四边形专题训练平行四边形和特殊平行四边形矩形菱形和正方形.docx

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四边形专题训练平行四边形和特殊平行四边形矩形菱形和正方形

平行四边形与特殊的平行四边形

【知识精讲】

1.主要概念

（1）平行四边形——有两组对边分别平行的四边形叫平行四边形．

（2）矩形——有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．

（3）菱形——有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

（4）正方形——有一个角是直角的菱形叫做正方形

（5）梯形——只有一组对边平行的四边形叫做梯形．

（6）等腰梯形——两腰相等的梯形叫做等腰梯形．

（7）直角梯形——有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．

（8）三角形中位线——连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

2.几种特殊四边形的关系

3.几种特殊四边形的主要特征

图形

边

角

对角线

平行四

边形

对边平行且相等

对角相等

对角线互相平分

矩形

对边平行且相等

四个角都相等

对角线互相平分且相等

菱形

对边平行，

四边都相等

对角相等

对角线垂直平分，平分对角

正方形

对边平行，

四边都相等

四个角都相等

对角线垂直平分且相等，平分对角

等腰

梯形

两底平行，

两腰相等

同一底上的两个角相等

两条对角线相等

附:

矩形菱形正方形的性质和判定总表

矩形

菱形

正方形

性

质

边

对边平行且相等

对边平行，四边相等

对边平行，四边相等

角

四个角都是直角

对角相等

四个角都是直角

对角线

互相平分且相等

互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角

互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角

判定

·有三个角是直角;

·是平行四边形且有一个角是直角;

·是平行四边形且两条对角线相等.

·四边相等的四边形；

·是平行四边形且有一组邻边相等；

·是平行四边形且两条对角线互相垂直。

·是矩形，且有一组邻边相等；

·是菱形，且有一个角是直角。

对称性

既是轴对称图形，又是中心对称图形

4.解决四边形问题常用的方法

（1）有些四边形问题可以转化为三角形问题来解决．

（2）有些梯形的问题可以转化为三角形、平行四边形问题来解决．

（3）有时也可以运用平移、轴对称来构造图形，解决四边形问题．

考点分析：

四边形的内容是平行线与三角形两部分知识的应用和深化．是中考考查的重点内容，所占分值较高．考查内容主要是与四边形有关的角、周长、面积、线段、折叠、证明等问题，近年来又出现了许多与四边形有关的开放探索题、操作题，以及四边形与相似、函数知识结合的综合题．

【典型例题】一.矩形

矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；

矩形的性质:

（具有平行四边形的一切特征）

矩形性质1:

矩形的四个角都是直角．矩形性质2:

矩形的对角线相等且互相平分．

如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO=

AC=

BD．因此可以得到直角三角形的一个性质：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

矩形的判定方法．

矩形判定方法1：

对角钱相等的平行四边形是矩形．

矩形判定方法2：

有三个角是直角的四边形是矩形．

矩形判定方法3：

有一个角是直角的平行四边形是矩形．

矩形判定方法4：

（4）对角线相等且互相平分的四边形是矩形．

例1已知：

如图，矩形ABCD，AB长8cm，对角线比AD边长4cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．

例2已知：

如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC．

求证：

CE＝EF．

例3．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．

例4、如图，在ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．

（1）求证：

AB=CF；

（2）当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由．

二．菱形

【强调】　菱形

（1）是平行四边形；

（2）一组邻边相等．

菱形的性质

性质1菱形的四条边都相等；

性质2菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；

菱形的判定

菱形判定方法1:

对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

注意此方法包括两个条件：

（1）是一个平行四边形；

（2）两条对角线互相垂直．

菱形判定方法2:

四边都相等的四边形是菱形．

例1 已知：

如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．

　　求证：

∠AFD=∠CBE．

例2已知：

如图

ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．

求证：

四边形AFCE是菱形．

例3、如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F，求证：

四边形AFCE是菱形.

例4、已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE、BD交于M，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE。

求证：

AM=BE。

例5．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°,

=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．

求线段

的长．

例6、如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F。

请你猜想DE与DF的大小有什么关系？

并证明你的猜想

例7、如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.

（1）求证：

△BDE≌△BCF；

（2）判断△BEF的形状，并说明理由；

（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.

三．正方形

正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：

①有一组邻边相等的平行四边形（菱形）

②有一个角是直角的平行四边形（矩形）

正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．

正方形定义：

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；

因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：

边：

对边平行，四边相等；角：

四个角都是直角；

对角线：

对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．

注意：

正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．

正方形的判定方法：

•

（1）有一个角是直角的菱形是正方形；

•

（2）有一组邻边相等的矩形是正方形．

•注意：

1、正方形概念的三个要点：

（1）是平行四边形；

（2）有一个角是直角；（3）有一组邻边相等．2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.

例1已知：

如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．

求证：

OE=OF．

例2已知：

如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．

求证：

四边形PQMN是正方形．

例3、如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.

求证：

①PE=PD；②PE⊥PD；

例4．（河南省）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，E为底边BC的中点，且DE∥AB，试判断△ADE的形状，并给出证明．

例5：

（深圳）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C＝2∠E．

（1）求证：

梯形ABCD是等腰梯形．

（2）若∠BDC＝30°，AD＝5，求CD的长．

【方法总结】

1.化归思想贯穿于本章学习内容的始终，对于四边形的性质和识别，往往通过变四边形为三角形，变一般四边形为平行四边形进行研究．

2.巧作辅助线，常见的辅助线有：

（1）过四边形的一个顶点作垂线；

（2）作四边形的一边的平行线；

（3）作四边形对角线的平行线；

（4）过三角形（或梯形）一边中点作平行于另一边（或底边）的平行线．

【同步拓展训练】

一.选择题

1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）

A．对角线相等B．对角线互相垂直且平分

C．四条边都相等D．对角线平分一组对角

2.菱形的周长为40，两邻边所夹锐角为30°，则菱形的面积为（）

A．30B．40C．50D．60

3.如图所示，平行四边形ABCD中，DB＝DC，∠C＝70°，AE⊥BD于E，则∠DAE等于（）

A．20°B．25°C．30°D．35°

4.△ABC中，∠B＝∠C，AD⊥BC于D，E为AC中点，AB＝6，则DE等于（）

A．6B．3C．2D．1

二.填空题

1.四边形的内角和等于__________°，外角和等于__________°．

2.正方形的面积为4，则它的边长为__________，一条对角线长为__________．

3.一个多边形，若它的内角和等于外角和的3倍，则它是__________边形．

*4.如果四边形ABCD满足____________________条件，那么这个四边形的对角线AC和BD互相垂直（只需填写一组你认为适当的条件）．

5.已知菱形的一条对角线长为12，面积为30，则这个菱形的另一条对角线的长为__________．

*6.如图所示，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，BC＝5，AB＝4，AE＝3，则AF的长为__________．

7.已知，如图所示，△ABC三边的中点分别为D、E、F，如果AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，那么△DEF的周长是__________cm．

*8.如图：

矩形纸片ABCD，AB＝2，点E在BC上，且AE＝EC．若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长是__________．

【思维能力提升】

三.解答题

1.已知：

如图所示，平行四边形ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使BE＝DF．试说明AC与EF互相平分．

2.如图所示，正方形ABCD中，AC、BD交于点O，OE＝OF，连结BE，连结CF并延长交BE于点G，试说明∠ACG＝∠DBG．

**3.如图所示，已知平行四边形ABCD中，AQ，BN，CN，DQ分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，在不添加其它条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并说明理由（要求：

推理过程要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）．

【家庭作业】

1.已知平行四边形ABCD，下列结论中不一定成立的是（）

A．AB＝CDB．AC＝BD

C．当AC⊥BD时，它是菱形D．当∠ABC＝90°时，它是矩形

2.如图，EF过矩形的对角线交点O，且分别交AB、CD于E、F，如果阴影部分的面积为12，那么矩形的面积为（）

A．60B．48C．40D．36

3.不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）

A．AB∥CD且AB＝CDB．AB＝AD、BC＝CD

C．AB＝CD，AD＝BCD．∠A＝∠C，∠B＝∠D

**4.如图所示：

将一张矩形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（F在BC边上，不与B、C重合）使得C点落在矩形ABCD内部的E处，FH平分∠BFE，则∠GFH的度数α满足（）

A．90°＜α＜180°B．α＝90°

C．0°＜α＜90°D．α随着折痕位置的变化而变化