专题 复习24题平行四边形.docx

1、专题 复习24题平行四边形专题 复习24题-平行四边形题型1 平行四边形的计算与证明典例剖析例1 如图，平行四边形ABCD中，点E是BC边上的一点，且DE=BC，过点A作AFCD于点F，交DE于点G，连结AE、EF（1）若AE平分BAF，求证：BE=GE；（2）若点E是BC边上的中点，求证：AEF=2EFC证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AD=BC，DAE=AEB，DE=BC，AD=DE，DAE=AED，AEB=AED，AE平分BAF，BAE=GAE，在ABE和AGE中，ABEAGE（ASA），BE=GE；（2）延长AE，交DC的延长线于点M，四边形ABCD是平行四边形，AB

2、CD，BAF=AFD，M=BAE，点E是BC边上的中点，BE=CE，在ABE和MCE中，ABEMCE（AAS），AE=ME，AFCD，EF=AE=EM=AM，M=EFC，AEF=BAE+EFC=2EFC例2 如图，已知平行四边形ABCD中，AE平分BAD交DC于E，DFBC于F，交AE于G，且AD=DF过点D作DC的垂线，分别交AE、AB于点M、N（1）若M为AG中点，且DM=2，求DE的长；（2）求证：AB=CF+DM解：（1）四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，BAE=DEA，AE平分BAD，DAE=DEA，DE=AD，DAE=DEA，DFBC，DFAD，M为AG中点，AG=2

3、DM=4，DNCD，ADM+MDG=MDG+EDG，ADM=EDG，DAE+ADM=DEA+EDG，即DMG=DGM，DG=DM=2，在RtADG中，DE=AD=；（2）证明：过点A作AD的垂线交DN的延长线于点H，在ADH和FDC中，DAHDFC（ASA），AH=FC，DH=DC，DFAD，AHDF，HAM=DGM，AMH=DMG，DMG=DGM，HAM=HMA，AH=MH，MH=CF，AB=CD=DH=MH+DM=CF+DM例3 如图，在平行四边形ABCD中，AEBC于E点，点E为BC的中点，AE=2BE，点P在BE上，作EFDP于点F，连结AF（1）若AD=4，求AB的长；（2）求证：A

4、F+EF=DF跟（2）证明：如图：作AGAF，交DP于G；ADBC，ADG=DPC；AEP=EFP=90，PEF+EPF=PEF+AEF=90，即ADG=AEF=FPE；又AE=AD，FAE=GAD=90EAG，在AFE和AGD中，AFEAGD（ASA），AF=AG，即AFG是等腰直角三角形，且EF=DG；FG=AF，且DF=DG+GF=EF+FG，故DFEF=AF踪训练1. 在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AD=AO， 点E为OA中点 （1）若DECD，CD=6，AD=2，求DE的长度； （2）证明：CD=2DE解：（1）四边形ABCD是平行四边形，OA=OC，点E为OA中

5、点，AD=AO，AD=2，OE=，OC=2，CE=OE+OC=3，DECD，CD=6，DE=3；（2）证明：取AD的中点F，连接OF，AD=AO，点E为OA中点，AE=AF，在ADE和AOF中，ADEAOF（SAS），DE=OF，OA=OC，AF=DF，CD=2OF，CD=2DE2. 平行四边形ABCD中，BG垂直于CD，且AB=BG=BE，AE交BG于点F （1）若AB=3，BAD=60，求CE的长；（2）求证：AD=BF+CG解：（1）如图，在平行四边形ABCD中，BAD=C=60BG垂直于CD，BGC=90，BC=又AB=BG=BE=3，BC=2，CE=BCBE=BCBG=23；（2）如

6、图，延长GB至点P，使BP=CG在ABP与BGC中，ABPBGC（SAS），BC=AP=AD，1=24=2+3又AB=BE，5=3，1+5=2+3=4，即PAF=4，AP=PF又PF=PB+BF=CG+BF，AD=BF+CG3. 如图，平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足DFA=2BAE（1）若D=105，DAF=35求FAE的度数；（2）求证：AF=CD+CF（1）解：D=105，DAF=35，DFA=180DDAF=40（三角形内角和定理）四边形ABCD是平行四边形，ABCD，AB=CD（平行四边形对边平行且相等）DFA=FAB=40（两直线平行，内错

7、角相等）；DFA=2BAE（已知），FAB=2BAE（等量代换）即FAE+BAE=2BAEFAE=BAE；2FAE=40，FAE=20；（2）证明：在AF上截取AG=AB，连接EG，CGFAE=BAE，AE=AE，AEGAEBEG=BE，B=AGE；又E为BC中点，CE=BEEG=EC，EGC=ECG；ABCD，B+BCD=180又AGE+EGF=180，AGE=B，BCF=EGF；又EGC=ECG，FGC=FCG，FG=FC；又AG=AB，AB=CD，AF=AG+GF=AB+FC=CD+FC4. 如图，已知平行四边形ABCD中，E为AD中点，点G在BC边上，且1=2（1）若AD=4，求BG的

8、长；（2）若F为CD延长线上一点，连接BF，且满足3=2求证：CD=BF+DF（1）解：四边形ABCD为平行四边形，AD=BC，AB=CD，A=C，在AEB和CDG中，AEBCDG，AE=CG，G为BC中点，CG=BC，AE=BC，AD=BC，AE=AD，E是AD的中点，DE=BG=AD=2，（2）如图，延长DF，BE，相交于点H，E为AD的中点，G为BC的中点，DE=AD，BG=BC，四边形ABCD为平行四边形，AD=BC，ADBC，DE=BG，DEBG，四边形EBGD为平行四边形，BEDG，H=2，3=2，H=3，BF=HF，1=2，H=1，E为AD的中点，AE=DE，在AEB和DEH中，

9、AEBDEH，AB=DH，AB=CD，CD=DH，DH=HF+FD，HF=BF，DH=BF+FD，CD=BF+FD5. 在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得EGB=EAB，连接AG（1）如图，当EF与AB相交时，若EAB=60，求证：EG=AG+BG；（2）如图，当EF与CD相交时，且EAB=90，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论（1）证明：如图，作GAH=EAB交GE于点HGAB=HAEEAB=EGB，APE=BPG，ABG=AEH在ABG和AEH中，ABGAEH（ASA）BG=EH，AG=AHGAH=EAB=60，AGH是等边三角形AG=HGEG=AG+BG；（2）EG=AGBG如图，作GAH=EAB交GE于点HGAB=HAEEGB=EAB=90，ABG+AEG=AEG+AEH=180ABG=AEH又AB=AE，ABGAEHBG=EH，AG=AHGAH=EAB=90，AGH是等腰直角三角形AG=HGEG=AGBG