学习者特征分析1.docx
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学习者特征分析1
卜1®»
《正弦定理与余弦定理》
论计人：
谭雄
学习者特征分析
一、学习者一般特征分析
高一是中学生进入高中的开始，学生在前面几年的学习中已有一定的理解能力。
本学期
中，致力于综合性学习能力，重在引导学生通过自学，结合自己的理解能力，具体的看懂教材中的内容，能合理的理解运用公式。
1、高一的孩子思维活跃，模仿能力强。
对新知事物满怀探求的欲望；同时他们也具备了一定的学习能力。
2、学生在生活中已经了解了一些关于三角形的知识，学生有了一定的学习认知基础。
3、学生在抽象概括正弦定理和余弦定理时，可能在数学语言的描述上会有一定的困难，表达上也可能不够严密。
4、学生需要更多探讨的空间和交流的机会，让学生经历渐近思辩的过程，促进学生思维的发展。
二、学习者的初始水平分析
1、对学习者的初始技能进行一个分析，来确定教学目标完成教学。
2、初始技能分析要学会解决一般的数学问题、充分掌握一般问题题的解题思路、学会运
用正弦定理与余弦定理解决生活中的问题
3、初始技能图
目标：
让学生理解掌握正弦定理与余弦定理的运用
正弦定理的性质
余弦定理的性质
正弦定理的定理
余弦定理的推导
余弦定理的定理
1
1
正弦定理的推导
回忆向量的基本定理
1Jl
教学起点
4、高一年级的学生已经有了一部分的基础知识，可以通过自己已有的知识推导正弦定
理与余弦定理。
此部分要学习的是正弦定理与余弦定理的运用，结合前两面学习的向量定理
和三角函数定理，同学可以根据理解了正弦定理与余弦定理可解决实际问题，这样可以让学
生更好地理解正弦定理和余弦定理合理的运用。
5、本节课所面对的教学对像是高一的学生，他们还处于思维活跃的阶段，对数学学习有浓厚的兴趣。
三、学习者的学习风格分析:
1、学习风格的内容
学习风格包含了很多的内容，下面将从学习的条件、认知方式、人格因素和生理类型等几个
方面介绍学习风格的内容。
（1）学习的条件：
是指影响学生注意力以及接收、记忆信息能力的一组内外因素。
了解学
生对学习条件的需求，有助于教师正确地选择教学媒体、教学活动和教学组织形式。
感知或
接受刺激的感觉通道、学生感情方面的需要、学生的社会性需要、学生对环境的要求以及来自于学生情绪的要求等。
（2）认知方式：
是指学生在感知、记忆和思维的过程中所偏爱的态度和方式，它表现出学
生在组织和加工信息过程中的个别差异，反映了学生在知觉、记忆、思维以及解决问题的能
力等方面的特征。
（3）人格因素：
有关人格因素对学生学习产生的影响，在教育心理学研究中，正受到越来越多的重视。
（4）生理类型：
由于学生的生理类型存在着差异，所以有的学生在心理能力上表现为左脑半球优势，有的是右脑半球优势，还有的是两个半球的脑功能和谐发展。
脑科学研究的结果
表明，虽然大脑左右半球的结构几乎完全一样，但是在功能上却有所不同。
2、测定学习风格的方法
（1）是观察法，即通过教师对学生的日常观察来确定；
（2）是问卷法，即按照学习风格的具体内容设计一个调查量表，让学生根据自己的情况来填写。
是征答法，让学生自己来陈述自己的学习风格
（3）
、所谓学习动机，是指直接推动学生进行学习的一种内部动力，是激励和指引学生进对自身学习能力的
1
行学习的一种需要。
有人认为，对知识价值的认识和对学习的直接兴趣、认识、对学习成绩的归因，是学生学习动机的主要内容。
学习动机与学习的关系
2、学习动机和学习是相辅相成的关系。
学习能产生动机，而动机又能推动学习。
一般来说，动机具有加强学习的作用。
根据耶克斯一多德森律，动机中等程度的激发或唤起，对学习具有最佳的效果。
动机过强或过弱，不仅对学习不利，而且对保持也不利。
3、内部动机：
正弦定理与余弦定理的学习内容，再此同时，在生活中正弦定理与余弦
定理在生活中随时随地都会用到。
由此可见，此章的内容贴近学生生活，高一的学生正是处
于对生活充满好奇的年龄，正弦定理与余弦定理在生活中有很大的用处，学生主动学习。
4、外部动机：
这一节的内容是高考数学大题的考试重点，特别正弦定理与余弦定理的运用，在高考中考试的分值比例大。
此内容的学习作为基础知识解决生活中的问题起到很重要的作用。
可以增加学生对其外部动机的兴趣。
学习需求分析
一、学习现状
上课之前我们要了解每个学生对于学习知识的接受能力不一样，所以我们需要做一个调
查，以了解学生的现状和需要解决的问题。
调查方法我们采用以下三种方法：
1问卷调查、我们事先制定一份关于学生已经学习过的知识问卷和学习方法等内容的问题，让我们初步了解学生的情况。
2、考试调查、此方法主要我们调查学生学习知识、技能等方面知识，我们事先需制订一份试卷，题型主要针对已学过的知识，对学习者进行初步的了解。
3、交流调查、课前我们先对每一个学生先以前学习的知识进行梳理，同时对学生提问，通过提的问题大体了解学生学习掌握的知识和没有掌握的知识。
二、达到期望的状况
期望达到的状况是指学习者应当具备的能力素质。
该教学设计的对象为高一学生，对于
他们，期望达到的状况不能一概而论。
面对不同的学生，期望值也就不一样的。
例如：
社会与学校之间就会产生差异、家长与学生之间也会产生差异。
1、本章我们讲的内容是正弦定理与余弦定理，那么老师的期望值上完课后能，让学生能合理的运用正弦定理和余弦定理解决题目，同时解决生活中的一些问题。
2、家长的期望值学生在学习了此章内容后能解决高考考到这章的内容，高考考出一个好的成绩。
同时增加自己的综合运用能力。
三、学习需求总结
1知识
让学生们掌握正弦定理与余弦定理在高考考题中的应用，及其重要性，本章的主要目标就是
让学生们理解和掌握正弦定理与余弦定理的性质和定理，利用学习的知识解决问题
2、情感
。
在生活
培养学生们的创新能力：
培养学生的理性思维能力、培养学生们的逻辑思维能力；中拥有较强的思维逻辑能力，有助于我们在遇见各种问题的时候的能够合理的解决。
3、技能
数学是一门非常有逻辑思维能力的学科，它能够帮助我们提高逻辑思维能力，生活中的很多
生活常识都会遇到数学知识，并能够解决生活中遇到的实际问题，有学生认为，学数学对生
活没有太大的帮助，我们要让学生们认识到这是一种错误的观点，我们要善于运用所学习的
数学知识来解决生活中的实际中问题。
把学习到的数学知识应用到实际的生活中去。
四、总目标
让学生们学会正弦定理与余弦定理的数学知识，在高考中能利用此章的内容解决考到
此章相关的内容题目。
同时解决实际生活中有关正弦定理与余弦定理的问题，激发学生们利
用数学知识解决生活中遇到的问题，让学生们学会自学的能力，让学生们有自主喜欢的学习
数学的兴趣，这就是本节课所要达成的目标
附录1:
中学生数学学习态度与方法调查问卷
尊敬的同学：
您好，现在我们在做一个关于中学生的数学学习态度与方法调查问卷状
况的调查。
请不必有顾虑。
请认真阅读问题和答案，以了解你们现在的学习实际学习态度与方法的情况，请您认真填写，从各选项中选择最适合你的一个选项，填写在每道题目后面的括号里。
非常感谢你配合我们的调查。
1、你认为学习最
么？
A
B、
C、
D
2
为了满足家长的要求和期望
为了得到老师或他人的表扬和认可为了能考上大学，以后能有一份好工作为了学习知识，将来成为一个有用的人
、学
A、
B、
C、D
3样?
A、
B、
C、
D
4、吗?
A、
B、
C、D
5
样
样有趣，很喜欢比较轻松，能接受辛苦，但还能坚持乏味、厌烦、对自很满意比较满意不太满意很不满意你感压力很大有一点压力没什么压力不确定
、你
A、
B、
C、
D
6、
A
B、
都能听懂
大部分能听懂
能听懂一点
完全听不懂
在数学学习过程中遇到你不懂或不理解的问题，你通常会怎么办?
向老师请教
与同学讨论
C、
D
7、
A
B、
C、
D
8
A
B、
C、
D
9、
到
自己慢慢琢磨
放弃
你怎样完成数学作业的呢？
做作业中遇到困难经常不能完成，也不会问同学、老师只讲究速度做完就完事
做作业遇到困难需要与同学讨论才能完成
能自己快速准确的完成
你是怎样处理数学课的复习与作业的关系呢？
不复习只完成作业
边做作业遇到有不懂的马上看书或笔记
先做作业再针对遇到的问题看书、笔记，或问同学、老师整理好课程内容，认真理解重点、难点之后再写作业面临数学
？
A、
高
B、
C、
D
比较高比较低很低
15、你课后复习数学的基本情况是
A、没多少时间复习
B、无不懂则不复习
C、全面复习，整理笔记
D、作业后复习
再次感谢你配合我们填写此次问卷，谢谢!
附录2:
正弦定理和余弦定理讲义
第一课时正弦定理
（一）课题引入
如图1.1-1，固定ABC勺边CB及B,使边AC绕着顶点C转动。
A思考：
C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？
C
（
思考：
那么对于任意的三角形，
（让学生进行讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:
如图1.1-3，当ABC是锐角三角形时，设边
三角函数的定义，有CDPsinBbsinA,则
AB上的高是CD根据任意角
同理可得侥
从而ab
b
sinB，
c
sinAsinBsinC
图1.1-3）
AD
（
让学生思考：
是否可以用其它方法证明这一等式？
证明二：
（等积法）在任意斜^ABC当中
11
Saabc=—absinC—acsinB
22
两边同除以丄abc即得：
2
证明三：
（外接圆法）
如图所示，/A=/D
•aa
sinAsinD
同理_L=2R,
sinB
—bcsinA
2
a=b=c
sinAsinBsinC
CD
2R（R为外接圆的
半径）
=2R
sinC
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
证明四：
（向量法）
过A作单位向量j垂直于AC
由AC+CB=AB
两边同乘以单位向量j得j?
（AC+CB）=j?
AB
贝Uj?
AC+j?
CB=j?
AB
•••|j|?
|AC|cos90+|j|?
|CB|cos（90
C）=|j|?
|AB|cos（90A）
/.asinCcsinA
a=c
sinAsinC
同理，若过C作j垂直于CB得:
从而
c=b
sinCsinB
b
a_b_c
••sinAsinBsinC
c
sinAsinB
ABC是钝角三角形时,
类似可推出，当后自己推导）
从上面的研究过程，可得以下定理
sinC
以上关系式仍然成立。
（让学生课
正弦定理：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等,
abc
sinAsinBsinC
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如
bsinasinB
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如
sinAasinB。
b
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
（四）例题剖析
例1•在ABC中，已知A32.0°，B81.8°，a42.9cm,解三角形。
（课本p3,
例1）
解：
根据三角形内角和定理，
C180°（AB）
180°（32.°°81.8°）66.2°；
根据正弦定理，
asinB42.9sin81.8°“，、b80.1（cm）；
sinAsin32.0°'）
根据正弦定理，
asinC42.9sin66.2°、
c■A°—74.1（cm）.
sinAsin32.0°
例2.在ABC中，已知a20cm,b28cm,A40°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm。
（课本p4,例4）
呼0.8999.
所以B64°，或B116°.
解：
根据正弦定理，
.CbsinASinB
a
因为0°（1）当B64°时，
C180°（AB）180°（40°64°）76°，
asinC20sin76°…、
c■A3°^）.
sinAsin4°°
（2）当B116°时，
C180°（AB）180°（40°116°）24°,
casinC20sin24°13（cm）
c:
~~°13（c^n）.
sinAsin4°°
评述：
例1,例2都使用正弦定理来解三角形，在解三角形过程中都使用三角形内角和定理，可见，三角形内角和定理在解三角形中的重要应用。
知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
（5）课堂练习
第5页练习第1
（1）、2
（1）题。
（6）课时小结（让学生归纳总结）
（1）定理的表示形式：
£
sinAsinB
c
sinCsinAsinBsinC
应注意已
或aksinA，bksinB，cksinC（k
°）
（2）正弦定理的应用范围：
1已知两角和任一边，求其它两边及一角；
2已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
第二课时余弦定理
（一）课题引入
如图1.1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b和C,求边C。
ba
（图1.1-4）
（二）探索新知
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题?
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边C。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
如图1.1-5，设CBa，CAb，ABc，那么c=a-b，
2
|c|=c?
c=（a-b）?
（a-b）
=a?
a+b?
b-2a?
b
A
同理可证
a2b2c22bccosA
（图1.1-5）
b2a2c22accosB
于是得到以下定理
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即
让学生思考：
这个式子中有几个量？
从方程的角度看已知其中三个量，可以
求出第四个量，能否由三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
（三）理解定理
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
1已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
2已知三角形的三条边就可以求出其它角。
让学生思考：
勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理
则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若ABC中,C=900，则cosC0，这时c2a2b2
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
（四）例题剖析
例1在^ABC中，已知B=60cm，C=34cm，A=41°,解三角形（角度精确到
1°边长精确到1cm）。
（课本P7例3）
解：
根据余弦定理，
222
a=b+c-2bccosA
=602+342-26034COS41°
~3600+11561080（X7547
~1676.82
所以，a~41cm.
由正弦定理得
.CcsinA34sin41〜340.656〜介cc
SInC=〜0.5440
a4141
因为C不是三角形中最大的边，所以C是锐角.利用算器可得
C~33°,
B=180°-（A+C）=180-（41+33°）=106°.
例2在ABC中，已知a134.6cm，b87.8em，e161.7cm，解三角形。
解：
由余弦定理的推论得：
b2e2a2cosA————2be
87.82161.72134.62
287.8161.7
0.5543,
A56020；
22.2
rCab
cosB
2ea
134.62161.7287.82
2134.6161.7
0.8398,
B32053；
C1800（AB）1800（5602032053）
=90047'.
评述：
例1和例2是对余弦定理及其推论的运用，加深对定理及其推论的理解和运用。
在利用余弦定理解三角形时，也要注意判断有两解的情况。
（五）课堂练习
第8页练习第1
（1）、2
（1）题。
［补充练习］在ABC中，若a2b2c2be，求角A（答案：
A=12O0）
（六）课时小结（让学生归纳总结）
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：
1已知三边求三角；
2已知两边及它们的夹角，求第三边。
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