=y,该等式中含有4个量,已知其中任意三个量,就能求出第四个量.
变式探究
(1) 现有60瓶学生奶,编号从1到60,若从中抽取6瓶检验,用系统抽样方法确定所抽取的编号为( )
A.2,14,16,38,42,56B.3,13,23,33,43,53C.5,8,31,36,48,54D.5,10,15,20,25,30
(2)某公司生产三种型号的轿车,产量分别是1200辆,6000辆和2000辆,为检验该公司的产品质量,现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取________辆、________辆、________辆.
解析:
三种型号的轿车共9200辆,抽取样本为46辆,则按
=
的比例抽样,所以依次应抽取1200×
=6(辆),6000×
=30(辆),2000×
=10(辆).答案:
6 30 10
考点三
不是整数的系统抽样与分层抽样
例3某单位在职职工共624人,为了调查职工用于上班途中的时间,决定抽取10%的职工进行调查,试采用系统抽样方法抽取所需的样本.
思维启迪:
624×10%=62.4.需从总体中剔除4人,再重新编号用系统抽样抽取62人.
解析:
(1)将624名职工编号,从001至624.
(2)从总体中用随机数法剔除4人,将剩下的620名职工重新编号,从000至619.
(3)分段,取间隔k=
=10,将总体均分为62组,每组含10名职工.
(4)在第一段000到009这十个编号中用简单随机抽样确定起始号码l.
(5)将为l,l+10,l+20,…,l+610的个体抽出,组成样本.
点评:
1.当总体容量不能被样本容量整除时,可以先从总体中随机地剔除几个个体,使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除.
2.被剔除的部分个体可采用简单随机抽样法抽取.
3.剔除部分个体后应重新编号.
4.每个个体被抽到的机会均等,被剔除的机会也均等.
考点四三种抽样方法的比较
例4①教育局督学组到校检查工作,临时需在每班各抽调两人参加座谈;②某班数学期中考试有15人在120分以上,40人在90~119分,1人不及格,现从中抽出8人研讨进一步改进教与学;③某班春节聚会,要产生两位“幸运者”.就这三件事,合适的抽样方法分别为( )
A.分层抽样,分层抽样,简单随机抽样B.系统抽样,系统抽样,简单随机抽样
C.分层抽样,简单随机抽样,简单随机抽样D.系统抽样,分层抽样,简单随机抽样
解析:
①每班各抽两人需用系统抽样.②由于学生分成了差异比较大的几层,应用分层抽样.③由于总体与样本容量较小,应用简单随机抽样.故选D.
点评:
三种抽样方法均为不放回、逐个、等可能抽样.当总体中的个体较少时,常用简单随机抽样;当总体中的个体较多,样本容量较大时,常用系统抽样,但在第一段内抽取个体时,用简单随机抽样;当总体是由差异明显的几部分组成时,采用分层抽样,但在各层内抽取个体时,可用简单随机抽样或系统抽样.
(2) 700户家庭,其中高收入家庭225户,中等收入家庭400户,低收入家庭75户,为了调查社会购买力的某种指标,要从中抽取一个容量为100的样本,记为①;某中学高二年级有12名足球运动员,要从中选出3人调查学习负担情况,记作②;从某厂生产的802辆轿车中抽取8辆测试某项性能,记作③.则完成上述3项应采用的抽样方法是( )
A.①用简单随机抽样,②用系统抽样,③用分层抽样
B.①用分层抽样,②用简单随机抽样,③用系统抽样
C.①用简单随机抽样,②用分层抽样,③用系统抽样
D.①用分层抽样,②用系统抽样,③用简单随机抽样
(3)从2005个编号中抽取20个号码入样,采用系统抽样的方法,则抽样的间隔为( )
A.99B.99.5C.100D.100.5
解析:
=100
,余数为5,剔除5个编号后,重新编号,分段间隔为
=100,故选C.
五、课堂练习
1.为了了解参加一次知识竞赛的1252名学生的成绩,决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本.那么总体中应随机剔除的个体数目是( )
A.2 B.4C.5D.6
2.某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2000户,其中农民家庭1800户,工人家庭100户,知识分子家庭100户,现要从中抽取容量为40的样本,以调查家庭收入情况,则在整个抽样过程中,可以用到的抽样方法有( )
①简单随机抽样 ②系统抽样 ③分层抽样
A.②③ B.①③C.③D.①②③
3.某中学从已编号(1~60)的60个班级中,随机抽取6个班级进行卫生检查,用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选的6个班级的编号可能是( )
A.6,16,26,36,46,56B.3,10,17,24,31,38C.4,11,18,25,32,39D.5,14,23,32,41,50
4.从某地区15000位老人中按性别分层抽取一个容量为500的样本,调查其生活能否自理的情况如下表所示.
则该地区生活不能自理的老人中男性比女性多的人数约为( )
A.60B.100C.1500D.2000
5.我校三个年级共有24个班,学校为了了解同学们的心理状况,将每个班编号,依次为1到24,现用系统抽样方法,抽取4个班进行调查,若抽到编号之和为48,则抽到的最小编号为( )
A.2B.3C.4D.5
6.某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种,现采用分层抽样的方法,从中随机抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测,则抽取的动物类食品的种类是________.
7.将参加数学竞赛的1000名学生编号如下000,001,002,…,999,打算从中抽取一个容量为50的样本,按系统抽样方法分成50个部分,第一段编号为000,001,002,…,019,如果在第一段随机抽取的一个号码为015,则抽取的第40个号码为________.
8.两个志愿者组织共有志愿者2400人,现用分层抽样的方法,从所有志愿者中抽取一个容量为160的样本.已知从甲志愿者组织中抽取的人数为150,那么乙志愿者组织中的人数有________.
9.某班有学生55人,现将所有学生按1,2,3,…,55随机编号.若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本,已知编号为6,a,28,b,50号学生在样本中,则a+b=________.
10.一个单位有职工160人,其中业务人员120人,管理人员16人,后勤服务人员24人.为了了解职工的家庭收入情况,要从中抽取一个容量为20的样本,请确定抽样方法,并简述抽样过程.
解:
用分层抽样抽取样本,步骤是:
(1)分层,分成三层:
业务人员120人,管理人员16人,后勤服务人员24人.
(2)确定各层抽取的样本个数,抽样比为
=
.
则从业务人员中抽取120×
=15(人).
从管理人员中抽取16×
=2(人).
从后勤服务人员中抽取24×
=3(人).
(3)在各层中分别用简单随机抽样或系统抽样抽取样本.
(4)综合每层抽样,组成样本.
解析:
∵样本容量为5,∴样本间隔为55÷5=11,∵编号为6,a,28,b,50号学生在样本中,∴a=17,b=39,∴a+b=56.
六、课堂小结
1、按下列步骤进行系统抽样:
2、分层抽样的步骤
(1)根据已经掌握的信息,将总体分成互不相交的层;
(2)根据总体中的个体数N和样本容量n计算抽样比k=
;
(3)确定第i层应该抽取的个体数目ni≈Ni×k(Ni为第i层所包含的个体数),使得各ni之和为n;
(4)在各个层中,按步骤(3)中确定的数目在各层中随机抽取个体,合在一起得到容量为n的样本.
七、教学反思
系统抽样与分层抽样
一、学习目标
1.记住系统抽样与分层抽样的方法和步骤.
2.会用系统抽样与分层抽样从总体中抽取样本.
3.能用系统抽样与分层抽样解决实际问题.
二、学习过程
1.系统抽样
先将总体中的个体逐一编号,然后按号码顺序以一定的间隔k进行抽取,先从第一个间隔中随机地抽取一个号码,然后按此间隔逐个抽取即得到所需样本.
练习 为了了解1200名学生对学校某项教改试验的意见,打算从中抽取一个容量为30的样本,考虑采用系统抽样,则分段的间隔k为( )
A.40 B.30C.20D.12
2.分层抽样的定义
一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样的方法是一种分层抽样.
当总体是由差异明显的几部分组成时,往往选用分层抽样的方法.
练习 有一批产品,其中一等品10件,二等品25件,次品5件.用分层抽样从这批产品中抽出8件进行质量分析,则抽样比为________.
考点一系统抽样与分层抽样的概念
例1
(1)下列抽样中不是系统抽样的是( )
A.标有1~15号的15个球中,任选3个作样本,从小号到大号排序,随机选i0号作为起始号码,以后选i0+5,i0+10(超过15则从1再数起)号入样
B.工厂生产的产品,在用传送带将产品送入包装车间前,检验人员从传送带上每隔五分钟抽取一件产品进行检验
C.搞某一市场调查,规定在商场门口随机抽取一个人进行询问调查,直到调查到事先规定的调查人数为止
D.在报告厅对与会听众进行调查,通知每排(每排人数相等)座位号为14的听众留下来座谈
(2)某社区有500户家庭,其中高收入家庭125户,中等收入家庭280户,低收入家庭95户.为了调查社会购买力的某项指标,要从中抽取一个容量为100的样本,记作①;某学校高一年级有18名女排运动员,要从中选出4人调查学习负担情况,记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是( )
A.①用简单随机抽样法,②用系统抽样法B.①用分层抽样法,②用简单随机抽样法
C.①用系统抽样法,②用分层抽样法D.①用分层抽样法,②用系统抽样法
变式探究1
(1)下列抽样试验中,最适宜用系统抽样法的是( )
A.某市的4个区共有2000名学生,4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2,从中抽取200人入样
B.从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个入样
C.从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个入样
D.从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样
(2)为了解某地区中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( )
A.简单的随机抽样 B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样
考点二
为整数的系统抽样
例2
(1)某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2,…,295,为了了解学生的学习情况,要按1∶5的比例抽取一个样本,请用系统抽样的方法进行抽取,并写出过程.
(2)某全日制大学共有学生5600人,其中专科生有1300人,本科生有3000人,研究生有1300人,现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况,抽取的样本为280人,则应在专科生,本科生与研究生这三类学生中分别抽取多少人?
变式探究
(1) 现有60瓶学生奶,编号从1到60,若从中抽取6瓶检验,用系统抽样方法确定所抽取的编号为( )
A.2,14,16,38,42,56B.3,13,23,33,43,53C.5,8,31,36,48,54D.5,10,15,20,25,30
(2)某公司生产三种型号的轿车,产量分别是1200辆,6000辆和2000辆,为检验该公司的产品质量,现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取________辆、________辆、________辆.
考点三
不是整数的系统抽样与分层抽样
例3某单位在职职工共624人,为了调查职工用于上班途中的时间,决定抽取10%的职工进行调查,试采用系统抽样方法抽取所需的样本.
点评:
1.当总体容量不能被样本容量整除时,可以先从总体中随机地剔除几个个体,使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除.
2.被剔除的部分个体可采用简单随机抽样法抽取.
3.剔除部分个体后应重新编号.
4.每个个体被抽到的机会均等,被剔除的机会也均等.
考点四三种抽样方法的比较
例4①教育局督学组到校检查工作,临时需在每班各抽调两人参加座谈;②某班数学期中考试有15人在120分以上,40人在90~119分,1人不及格,现从中抽出8人研讨进一步改进教与学;③某班春节聚会,要产生两位“幸运者”.就这三件事,合适的抽样方法分别为( )
A.分层抽样,分层抽样,简单随机抽样B.系统抽样,系统抽样,简单随机抽样
C.分层抽样,简单随机抽样,简单随机抽样D.系统抽样,分层抽样,简单随机抽样
(2) 700户家庭,其中高收入家庭225户,中等收入家庭400户,低收入家庭75户,为了调查社会购买力的某种指标,要从中抽取一个容量为100的样本,记为①;某中学高二年级有12名足球运动员,要从中选出3人调查学习负担情况,记作②;从某厂生产的802辆轿车中抽取8辆测试某项性能,记作③.则完成上述3项应采用的抽样方法是( )
A.①用简单随机抽样,②用系统抽样,③用分层抽样
B.①用分层抽样,②用简单随机抽样,③用系统抽样
C.①用简单随机抽样,②用分层抽样,③用系统抽样
D.①用分层抽样,②用系统抽样,③用简单随机抽样
(3)从2005个编号中抽取20个号码入样,采用系统抽样的方法,则抽样的间隔为( )
A.99B.99.5C.100D.100.5
五、课堂练习
1.为了了解参加一次知识竞赛的1252名学生的成绩,决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本.那么总体中应随机剔除的个体数目是( )
A.2 B.4C.5D.6
2.某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2000户,其中农民家庭1800户,工人家庭100户,知识分子家庭100户,现要从中抽取容量为40的样本,以调查家庭收入情况,则在整个抽样过程中,可以用到的抽样方法有( )
①简单随机抽样 ②系统抽样 ③分层抽样
A.②③ B.①③C.③D.①②③
3.某中学从已编号(1~60)的60个班级中,随机抽取6个班级进行卫生检查,用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选的6个班级的编号可能是( )
A.6,16,26,36,46,56B.3,10,17,24,31,38C.4,11,18,25,32,39D.5,14,23,32,41,50
4.从某地区15000位老人中按性别分层抽取一个容量为500的样本,调查其生活能否自理的情况如下表所示.
则该地区生活不能自理的老人中男性比女性多的人数约为( )
A.60B.100C.1500D.2000
5.我校三个年级共有24个班,学校为了了解同学们的心理状况,将每个班编号,依次为1到24,现用系统抽样方法,抽取4个班进行调查,若抽到编号之和为48,则抽到的最小编号为( )
A.2B.3C.4D.5
6.某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种,现采用分层抽样的方法,从中随机抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测,则抽取的动物类食品的种类是________.
7.将参加数学竞赛的1000名学生编号如下000,001,002,…,999,打算从中抽取一个容量为50的样本,按系统抽样方法分成50个部分,第一段编号为000,001,002,…,019,如果在第一段随机抽取的一个号码为015,则抽取的第40个号码为________.
8.两个志愿者组织共有志愿者2400人,现用分层抽样的方法,从所有志愿者中抽取一个容量为160的样本.已知从甲志愿者组织中抽取的人数为150,那么乙志愿者组织中的人数有________.
9.某班有学生55人,现将所有学生按1,2,3,…,55随机编号.若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本,已知编号为6,a,28,b,50号学生在样本中,则a+b=________.
10.一个单位有职工160人,其中业务人员120人,管理人员16人,后勤服务人员24人.为了了解职工的家庭收入情况,要从中抽取一个容量为20的样本,请确定抽样方法,并简述抽样过程.
六、课堂小结
1、按下列步骤进行系统抽样:
2、分层抽样的步骤
(1)根据已经掌握的信息,将总体分成互不相交的层;
(2)根据总体中的个体数N和样本容量n计算抽样比k=
;
(3)确定第i层应该抽取的个体数目