第14招抽象函数的图像和性质.docx

资源描述

第14招抽象函数的图像和性质.docx

《第14招抽象函数的图像和性质.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第14招抽象函数的图像和性质.docx（8页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第14招抽象函数的图像和性质.docx

第14招抽象函数的图像和性质

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第14讲:

抽象函数的图像和性质问题的处理方法

【知识要点】

一、抽象函数的考查常常表现在求函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性等方面.

二、抽象函数虽然不是具体函数，但是它的图像和性质的研究方法和具体函数仍然是一样的，只不过是函数没有解析式，比较抽象.

题型一

抽象函数的定义域

解题步骤

利用已知条件得到关于x的不等式，解不等式，得到抽象函数的定义域

【方法点评】

【例1】已知函数f（X）的定义域是［-1,2］，求函数fllog,（3-X）］的定义域.

【解析】的定义域是［72］,意思是凡被f作用的对象都在［-1,2］中」由此可得

所汉酗iG-的走义域是［h出药4

【点评】这类问题的一般形式是：

已知原函数

f（x）的定义域为（a,b），求复合函数f［g（x）］的定义域:

只需解不等式a:

g（x）:

：

b，不等式的解集即为所求函数的定义域.

【反馈检测1】若函数y=f（x1）的定义域为［-2,3），求函数y=f（—•2）的定义域.

题型二

抽象函数的值域

解题步骤

般利用抽象函数的单调性来分析解答

【例2】设函数f（x）定义于实数集上，对于任意实数X、y,f（xy）rf（x）f（y）总成立，且存在

Xi-X2，使得f（Xi）=f（X2），求函数f（x）的值域•

【解析】令x=F=得f（0）=Lf（0）］為即有/（0）=0或/'（0）=1一

若7（0）=0,则/（x）=/（x+0）=/（x）/（0）=0,对任意葢亡盘均成立，这与存在实数耳

使得曲）芒/（乞）成立矛盾，故/（0）^0,必有/（0）=1.

由于f仗亠y）=对任竜y^R均成立,因此，对任意送R,

有冷©+対二/（f）/（^）=>0

下面来证明，对任意M乩/（X）0

设存在xoeJ?

ffiW/（xo）=O,则/（0）=/（^-^）=/（^）/（-^）=0

遠与上面已证的"）20矛盾，因此，对任青*乩/（功芒0,所以/（©〉（）•

【点评】在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要

手段•

【反馈检测2】已知函数f（x）的定义域为0,11,且同时满足：

（1）对任意10,11,总有f（x）_2；

⑵f

（1）=3（3）若xi_0,X2_0且XiX2-1，则有f（XiX2）_f（Xi）f（血）-2.

（I）求f（0）的值；（II）求f（x）的最大值.

题型三

抽象函数的奇偶性

解题步骤

利用奇偶函数的定义判断证明，多用赋值法•

【例3】已知函数f（x）（x.二R,x=0）对任意不等于零的实数x「x2都有f（x1・x2）=f（xj•f（x2）,试判断函数f（x）的奇偶性.

【解析】取为=7比=1得：

/（-i）=/（-i）+/ffi,Brtt/q）=o

又取曲二勺二T得：

（1）所以f（T）=o

再取孔二X,£=-1则/（-X）=/（-I）+/W,艮卩子（一力=/（X）

因为/GO为非零的数，所以为偶iSi数

【点评】

（1）抽象函数奇偶性的判断证明和具体函数是一致的，首先必须考虑函数的定义域，如果函

数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求

f（-x）；最后比较f（-x）和f（x）的关系，如果有f（-x）=f（x），则函数是偶函数,如果有f（-x）=-f（x），则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数•

（2）要判断抽象函数的奇偶性，多用赋值法，给已知的等式中的

变量取恰当的值，如x,-x,0,-1,1等，有时需要多次赋值，才能达到解题目标•学科•网

【反馈检测3】定义域为R的函数f（x）满足：

对于任意的实数x,y都有f（xyHf（x）•f（y）成立,且当x0时f（x）：

：

0恒成立•

（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；

（2）证明f（x）为减函数；若函数f（x）在［-3,3）上总有f（x）乞6成立，试确定f

（1）应满足的条件•

题型四

抽象函数的单调性

解题步骤

一般利用函数单调性的定义分析解答•

【例4】设f（x）定义于实数集上，当x.0时，f（x）.1，且对于任意实数x,y，有

f（xy）=f（x）f（y），求证：

f（x）在R上为增函数.

【解析】证明：

中取龙=»・=0,得/（0）=[/（0）]2若/（0）=0,Hy",»/（%）=0,与£（力>1矛盾

所以/（0>*0,即有/<0）=1

^x>0B寸，/（x）>1>0当x<0时,-x>0ff（-x）>1>0

而/（x）/（-x）=/（0）=l

f（-x）

又Sx=0时，/（0）=1>0

所以对任意xcRf恒有/（x）>0

设-：

：

X「:

X2二，则X2-X!

0,f（X2-xj1

所以f（Xi）-f（X2）=f（Xi）-f[Xi+（X2-Xi）]=f（Xi）-f（Xi）f（X2-Xi）

=f（Xi）（i-f（X2-Xi））

因为f（xj>0i-f（x2-x-i）<0所以f（x-i）

所以y二f（x）在R上为增函数.

【点评】（i）抽象函数虽然没有解析式，但是在判断证明函数的单调性的方法上是一致的，同样利用

函数的单调性的定义•

（2）利用单调性的定义时，关键在于分解化简,

f（X1）-f（x2）=

f（X1）-f[X1+（X2-X1）]=f（X1）-f（X1）f（X2-X1）=f（X1）（1-f（X2-X1））这是解答的关键，

想方设法把变量

X1或X2，按照已知条件拆开，并严格说明它的符号•

【反馈检测

4】已知函数f（x）的定义域为R,对任意实数m,n都有f（m・n）=f（m）・f（n）,且当x0

时,0：

：

f（x）<1.

（1）证明：

f（0）=1,且x：

：

0时,f（x）>1;

（2）证明：

f（x）在R上单调递减.

【反馈检测5】函数f（x）对于x0有意义，且满足条件

（2）=1,f（xy）=f（x）f（y）,f（x）是减函

（1）证明：

（1）=0；

（2）若f（x）f（x-3）_2成立，求x的取值范围

【反馈检测6】已知函数f（x）满足f

（1）=2，且对任意x,y・R都有f（x_y）二丄凶，记

f（y）

n10

I丨a^aia?

|）|an,则i]f（6—i）二

i1i4

题型五

抽象函数的周期性

解题步骤

一般先结合已知猜想函数的周期，再利用周期性的定义证明

【例6】已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称.

（1）求f（0）的值；

（2）证明：

函数f（x）是周期函数；

（3）若f（x）=x（0:

x乞1）,求当R时，函数f（x）的解析式，并画出满足条件的函数f（x）至少一个周期的图象•

【解析】⑴解:

；丁（兀）为丘上的奇函数…■•对任意*乩都=则

/（-0）=-/（o）/./（o）=o

⑵证明厂・丁（龙）为上的奇函数，二对任誉艾芒&都有/（一②=—『3』

v/（X）的團象关于直线"1对称「■对任青龙丘e都有/a+x>=/d-x）,

二用1+兀代兀得'/（2+%）=/[1-（1+切二/（-%）=-/（x）

•打[2+（2-x）]=—/（疋+2）=4-/W]=/W>即/（4十力二/（x）

「•f（x）杲周期函数?

4是其周期.

当4k一1岂x乞4k1时，f（x）=x—4k，kZ

当4k1：

：

x：

：

4k3时，f（x）--x2-4k，kZ

图象如下:

f（x-4k（4k-^^4k1）

I-x+2-4k（4k+1cx<4k+3）

012^3456^x

【点评】对于抽象函数的周期性，一般如果

1不是它的周期，就猜想2是它的周期，如果2不是它的周

期，就猜4是它的周期（偶数倍），再证明•学科•网

【反馈检测7】已知函数f（x）满足f（x1）Jf（X），若f（0）=2004，试求f（2005）.

1-f（x）

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第14讲:

抽象函数的图像和性质问题的处理方法参考答案

【反馈检测1答案】

'32

【反馈检测1详细解析】由y=f（x・1）的定义域为［一2,3），知x1中的X-［一2,3），从而一仁x•1：

：

4，

1111

对函数y=f

（2）而言，有一12：

：

4，解之得：

（-：

：

，］（「：

）•

xx32

111

所以函数y=f（—・2）的定义域为（-：

：

，-一］（一「：

）

x32

【反馈检测2答案】

（1）f（0）=2；

（2）f（x）max=f

（1）=3

【反馈检测2详细解析】（I）令为=X2=0，由（3）,则f（0）_2f（0）-2,.f（0）冬2

由对任意X［0,1］,总有f（x）_2,.f（0）=2

（II）任意x「x2：

“0,11且x1:

x2，则0：

：

x2-捲空1,.f（x2—xj_2

f（X2）=f（X2-X1X1）_f（X2-Xjf（xj-2一f（xj■f（X）max二f

（1）=3

【反馈检测3答案】

（1）奇函数；

（2）f

（1）_-2.

【反馈检测3幣aft析】

（1）由已知对于任意的实数兀$都有r（x+y）=/（x）+/G）成立.

令x=y=0,得/（0+0）=/（0）+/（0）,A/（0）=0

令"一厂得工）=0「•对于任青厂-VW是奇函数.

（2）设任竜可,花丘丘且西u花，则叼一两>0,由已知f（可一可）=0

（1）

又/（^-\）=-/（^）⑵

由⑴

."（工）在［73）上的最犬值为£（」）.要使点Q“恒成立，当且仅当/（-3）<6,

又T/（-3）=-/（3）=-f（24-1）=4/

（2）-/®］=-（/（I）+/

（1）+/

（1）］-3/

（1）,a/（I）>-2

【反馈检测4答案】

（1）见解析；

（2）见解析.

【反馈检测4详细解析】⑴证明;令刑=0/=1,则/（0+1）=只①・/（I）

VSx>0Bt00,Z./（0）二13V^x>Q时，0<<1

二当x0,则/（-x+x）=/（-j0>/（x）=>/（x）=丿鱼=

/（-x）

（2）证明：

任取逝，花E必且工1总花，则

/（花）—/（坷）=71（乞一两）十珀—f3）=/（比—幻•/（兀）-『3）=[/厲-对—11/3）:

冯一码aO,二IKOcf（花一x0vl,古攵/（冯一坷）一1<0,又（可）A0

【反馈检测5答案】

（1）见解析；

（2）^

【反馈检测5详细解析】⑴证明：

令x=y=1，贝Uf（11）=f

（1）•f

（1），故f

（1）=0

（2）vf

（2）=1，令x=y=2，贝Uf（22）=f

（2）f

（2）=2,/•f（4）=2

x—3xE4二一1乞xE4

f（x）f（x-3）_2=f[x（x-3）]_f（4）=f（x-3x）_f⑷二

-f（x）f（x-3）_2成立的x的取值范围是-1乞3.

【反馈检测6答案】32

【反馈检测6详细解析】设f（x^ax（a0,且a=1）:

（1）=2.a1二a=2.f（x）=2x

所以I丨f（6-i）=2524|l|2*=2543"I*=32，故填32.

【反馈检测7答案】f（2005）=-^005

2003

【反馈检测7详细解析】f（x）为周期函数且周期为4X仁4

•••f（x）是以4为周期的周期函数

又•••f

（2）=2004

f（2005）

f（20041）J何04）=4=!

_^=-迎

1-f（2004）1-f（0）1-20042003

f（2005）=

2005

2003

【例5】设f（x）是定义在（0,=）上的增函数，且f（x）=f（）■f（y），若f21二，则f）（二

【解析】设f（^）=loga血JA1）>

（2）=l二log。

2=1a<7=2../（x）=log;x/./（8）=hg28=log:

2a=3

【点评】

（1）抽象函数的性质往往是从常见的正比例函数、指数函数、对数函数和幕函数中抽象出来的，

所以在解答抽象函数的客观题时，可以根据抽象函数的性质寻找对应的函数模型，再利用具体函数来解答.

（2）

常见的模型有：

f（x士y）二f（x）二f（y）=正比例函数f（x）二kx（k=0），

f（xy）二f（x）f（y）=指数函数f（x）二ax（a0,且a=1），f（xy）二f（x）f（y）=幕函数f（x）=xa，f（xy）=f（x）+f（y）=对数函数f（x）=logax（a0,且a=1）.

展开阅读全文