数学建模.docx
《数学建模.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
数学建模
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
D
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
01
所属学校（请填写完整的全名）：
德州职业技术学院
参赛队员（打印并签名）：
1.彭泽弟
2.杨杰
3.相保政
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
数模组
日期：
2009年9月13日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
会议筹备
摘要
本文针对某一届全国性会议的筹备工作进行了研究，利用了贪心算法、层次分析法以及概率统计模型等方法对问题进行了定量分析和评价，同时给出了自己认为最合理的筹划方案。
会议筹备组要为与会代表预定客房、租借会议室、租用客车接送，筹划方案是否合理取决于经济、方便、代表满意这三方面。
对附表1、附表2中的所有数据进行筛选和统计分析，利用层次分析法，确定代表满意度、费用、宾馆个数、距离四个因素的权重，并进行量化和归一化处理，得到了相对合理的客房预定方案——预定①、②、⑤、⑥、⑦这五个宾馆。
考虑到方便经济的因素，确定会议室全部在⑦号宾馆租用。
再结合贪心算法，确定租用33座车一辆。
这种筹划方案，能够在保证代表们比较满意的基础上，达到经济、方便的目的，以使会议顺利召开。
根据附表2、附表3中的数据，利用统计分析的方法，估算出本届与会者的数量为662人。
以“参加会议而无客房入住超过若干人的概率”作为衡量满意度的指标，建立目标函数，并用matlab作数值计算，此概率越低，满意度越高，从而确定预定643人次的客房比较合理。
关键词：
贪心算法；层次分析法；统计分析；满意度
1问题重述
现有一家会议服务公司负责承办某专业领域的一届全国性会议，会议筹备组要为与会代表预订宾馆客房，租借会议室，并租用客车接送代表。
现有10家宾馆可供选择，其相对位置见附图，有关客房及会议室的规格、间数、价格等数据见附表1，代表回执中住房要求有三种标准，分别为：
每天每间120～160元、161～200元、201～300元，每种要求所对应的双人间和单人间数量分别为：
116、166；76、96；25、60。
客房费由与会代表自付，预定客房中若有剩余，剩余客房要由筹备组支付空房费，但若预定客房数不足，则会引起代表不满。
会议期间有一天的上下午各安排6个分组会议，筹备组需在代表下榻的宾馆中租借会议室，但因不知哪些代表参加哪个分组会，筹备组要向汽车租赁公司租用客车接送代表，现有45座、36座和33座三种类型的客车，租金分别是半天800元、700元和600元。
费用、方便、代表的满意度对于该会议是否成功筹备起着决定性作用。
所以我们除了尽量满足代表在住宿等方面的需求之外，所选择的宾馆数量应该尽可能少，并且距离上比较靠近。
本题主要要求我们通过数学建模方法制定一个合理的会议筹划方案。
2问题分析
会议筹备的合理性，实际上是在保证大多代表尽可能满意的情况下，达到经济方便的目的。
针对这三个方面，根据附图中宾馆的相对位置，附表中有关客房及会议室的规格、间数、价格等数据，以及代表的住房要求，租赁客车的费用，分析问题如下：
会议的筹备应当兼顾到费用、方便以及代表的满意度几个方面，所以在筹备过程中应当考虑以下几个因素：
会议室费用、客车租赁费用、空房费用、宾馆间距离。
（1）会议室费用影响会议的筹备费，而会议室能否充分利用及会议室价格关系到
会议室的费用，所以，所选会议室容量与参加当次分组会的人数之差应尽可能小，在容量相近的会议室中选择价格较低的以降低会议室费用。
（2）客车租赁费关系到会议的筹备费，为了减少客车租赁费以达到降低会议筹备
费的目的，我们可以尽量把人员和宾馆集中分布来减少客车用量。
（3）空房费用受与会人数的影响，而与会人数又难以确定，所以，空房费用对筹
备费的影响难以确定，我们应当重点考虑与会人数。
（4）我们事先无法得知哪些代表参加哪个分组会，而宾馆间的距离主要影响客
车的租赁费用，其具体位置我们应当在宾馆选择过程中给予解决。
3模型假设
（1）假设300m以及300m没以下无需坐车，坐车期间允许捎带。
由于距离比较近，假设忽略客车行走时间。
（2）假设不同规格客房的空房费是一致的。
（3）假设对于发了回执的与会者，只要按其要求安排客房，就认为是满意的；对于未发回执与会者能够入住，就认为是满意的。
（4）假设每个宾馆的服务均能让代表满意。
（5）假设发来回执但未与会的代表数量大于未发回执而与会的代表数量。
（6）与会代表是否参加会议相互独立，每位代表发来回执而不与会的概率为
。
（7）与会者只要能够按自己的标准入住就算是满意。
（8）规定
4符号说明
X—人数最多的一场会议的会议室
－举办此次会议的经费
－各因素的比重
I－宾馆代号
——预定客房的人数，
——来参加会议而无客房入住超过若干人的概率上限
——无客房入住的参会者上限
5模型建立与求解
1.1模型的准备与分析
会议筹备组为代表预定宾馆客房，租借会议室的方案将直接影响到代表的满意度、承办此会议的费用以及代表是否方便开会的问题。
这样我们若要使会议安排的最合理就必须解决代表的住宿和会议的安排等。
（一）局部分析
（1）代表住宿
我们若要使得代表满意就必须按代表发来的回执合理安排，但有一些发来回执的代表不来开会，同时也有一些与会代表事先不提交回执。
因此就存在一个问题，如果预定客房数量大于实际用房数量，筹备组需要支付一天的空房费，而若出现预定客房数量不足，则造成非常被动的局面，引起代表的不满。
并且我们除了要满足代表的要求以外，还应满足宾馆数量尽可能少，距离比较靠近所以我们通过附表1，2，3，4来分析出可以满足符合要求的几种方案，建立数学模型。
（2）会议室的安排
筹备组需要在代表下榻的某几个宾馆租借会议室，由于我们事先无法知道那些代表准备参加那个分组会，只知道会议期间有一天的上下午各安排6个分组会议，这样我们就需要解决既能使得会议因会议室问题而不能召开，又要保证我们付出的经费比较少。
通过用不同的算法求得最优解。
（二）整体分析
1.权重分析
通过以上局部分析，我们得出影响此次会议质量的因素分为：
代表满意度，经费，距离，宾馆个数。
从整体角度来看，各因素互相协调的，但这四个因素的合理性程度不同；因此需要确定个因素所占的比重。
我们不妨设相关要素为A，首先要明确标度：
尺度
含义
1
第i个因素与第j个因素的影响相同，
3
第i个因素与第j个因素的影响稍强，
5
第i个因素与第j个因素的影响强，
7
第i个因素与第j个因素的影响明显强。
设代表满意度为
经费为
距离为
宾馆个数为
。
建立判断矩阵D
1
3
7
5
1/3
1
5
3
1/7
1/5
1
1/3
1/5
1/3
3
1
根据公式
（i=1,2,3,4）
通过计算得
=0.5038
=0.2740
=0.0783
=0.1439
2.一致性检验
利用特征向量法计算d的最大特征值
计算得到
=4.1170
CI=
=0.039
CR=
=
0.0097
根据CR<0.1说明该矩阵一致性良好。
通过计算得各要素的权重为
影响会议质量的因素
所占权重
代表满意度
0.5038
经费
0.2740
距离
0.0783
宾馆个数
0.1439
1.2模型建立
考虑到宾馆之间的距离，管理以及公司的效益，我们首先排除了3，4，10等宾馆。
（见附图一）
由附表①可以得出：
4个宾馆都满足不了代表所需要的房间数！
由附表②可以得出：
5个宾馆的组合中有3种符合条件的方案：
方案一1，2，5，6，7组合；
方案二2，5，6，7，9组合；
方案三2，5，7，8，9组合。
由附表③可以得出，6个宾馆的组合中有4种符合条件的方案：
方案四1，2，5，6，7，8组合；
方案五：
1，2，5，6，7，9组合；
方案六：
1，2，5，7，8，9组合；
方案七：
2，5，6，7，8，9组合。
先利用贪心算法解以上几种方案。
假设参加会议的人数服从正态分布，让每一个分组会议比平均数大一些即可。
有附表2以及假设（5）可知本届会议与会者最多为755人，故可得人数最多的一场会议的会议室人数最少为63人。
若设人数最多的一场会议的会议室人数为Xi，则63<=Xi<=150,
方案一：
因此方案为选择五个宾馆，我们从方便性考虑，可先假设会议室分布在五个宾馆中，那么就有宾馆安排两组会议。
（1，2，5，6，7）
这样我们便有了多种选择，当X=150分别见下表：
表一：
宾馆号
会议室规模
会议室选择个数
会议室价格（半天）
1
150
2
1200元
2
180
1
1500元
5
150
1
1000元
6
160
1
1000元
7
200
1
1000元
会议室的总费用应为14400元，有附图可知我们需租两辆客车按最高标准费用为3200元，此时总费用为17600元。
当X=63人见表二：
表二：
宾馆号
会议室规模
会议室选择个数
会议室价格（半天）
1
150
2
1200元
2
130，
1
1000元
5
150
1
1000元
6
160
1
1000元
7
140
1
800元
会议室的总费用为14400元。
我们需租的客车数不变，并且价格若选最低则费用为2400元
此时总费用为16800元.
设方案一中在1号宾馆选择两个会议室消费的总额为
则
16800
17600
第二种选择当X=150时分别见下表：
表三
宾馆号
会议室规模
会议室选择个数
会议室价格（半天）
1
150
1
1200元
2
180
1
1500元
5
150
2
1000元
6
160
1
1000元
7
200
1
1000元
会议室的总费用为14400元，我们需要租的客车数不变，并且价格若按最高标准则费用为3200元。
此时总费用为17600元。
当X=63人时，见表四：
宾馆号
会议室规模
会议室选择个数
会议室价格（半天）
1
150
1
1200元
2
130
1
1000元
5
150
2
1000元
6
160
1
1000元
7
140
1
800元
会议室的总费用为12000元，我们需要租的客车数不变，并且价格若按最低标准则费用为2400元.
此时总费用为14400元。
设方案一中在五号选择两个会议室的消费总额为
则
14400
17600
第三种选择当X=150时，见表五：
表五
宾馆号
会议室规模
会议室选择个数
会议室价格（半天）
1
150
1
1200元
2
180
1
1500元
5
150
1
1000元
6
160，180
各1个
1000，1200元
7
200
1
1000元
会议室的费用为13800元，我们需要租的客车数不变，并且价格若按最高标准则费用为3200元。
此时总费用为17000元。
当X=63时，见表六：
宾馆号
会议室规模
会以选择个数
会议室价格
（半天）
1
150
1
1200元
2
130
1
1000元
5
150
1
1000元
6
160，180
各1个
1000元，1200元
7
140
1
800元
会议室的费用为12400元，我们需要租的客车数不变，并且价格若按最低标准则费用为2400元
此时总费用为14800元。
设方案一中在6号宾馆选择两个会议室的消费额为
则
14800元
17000元
因为会议室中，在我们要求范围之内的有：
150人，200人，130人，180人，140人，160人我们可以利用分段函数来表示方案一。
X∈[63,130]
=10000+a（i=1a=1200,i=2a=1000,i=5a=1000,i=6a=1000,i=7a=800）
X∈[131,140]
=11000+a（i=1a=1200,i=2a不存在,i=6a=1200,i=7a=800）
X∈[141,150]
=11400+a（i=1a=1200,i=3a=1000,i=66=1200,i=2or7a不存在）
利用这一种思想我们求出所有方案中的最优解也在12000以上，
而如果我们换一种思想，运用正态分布则可以这样来分
设第I宾馆设置两个会议室
X∈[63,150]则
=8000+a（i=1a=1200元,i=2时a=300元i=5时a=500元,i=6时a=800元）
由于在2，5，6宾馆设第六个会议室时会浪费车费，从而使总费用增加。
那么我们只能在1，7里面选因1号150人需1200元，7号140人需要800元，则我们把第六个会议室定在7号宾馆，即在7号宾馆定两个会议室。
=8000+1600+3200=12800（因两辆车就可以满足运送代表的要求）。
分配情况见表格
宾馆号
会议室规模
会以选择个数
会议室价格
（半天）
1
150
1
1200元
2
45
1
300元
5
50
1
500元
6
160
1
1000元
7
200，140
各1个
1000元，800元
因方案六中六个会场相对较近，且因会议期间，上下午安排6个分组会议。
选择方案一比较容易分布会场。
当X=150人时，我们选择的满足条件的会议室如下表所示：
宾馆代号
会议室规模
会议室价格（半天）
1
150
1200元
2
180
1500元
5
150
1000元
7
200
1000元
8
160
1000元
9
160
1200元
经计算仅租会议室费用为13800元，因租用客车是按半天计算，且因各宾馆间距离较短；一般情况会议前有半小时的入场时间；所以客车可以分多次将参会人员运达与会地点。
各路安排一辆客车即可。
故需要三辆客车，费用按最高标准4800元。
这样方案一的总费用最高为18600元。
当X=63人时，我们选择满足条件的会议室如下表所示：
宾馆代号
会议室规模
会议室价格（半天）
1
150
1200元
2
130
1000元
5
150
2000元
7
140
800元
8
130
800元
9
120
800元
计算得租会议室的费用为13200元有算最大值的方法的租用可车的最低费用为3600元。
这样方案一的总费用最低为16800元.
设方案六的经费为y则16800
y
18600元。
为了会议方便、经济等，我们将会议室设在中心位置。
由于7号宾馆在中心位置！
我们设计全部会议在7号举行！
那么2号宾馆就应该住尽量少的人，7号尽量住满，所以方案一分配如下：
1号宾馆：
合住一100人，独住二30人，独住三30；
2号宾馆：
独住一82人；
5号宾馆：
合住一132，合住二52人，独住一4人；
6号宾馆：
合住三50人，独住一40人，独住二66人；
7号宾馆：
合住一100人，独住一40人，独住三30人；
根据上述条件方案二分配如下：
2号宾馆：
独住一82人，独住二62人；
5号宾馆：
合住一140人，合住二80人；
6号宾馆：
合住二72人，合住三50人；独住一40人，独住二34人；
7号宾馆：
合住一92人，独住一44人，独住三30人；
9号宾馆：
独住三30人；
如法炮制方案三分配如下：
2号宾馆：
独住一82人，独住二47人；
5号宾馆：
合住一140人，合住二80人；
7号宾馆：
合住一92人，独住一44人，独住三30人；
8号宾馆：
合住二72人，独住一40人，独住二49人；
9号宾馆：
合住三50人，独住三30人；
因为只在7号宾馆开会，所以只有2号需要坐车，方案一中2号宾馆只有82人只需一辆车就能解决问题，而方案二、三中，2号宾馆有144人和129人，所以一辆车解决不了问题，费用就会比方案一高，所以方案一优先考虑。
我们再看看六种组合能比五种组合更经济吗？
和上面一样的分配方法得到：
方案四:
2号宾馆最少需要42人，
方案五：
2号宾馆最少需要82人；
方案六：
2号宾馆最少需要82人；
方案七：
2号宾馆最少需要42人；
那么方案四、五、六、七等都需要一辆车，那么就需要看车辆的大小，还有参加会议的人数，即分析如下：
我们根据以往几届会议代表回执和与会情况，估计得到这届会议的实际到会人数约为662人，而我们根据模型的结果，在符合满意度的情况下，预定了643人的房间。
在这种情况下，预定客房的数量与实际用房数量不会相差太多，即空房的数量不会很大。
而由假设，每种规格的房间其空房费都只占客房房费的很小比例。
所以，与其他费用相比，我们忽略这笔费用。
根据简单计算，我们得到实际与会代表数量如下表
第一届
第二届
第三届
第四届
发来回执代表数量
315
356
408
711
发来回执但未与会的代表数量
89
115
121
213
未发回执而与会的代表数量
57
69
75
104
实际与会代表数量
283
310
362
602
其中的比例关系易得，分别计算比例的均值，结果如下表
第一届
第二届
第三届
第四届
均值
发来回执但未与会的代表数量/发来回执代表数量
28.2%
32.3%
29.7%
30.0%
30.0%
未发回执而与会的代表数量/实际与会代表数量
20.0%
22.3%
20.7%
17.3%
20.0%
根据前几届会议代表的与会情况，估计本届实际与会的代表数量为662人。
由假设2，有回执而没能与会的代表服从二项分布
，我们用“参加会议而无客房入住超过若干人的概率”为度量指标，记无客房入住的参会者超过
人的概率为
，无客房入住的与会者超过
人等价于755个中有回执但未与会者不超过
人，故
。
下面我们就以
作为满意度的衡量指标来建立目标函数：
目标函数：
显然当
越大时此概率值越小，与会代表就会越满意，但是当
过大时我们就会有空房，就需要支付空房费，所以我们要寻求一个相对比较合理的
，使得与会代表满意度高且空房费尽可能的少。
该模型无法解析的求解，我们设定几组数据，用matlab软件作数值计算，给定
，计算
，结果如下表：
662
0
0
660
0
0
655
0.0000
0
650
0.0000
0.0000
645
0.0083
0.0000
644
0.0184
0.0001
643
0.0376
0.0004
642
0.0718
0.0013
641
0.1288
0.003
640
0.2187
0.0083
635
1.5473
0.2187
根据模型对满意度的假设，我们结合上表可知取
，即需预定643人的房间。
预期参加会议的人数为643人，我们是按755人分的房间，所以要去除一些房间，按比例分配得到：
合住一：
去34人；
合住二：
去23人；
合住三：
去7人；
独住一：
去25人；
独住二：
去14人；
独住三：
去9人；
因为2号住的都是独住一房间，首先在2号宾馆去人，其他的随便，所以方案一、四、五、六、七去人后2号宾馆剩下人数分别为：
57人，17人，57人，57人，17人，所以这几种方案花费一样，所以我们选用宾馆数最少的方案一。
6模型评价与改进
（1）我们从多方面进行考虑，对住宿安排做了很多工作，在保证代表们满意度比较高的情况下，经济方便的对会议进行了筹划。
可以适用很多类似问题的解决，例如旅行团住宿的相关安排问题。
（2）在预订房间的数量问题上，我们重点考虑的是代表们的满意度，故以满意度为目标建立模型，这样势必会忽略一些问题，比如空房费，这就牵扯到经济方面的最优问题。
（3）所以我们还有相当大的空间，对该模型进行论证和分析，以推导出符合多方面因素的模型。
7参考文献
[1]姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第三版），高等教育出版社，2003年
[2]韩中庚，数学建模方法及其应用，高等教育出版社，2005年
[3]张磊，毕靖，郭莲英，MATLAB实用教程，人民邮电出版社，2008年
[4]2006年全国大学生数学建模竞赛山东赛区优秀论文选集
8附录
sum=0;
fork=0:
10,
part=0.97^755;%k=0时，计算得都入住的概率
forj=binocdf（k,755,0.03）;
part=part+j;%计算得k从0到10所有情况的概率和
end
fprintf（'part（%d）=%d.\n',k,part）;
sum=sum+part;%考虑最后的总和
end
fprintf（'Thetotalsumis%d.\n',sum）;
附表①
组合方法
合住1
合住2
合住3
独住1
独住2
独住3
1、2、5和7
205
155
30
40
30
50
1、2、6和7
135
155
60
80
60
50
1、2、8和7
175
155
30
40
75
50
1、2、9和7
135
115
90
40
30
110
1、5、6和7
120
130
60
80
60
50
1、5、8和7
160
160
30
40
75
50
1、5、9和7
120
120
90
40
30
110
1、6、8和7
90
130
60
80
105
50
1、6、9和7
50
90
120
80
60
110
1、8、9和7
90
90
90
4
升级会员 