专题 复习24题平行四边形.docx

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专题复习24题平行四边形

专题复习24题-平行四边形

题型1平行四边形的计算与证明

典例剖析

例1如图，平行四边形ABCD中，点E是BC边上的一点，且DE=BC，过点A作AF⊥CD于点F，交DE于点G，连结AE、EF．

（1）若AE平分∠BAF，求证：

BE=GE；

（2）若点E是BC边上的中点，求证：

∠AEF=2∠EFC．

证明：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠DAE=∠AEB，

∵DE=BC，

∴AD=DE，

∴∠DAE=∠AED，

∴∠AEB=∠AED，

∵AE平分∠BAF，

∴∠BAE=∠GAE，

在△ABE和△AGE中，

，

∴△ABE≌△AGE（ASA），

∴BE=GE；

（2）延长AE，交DC的延长线于点M，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠BAF=∠AFD，∠M=∠BAE，

∵点E是BC边上的中点，

∴BE=CE，

在△ABE和△MCE中，

，

∴△ABE≌△MCE（AAS），

∴AE=ME，

∵AF⊥CD，

∴EF=AE=EM=

AM，

∴∠M=∠EFC，

∴∠AEF=∠BAE+∠EFC=2∠EFC．

例2如图，已知平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD=DF．过点D作DC的垂线，分别交AE、AB于点M、N．

（1）若M为AG中点，且DM=2，求DE的长；

（2）求证：

AB=CF+DM．

解：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠BAE=∠DEA，

∵AE平分∠BAD，

∴∠DAE=∠DEA，

∴DE=AD，

∵∠DAE=∠DEA，

∵DF⊥BC，

∴DF⊥AD，

∵M为AG中点，

∴AG=2DM=4，

∵DN⊥CD，

∴∠ADM+∠MDG=∠MDG+∠EDG，

∴∠ADM=∠EDG，

∴∠DAE+∠ADM=∠DEA+∠EDG，

即∠DMG=∠DGM，

∴DG=DM=2，

在Rt△ADG中，DE=AD=

=

；

（2）证明：

过点A作AD的垂线交DN的延长线于点H，

在△ADH和△FDC中，

，

∴△DAH≌△DFC（ASA），

∴AH=FC，DH=DC，

∵DF⊥AD，

∴AH∥DF，

∴∠HAM=∠DGM，

∵∠AMH=∠DMG，∠DMG=∠DGM，

∴∠HAM=∠HMA，

∴AH=MH，

∴MH=CF，

∴AB=CD=DH=MH+DM=CF+DM．

例3如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E点，点E为BC的中点，AE=2BE，点P在BE上，作EF⊥DP于点F，连结AF．

（1）若AD=4，求AB的长；

（2）求证：

AF+EF=DF．

跟

（2）证明：

如图：

作AG⊥AF，交DP于G；

∵AD∥BC，

∴∠ADG=∠DPC；

∵∠AEP=∠EFP=90°，

∴∠PEF+∠EPF=∠PEF+∠AEF=90°，

即∠ADG=∠AEF=∠FPE；

又∵AE=AD，∠FAE=∠GAD=90°﹣∠EAG，

在△AFE和△AGD中

，

∴△AFE≌△AGD（ASA），

∴AF=AG，即△AFG是等腰直角三角形，且EF=DG；

∴FG=

AF，且DF=DG+GF=EF+FG，

故DF﹣EF=

AF．

踪训练

1.在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AD=AO，点E为OA中点．

（1）若DE⊥CD，CD=6，AD=2

，求DE的长度；

（2）证明：

CD=2DE．

解：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，

∵点E为OA中点，AD=AO，AD=2

，

∴OE=

，OC=2

，

∴CE=OE+OC=3

，

∵DE⊥CD，CD=6，

∴DE=

=3；

（2）证明：

取AD的中点F，连接OF，

∵AD=AO，点E为OA中点，

∴AE=AF，

在△ADE和△AOF中，

，

∴△ADE≌△AOF（SAS），

∴DE=OF，

∵OA=OC，AF=DF，

∴CD=2OF，

∴CD=2DE．

2.平行四边形ABCD中，BG垂直于CD，且AB=BG=BE，AE交BG于点F．

（1）若AB=3，∠BAD=60°，求CE的长；

（2）求证：

AD=BF+CG．

解：

（1）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=∠C=60°．

∵BG垂直于CD，

∴∠BGC=90°，

∴BC=

．

又∵AB=BG=BE=3，

∴BC=

=2

，

∴CE=BC﹣BE=BC﹣BG=2

﹣3；

（2）如图，延长GB至点P，使BP=CG．

在△ABP与△BGC中，

，

∴△ABP≌△BGC（SAS），

∴BC=AP=AD，∠1=∠2．

∵∠4=∠2+∠3．

又∵AB=BE，

∴∠5=∠3，

∴∠1+∠5=∠2+∠3=∠4，即∠PAF=∠4，

∴AP=PF．

又∵PF=PB+BF=CG+BF，

∴AD=BF+CG．

3.如图，平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA=2∠BAE．

（1）若∠D=105°，∠DAF=35°．求∠FAE的度数；

（2）求证：

AF=CD+CF．

（1）解：

∵∠D=105°，∠DAF=35°，

∴∠DFA=180°﹣∠D﹣∠DAF=40°（三角形内角和定理）．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD（平行四边形对边平行且相等）．

∴∠DFA=∠FAB=40°（两直线平行，内错角相等）；

∵∠DFA=2∠BAE（已知），

∴∠FAB=2∠BAE（等量代换）．

即∠FAE+∠BAE=2∠BAE．

∴∠FAE=∠BAE；

∴2∠FAE=40°，

∴∠FAE=20°；

（2）证明：

在AF上截取AG=AB，连接EG，CG．

∵∠FAE=∠BAE，AE=AE，

∴△AEG≌△AEB．

∴EG=BE，∠B=∠AGE；

又∵E为BC中点，∴CE=BE．

∴EG=EC，∴∠EGC=∠ECG；

∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD=180°．

又∵∠AGE+∠EGF=180°，∠AGE=∠B，

∴∠BCF=∠EGF；

又∵∠EGC=∠ECG，

∴∠FGC=∠FCG，∴FG=FC；

又∵AG=AB，AB=CD，

∴AF=AG+GF=AB+FC=CD+FC．

4.如图，已知平行四边形ABCD中，E为AD中点，点G在BC边上，且∠1=∠2．

（1）若AD=4，求BG的长；

（2）若F为CD延长线上一点，连接BF，且满足∠3=∠2．求证：

CD=BF+DF．

（1）解：

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，

在△AEB和△CDG中，

，

∴△AEB≌△CDG，

∴AE=CG，

∵G为BC中点，

∴CG=

BC，

∴AE=

BC，

∵AD=BC，

∴AE=

AD，

∴E是AD的中点，

∴DE=BG=

AD=2，

（2）如图，延长DF，BE，相交于点H，

∵E为AD的中点，G为BC的中点，

∴DE=

AD，BG=

BC，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∴DE=BG，DE∥BG，

∴四边形EBGD为平行四边形，

∴BE∥DG，

∴∠H=∠2，

∵∠3=∠2，

∴∠H=∠3，

∴BF=HF，

∵∠1=∠2，

∴∠H=∠1，

∵E为AD的中点，

∴AE=DE，

在△AEB和△DEH中，

，

∴△AEB≌△DEH，

∴AB=DH，

∵AB=CD，

∴CD=DH，

∵DH=HF+FD，HF=BF，

∴DH=BF+FD，

∴CD=BF+FD．

5.在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG．

（1）如图①，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：

EG=AG+BG；

（2）如图②，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．

（1）证明：

如图①，作∠GAH=∠EAB交GE于点H．

∴∠GAB=∠HAE．

∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，

∴∠ABG=∠AEH．

在△ABG和△AEH中，

，

∴△ABG≌△AEH（ASA）．

∴BG=EH，AG=AH．

∵∠GAH=∠EAB=60°，

∴△AGH是等边三角形．

∴AG=HG．

∴EG=AG+BG；

（2）EG=

AG﹣BG．

如图②，作∠GAH=∠EAB交GE于点H．

∴∠GAB=∠HAE．

∵∠EGB=∠EAB=90°，

∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°．

∴∠ABG=∠AEH．

∵又AB=AE，

∴△ABG≌△AEH．

∴BG=EH，AG=AH．

∵∠GAH=∠EAB=90°，

∴△AGH是等腰直角三角形．

∴

AG=HG．

∴EG=

AG﹣BG．