉大家如何在数学竞赛上水个奖牌，chaojulao就可以不看本文了，你们凭实力就可以了。
一：
本菜鸡的竞（bei）赛（nue）经历
我的高中竞赛学习经历其实不算太多，各方面能力的提升其实主要是在初中的时候，我就从初中开始说起吧。
大概初一的时候，我听说有希望杯数学竞赛，为了准备这个，在网上找了初中数学联赛的视频课程，把讲义打出来自己做。
当时其实我完全没有数学竞赛的概念，只觉得这些问题很有意思，于是每个题目都是自己琢磨很久做不出来才去听视频讲解。
当然不可能每个题都自己做得出来，记得当时在学因式分解，四点共圆，三角形的五心的时候，被题目虐得死去活来，很多题目看了解答依然觉得不可思议，不知道是基于什么奇思妙想。
所以很多题目我都反复研究了很多遍，直到自己认为解法自然为止。
与此同时，我也自己学了一些高等数学（当时还不知道数学分析，我学得很浅，就是epsilon-delta语言都不学就去看积分的那种），当时学这个主要是对圆锥、球之类的体积公式感兴趣。
初二大概是我感觉我数学水平提升比较快的一个阶段。
当时我开始做数学奥林匹克小丛书的初中卷，因为有初一的铺垫，做前5本书的时候不觉得困难。
虽然这些书并没有让我见到多难的题目，却把我的基本功练得我自认为还算扎实。
做到第6本《整除、同余与不定方程》的时候，发现事情并不简单。
当时我对于辗转相除法的认识还仅限于小学奥数的那些东西，结果就是一章后面有40道习题被我打了1个勾，35个星号，4个甚至读不懂答案。
对我水平提升最大的我认为并不是做这些竞赛题，而是当时我对物理也比较感兴趣，自己学完高中课程之后（就是你所能想到的最不扎实的那种学完），去看了一点大学的物理课程。
当时我经常反复地算书上的那些问题（比如自己仿照着书上的过程推麦克斯韦方程组，一维方势阱之类的。
当然对这些东西的理解很浅了），这个过程也较大地提升了我的代数基本功（代数基本功：
你可能对提升这个词有什么误解）。
初三因为中考在即，数学方面分配的时间就就就就明显少了。
竞赛方面似乎只是看了一个小蓝本高中卷的平面几何，初中卷的组合趣题，不过这样一来就算是数学竞赛的四个分支大体都见过了。
中考完之后，大概是我学竞赛密度最大的时期，当时看了小蓝皮的组合数学，以及小红皮的很多一试代数相关的书，在网上还找了一份平面几何100题的资料来做。
暑假结束的时候，我翻看历年的联赛加试题，自己约能做出一半多，其余的题目看了解答，也不会觉得太奇怪。
高一参加联赛前，其实我没有太期待什么，只是去体验一下。
因为运气非常好（那年题目偏简单，第3题类似的题我在暑假做了不下7道，考场上我做了2，3，4，其中第4题是我在考试结束前10分钟才写完了，写完的时候手都在抖），混进了省队。
之后便是参加北大金秋营，大概做掉了最简单的那些题，混到了一个签约。
CMO之前，我去北京参加了一个培训，发现自己简直渣爆了。
讲义我一道都不会做，然而坐在我右边的dalao已经把题勾完了。
之后去南京又参加了一个培训，期间有两次CMO模拟考试，我两次加起来只做了1个题，第2次爆零，没交卷直接跑路了。
CMO整体还算顺利，水到一个银牌。
虽然当时我还是觉得挺失落的（毕竟直接保送多好啊啊啊啊-qwq-），不过我的实力也只到此了，考场上也并没有什么发挥失误的地方，所以并不算遗憾吧。
CMO之后，我的目标就比较明确了，就是要高二的时候进集训队。
这段时间里，我看了命题人讲座的初等数论，组合几何的前几章。
剩下的时间里就是做题比较多了，把2008-2016的IMO预选题，走向IMO上的题目基本都做了一遍。
高二联赛的时候我非常紧张，发挥并不好，擦线进了省队。
之后CMO的时候心态也并不好，第二天考炸了，最后也是只比集训队线高了6分混进了集训队。
CMO出分前我还去上海迪士尼浪了一圈，不过没浪成，因为进队太悬成了迪士尼里脸最长的人。
之后国家队的事情，其实我从来就没有想过。
我在进集训队之后做的竞赛方面的练习并不多，大概只是有什么新的竞赛考完了看看试题罢了。
我对自己的水平也并没有什么信心。
不过正因如此，后面的国家队选拔考试我基本完全没有压力，所以发挥比较平稳，拿下了大部分自己觉得并不困难的题目，最后水进国家队。
之后的IMO则因为又紧张了起来考得不怎样（试图掩盖我菜的事实），不过还是侥幸擦线拿了金牌。
二：
几点建议
1：
视野开阔，学习“数学”而非“数学竞赛”（玄学概论）
数学中各种研究对象都是相互联系的，没有毫无关系的两者。
所以说，学竞赛的时候视野开阔就是比较重要的。
许多知识并未在大纲中，甚至可以明确说“不会考”的东西，并不是没有学习的必要。
当然不能捡了芝麻丢了西瓜，不过在自己的兴趣范围内做一点了解并不是什么坏事。
下面我举几个例子：
（1）交比（调和）
交比自然是不在考纲范围内了，利用它的确能解答许多竞赛题（虽然有点耍赖，但是调和秒老题），不过在考场上直接应用它能解决的问题非常有限（可能只是我渣罢了），即使能用它直接解决，在联赛CMO级别的考试中也并不得分。
但它描述了点列的某种性质可以简单地提升到线束上，这样一种观点在几何证明中则是经常使用。
“某性质”甚至不一定是交比本身，在一些其他问题中，想要证明两个性质的等价性（这里就是点列的交比），转而去寻找一个保持该性质的变换（这里就是线束），这样的技巧在解决竞赛问题，乃至一般的数学问题中都是很常用的。
但是在数学竞赛考纲之内的东西，却并不容易提炼出这一观点（存在但似乎并不引人注目，归根到底大概是因为高中数学范围内没有太深刻的结果）。
（2）函数方程
函数方程的许多技巧，似乎即使在更高深的数学中也并不使用，他研究的问题本身似乎也显得无聊（主要是指有迭代结构的一些并不漂亮的方程），在联赛甚至CMO范围内也鲜有出现。
但通过函数方程的题目，可以深切感受到不同数学对象间的“独立性”和微妙的联系。
譬如解实函数方程时，实数集有序，有极好的拓扑性质，有域的结构，不是代数闭域却也离得不远。
这些性质许多是相互独立的，不同题目会从不同方向（利用不同的公理）入手，常常也要多个方向结合起来才能解决问题。
这样的现象在几何里也是常见的，譬如有些几何题本质是结合性（点线的结合性）的一些推论，有的则是度量性的一些推论（长度），有的是正交性的一些推论（角度内积）；有的是正弦定理的结构，有的是余弦定理的结构。
一个几何题本质就是一些不同公理体系（或者只是独立性较大）下的结论相互拼凑而成，而如何解开则需要对这种独立性有一个较好的理解。
函数方程则提供了这方面训练的良好资源。
（3）大学的一些数学知识
许多大学的数学知识不会在竞赛中明确考察，但竞赛题目中却常有更高等数学的思想渗透进来。
比如群论中的陪集分解，在数学竞赛中除了数论有一些类似的操作外，同样的技巧并不多。
即使在数论中，利用简化过的同余理论一样能处理这些问题。
但它的一大价值在于揭示数学当中自然性的重要性，配集分解看似是子群的一个很普通的自然结构，但对有限群来说，它却推出了“子群的阶整除群的阶”这样看起来并不平凡的结论。
如果说我们初次自己研究群的结构，并不容易发现这样的结论。
仔细想来，我们研究群时可能会将注意力更多地放在它具有的代数结构上，却忽略掉它还具有集合的结构。
其实但凡是自然生成的结构便都是有用的，许多的竞赛题目，可能需要我们挖掘出许多的自然结构，才能去人为地拼凑出所要证的那个不自然结论，一味地从结论入手并不奏效。
其实，自然结构才是数学的核心，只不过是对于解决一些特定的问题而言，从所求证的非自然结构入手能给解题提供更多的信息罢了。
类似的例子还有很多……
2：
注重基本功的培养
上面所说的视野开阔，自然要建立在基本功扎实的基础之上。
只有高观点却没有计算能力也不行（像我这种只会嘴题的就不行），事实上，数学中真正不平凡的结论大多是需要计算的。
大多同学并不会忽略这一点，在这里只是强调不能一味地追求各类新方法，新技巧，新观点。
将自己学过的基本知识，做过的题目反复品味，真正将它们当中的思想，技巧转化为自己的工具，可能更为重要。
3:
根据自己的兴趣选择学习内容
常有同学问应该按什么顺序学数学竞赛的知识，或者说学习的大致规划。
其实我觉得先去看自己感兴趣的就好了。
这四个分支并不独立，虽研究对象不同，但思想方法基本是统一的。
无论怎么安排，最终不要让自己有太明显的短板就好了（比如像我这种四个方向都弱就可以）。
就我个人来说，我是在第一次参赛前，就将四个分支的基本方法都过了一遍，之后再混杂地做题，基本上四个方向的水平交替上（xia）升（jiang）。
4:
对于目标省队以上的同学，尽早开始CMO及以上考试的准备
在得知进省队后准备CMO，似乎是许多陕西学生的习惯。
我觉得这样并不可取，首先，像CMO级别的题，通常有许多综合性强的问题（在IMO预选题压轴的位置尤其多见）。
一个题目可能需要代数，数论，组合三方面的综合处理才能解决。
这样题目的关键通常在于整体方向的把握，而联赛级别的题则大多只需寻找单一突破口。
如果只是做许多联赛级别的问题，这种方向把握的能力则训练得并不到位。
这种能力在解决许多联赛问题的时候，也有不少帮助。
其次，都是竞赛为什么要分开呢？
？
？
？
？
其实区别并不大。
最后，CMO级别的试题资源很丰厚啊，走向IMO加上IMO预选题刷起来岂不美哉？
？
？
？
？
这些资源都不用好浪费的。
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5：
心态要好
啊，这个真是太重要了，我高二联赛和CMO都是因为这个崩掉了。
记得联赛考前，我总觉得加试怎么都应该做4道题，采用了先把四道题想完再统一书写的现在看来很中二的策略。
考试中1，2题用了20分钟大概想好后，因为一点计算错误在第3题上卡了1个小时，瞬间慌的一批，赶快回头去写1，2，才发现2不好写也不好算。
最后只剩半小时做3，4，赶快看4，大体知道做法了，最后的系数却没有调整好，于是联赛就凉了（还好最后苟进决赛，嗯）。
CMO则是被第5题卡了4个小时，最后也没做出来，甚至没怎么看6（结果6比5水多了emmm），中途考到2小时左右就开始想进队失败会有什么悲惨下场了。
集训队考试期间非常爽，毫无压力，反正我其实并不很想进国家队，退役了看看大学数学多好啊。
在上海参加第二阶段集训时，每天上午考完试，下午可以坐地铁全城逛。
有时下午出去浪的时候，突然想到上午考试中某个没做出的题的解法，心中只会突然感到一点遗憾，感叹几句（例如：
要是因为这1道题没进队的话好像也蛮亏的），便继续高兴地浪了。
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当然最后得知进队还是挺开心的。
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IMO考试期间又是压力非常大了，DAY1的时候，被第2题咕掉了4个小时（斯洛伐克（╯°□°）╯︵┻━┻），期间一直想着Cu的后果，甚至没有出去上个厕所洗个脸什么的。
最终我成了全队唯一一个DAY1只做1题的菜鸡。
DAY1下考的时候，我其实已经什么都不在乎了，下午我们再出去活动，我也不再因第2天的考试有多紧张，只是觉得挺惨的，似乎还不如没进国家队好，现在可能还在家里学着自己感兴趣的东西，不用承担这种压力。
记得下午我们路过一家国际象棋棋盘的展览馆，里面有个留言簿，看到队友在上面写着“我今天只做了2个题”，我便上去笑着在“2”的下面写上了“1”，然后加上了我的名字。
那一刻，我真是想买张机票直接飞回国。
那天晚上睡觉，我做了几次梦，都是梦到DAY2考试，从一个梦中醒来，又进入另一个梦中。
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真正醒来的那一刻，发觉刚才梦中考完的DAY2都是假的，我不觉得紧张，只是觉得十分疲劳。
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进到考场后，大概开考前50分钟左右，各个国家的参赛者自发地举起自己国家的国旗，绕着考场一圈圈地奔跑，许多人躺在地上，双手撑着头，笑着，聊着。
旁边一个智利的队员，看我是中国的队员，特意拿了一个中国结给我展示。
他询问我昨日考试的状况，我向他诉了诉苦，他却笑着对我说，他昨天没有完整做出来的题目，他说他非常喜欢第3题，觉得那是一个“coolproblem”。
我突然意识到，比起只关心比赛成绩，关心是不是给全队拖后腿的我，这些其他国家的可爱的队员们，似乎更像是热爱数学的人，更像是IMO参赛者该有的样子。
无论比赛成绩，无论现在解题的能力，这全场的500多名参赛者，是因为热爱数学而聚集到一起的。
回想到我初中时候对研究一个问题的执着，解决时的快乐，和我高一时参加联赛时的单纯的激动，兴奋。
那不才是眼前这一切的真正意义么。
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中二结束。
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于是DAY2破罐子破摔很是轻松（铁牌就铁牌问题不大），考得非常爽中间基本没有卡，没有咕掉并侥幸水到了一个Au。
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讲道理，31分Au和30分Ag真的没有区别。
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由此你们可以看出我没有实力，是个运气+中二型选手。
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所以说心态真是很重要啊，考试前想想自己为什么选数学竞赛，难道不是因为热（gao）爱（kao）数（tai）学（cha）吗？
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