matlab数学实验报告doc.docx
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matlab数学实验报告doc
MATLAB数学实验报告
------人口统计与预测
指导老师：
王宁
实验者：
核工程93孔海宇09032064
核工程93万承辉09032075
核工程93张勇09032082
实验日期：
2010年5月28日
实验目的
通过对人口预测问题的分析求解，了解利用最小二乘法进行数据拟合的基本思想，熟悉寻找最佳拟合曲线的方法，掌握建立增长数学模型的思想方法。
通过拟合图像，对人口进行预测。
实验原理
对于已
知的关于自变量和因变量的一组数据（
）,（
）,…,（
）,寻找一个合适的类型的函数y=f（x）（如线性函数y=ax+b,多项式函数
指数函数
等），使它在观测点
处取得的值与
与观测值
在某种尺度下最接近，从而可用函数y=f（x）作为由观测点所反映的规律的近似表达式。
数据拟合（最小二乘法）：
对于已知的一组数据（
），（
）
设定某一类型的函数y=f（x）后,确定函数中的参数,使得在各点处的偏差
的平方和
最小，这种根据偏差平方和最小的条件确定参数的方法叫做最小二乘法.在最小二乘问题中函数
的选取是非常重要的，但同时又比较困难。
对于一般的拟合函数通常选取为一组线性无关的简单函数类（又称为拟合基函数）
的线性组合
（
）
通过最小二乘法求出待定常数
（
。
多项式曲线拟合：
如果选用的基函数为幂函数类：
1，
，此时拟合函数为一个m次多项式函数
，根据最小二乘法拟合思想，问题归结为m+1元函数
的最小值问题。
利用多元函数取极值的条件
得到法方程组
可以求得多项式系数.
对于多项式曲线拟合的求解，MATLAB软件提供了相应的命令polyfit，格式：
p=polyfit（x,y,m）
其中x,y为已知数据点向量，m为要拟合的多项式次数，结果返回拟合的m次多项式系数，从高次到低次存放在向量p中，再用命令y0=polyval（p,x0）求得多项式在x0处的值y0。
由于高次多项式曲线变化不稳定，因此拟合时多项式次数不宜过高
实验内容
本次实验要求根据美国前100年的人口数据数据，分别用Malthus和Logistic模型建立美国人口增长的近似曲线（设美国人口总体容量为10亿），并预测后100年我国的人口数，通过与实际数据相比较，对两种预测结果进行分析。
1790年到1980年各年美国人口的统计数据如下表：
美国人口统计数字（单位：
百万）
Malthus模型
1978年，英国统计学家Malthus在进行大量的统计基础上发现了一个关于生物种群的繁殖规律，就是一个种群中个体数量的增长率与该时刻种群的个体数量成正比。
按照此规律，设种群个体数量为
时刻开始计时，t时刻种群个体数为
，于是得到Malthus模型：
求解此方程，得到生物种群繁殖的规律为：
由此可见，生物种群个体数量是按照指数方式增长的。
Logistic模型
1838年，荷兰生物学家Verhulst做了进一步的分析后指出，导致Malthus模型不符合实际情况的主要原因是Malthus模型未能考虑生物种群繁殖过程中“密度制约”因素。
事实上，种群生活在一定的环境中，在资源给定的情况下，个体数量越多，每一个个体获得的资源就越少，这将抑制其生育率，增加死亡率。
因而，相对增长率不是常数，而应该乘上一个“制约因子”。
这个因子随
的增加而减少，设为
，其中k为环境的容纳量。
于是Verhulst提出了生物种群增长的Logistic模型：
求解方程得：
这便是Logistic模型。
实验问题求解：
Malthus模型下的求解程序
clear;clf
t=1790:
10:
1980;
N=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.072.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5];
plot（t,N,'k.','markersize',20）;
axis（[1790198001000]）
grid;holdon
pause（0.5）
n=10;
a=sum（t（1:
n））;
b=sum（t（1:
n）.*t（1:
n））;
c=sum（log（N（1:
n）））;
d=sum（t（1:
n）.*log（N（1:
n）））
A=[na;ab];
B=[c;d];
p=inv（A）*B
x=1790:
10:
1980;
y=exp（p
（1）+p
（2）*x）;
plot（x,y,'r-','linewidth',2）
Logistic模型下的求解程序
clear;clf
t=1790:
10:
1980;
N=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.072.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5];
plot（t,N,'k.','markersize',20）;
axis（[179019800600]）
grid;
holdon
pause（0.5）
n=10;
I=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.2]
K=[1000100010001000100010001000100010001000]
g=1./I;
h=1./K;
M=g-h;
a=sum（t（1:
n））;
b=sum（t（1:
n）.*t（1:
n））;
c=sum（log（M（1:
n）））;
d=sum（t（1:
n）.*log（M（1:
n）））
A=[na;ab];
B=[c;d];
p=inv（A）*B
x=1790:
10:
1980;
y=1./（0.001+exp（p
（1）+p
（2）*x））;
plot（x,y,'r-','linewidth',2）
实验结果分析
1、在Malthus模型下的求解情况分析
由程序运行解得的a=-49.7954;b=0.0286
由程序运行的曲线如下
2、在Logistic模型下的求解情况分析
由程序运行解得的a=50.7047.7954;b=-0.0291
由程序运行的曲线如下
3、两种人口预测模型的对比
由实验可知，两种模型均可对人口的未来走向有所预测，但很明显，Malthus模型在预测时会产生较大的误差，相比之下，由于Logistic模型考虑到了“密度制约”的因素，引进了一个制约因子，因此修改后的认可预测模型能够更好地对未来的人口加以预测。
下面的图形是将两种模型的曲线在同一个图中加以比较，其中蓝色的线代表的是Malthus模型的人口预测曲线，红色的线代表的是Logistic模型的人口预测曲线，黑点代表实际的人口数目。
由图中二者的对比不难发现，Logistic模型确实比Malthus模型能更好地对未来人口的走向加以预测。
所以Logistic模型是一个更好的人口预测模型。
实验误差分析
虽然两种人口模型均可以对未来的人口走势进行预测，但是，实际的人口数目仍小于预期的人口数目，而且随着时间的增加，这种误差会越来越明显。
这是由于实际情况下的情况更加复杂，除了人口密度的制约因素外，人口增长的因素还受到其他众多因素的影响，比如自然灾害、流行性疾病的发生、战争等等。
例如，在20世纪三四十年代，人口的增长出现了短暂的停滞，这应该是由于美国当时正处于大萧条时代，后来又卷入了第二次世界大战的缘故，所以人口的总数会出现减缓增长的现象；而到了60年代前后，那时美国经济正在飞速发展，人口也在以一个较高的速度发展。
这些外在因素的影响导致了实验预测产生误差，而且外在的因素影响越强烈，实验的预测情况与实际情况之间的误差就会越大。
总结与收获
在此次实验中，我们共同合作，学会了用matlab编写简单的数学程序进行一些建模和数学计算，同时我们还掌握了两种人口预测的模型，并且在合作研究之中学会了如何客观全面地分析问题，解决问题。
在我们一起合作时，我们也体会到了共同合作学习的重要性，学会了如何团结合作完成一个问题。
总之，此次数学实验让我们受益匪浅，学到了很多知识，收获了很多能力。
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