四边形专题训练平行四边形和特殊平行四边形矩形菱形和正方形.docx

1、四边形专题训练平行四边形和特殊平行四边形矩形菱形和正方形平行四边形与特殊的平行四边形【知识精讲】1. 主要概念（1）平行四边形有两组对边分别平行的四边形叫平行四边形（2）矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（3）菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（4）正方形有一个角是直角的菱形叫做正方形（5）梯形只有一组对边平行的四边形叫做梯形（6）等腰梯形两腰相等的梯形叫做等腰梯形（7）直角梯形有一个角是直角的梯形叫做直角梯形（8）三角形中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线2. 几种特殊四边形的关系3. 几种特殊四边形的主要特征图形边角对角线平行四边形对边平行且相等对角相等对角线互相平分矩

2、形对边平行且相等四个角都相等对角线互相平分且相等菱形对边平行，四边都相等对角相等对角线垂直平分，平分对角正方形对边平行，四边都相等四个角都相等对角线垂直平分且相等，平分对角等腰梯形两底平行，两腰相等同一底上的两个角相等两条对角线相等附:矩形菱形正方形的性质和判定总表矩形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定有三个角是直角;是平行四边形且有一个角是直角;是平行四边形且两条对角线相等.四边相等的四边形；是平行四边形且有一组邻边相等

3、；是平行四边形且两条对角线互相垂直。是矩形，且有一组邻边相等；是菱形，且有一个角是直角。对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形4. 解决四边形问题常用的方法（1）有些四边形问题可以转化为三角形问题来解决（2）有些梯形的问题可以转化为三角形、平行四边形问题来解决（3）有时也可以运用平移、轴对称来构造图形，解决四边形问题考点分析：四边形的内容是平行线与三角形两部分知识的应用和深化是中考考查的重点内容，所占分值较高考查内容主要是与四边形有关的角、周长、面积、线段、折叠、证明等问题，近年来又出现了许多与四边形有关的开放探索题、操作题，以及四边形与相似、函数知识结合的综合题【典型例题】一. 矩形矩形是中

4、心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；矩形的性质:(具有平行四边形的一切特征)矩形性质1: 矩形的四个角都是直角矩形性质2: 矩形的对角线相等且互相平分 如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO=AC=BD因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半矩形的判定方法矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形矩形判定方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形判定方法4： (4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形例1已知：如图 ，

5、矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm求AD的长及点A到BD的距离AE的长 例2 已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DFAE于F，若AE=BC 求证：CEEF 例3如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EFEC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长例4、如图，在 ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F(1)求证：AB=CF；(2)当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由 二菱形【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等菱形的性质性质1 菱形的四条边都相等

6、；性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；菱形的判定菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形例1 已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E 求证：AFD=CBE 例2已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F求证：四边形AFCE是菱形 例3、如图，在 平行四边形 ABCD中，O是对角线AC的中点， 过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F，求证：四边形AFCE是菱形.例4、已知如图，菱形ABCD中，E

7、是BC上一点，AE 、BD交于M，若AB=AE,EAD=2BAE。求证：AM=BE。例5 如图，在菱形ABCD中，A=60,=4,O为对角线BD的中点，过O点作OEAB，垂足为E求线段的长例6、如图，四边形ABCD是菱形，DEAB交BA的延长线于E，DFBC，交BC的延长线于F。请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想 例7、如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.（1）求证：BDEBCF； （2）判断BEF的形状，并说明理由；（3）设BEF的面积为S，求S的取值范围. 三正方形正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层

8、意思：有一组邻边相等的平行四边形 （菱形）有一个角是直角的平行四边形 （矩形）正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹

9、角是45；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质 正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质正方形的判定方法： (1)有一个角是直角的菱形是正方形； (2)有一组邻边相等的矩形是正方形 注意：1、正方形概念的三个要点：（1）是平行四边形；（2）有一个角是直角；（3）有一组邻边相等2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形. 例1 已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DGAE于G，DG交OA于F求证：OE=OF例2 已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1l2，作B

10、Ml1于M，DNl1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点求证：四边形PQMN是正方形例3、如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.求证： PE=PD ； PEPD； 例4（河南省）如图，梯形ABCD中，ADBC，AB=AD=DC，E为底边BC的中点，且DEAB，试判断ADE的形状，并给出证明例5：（深圳）如图，在梯形ABCD中，ABDC， DB平分ADC，过点A作AEBD，交CD的延长线于点E，且C2E（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形（2）若BDC30，AD5，求CD的长【方法总结】1. 化归思想贯穿于本章学习内容的始终，

11、对于四边形的性质和识别，往往通过变四边形为三角形，变一般四边形为平行四边形进行研究2. 巧作辅助线，常见的辅助线有：（1）过四边形的一个顶点作垂线；（2）作四边形的一边的平行线；（3）作四边形对角线的平行线；（4）过三角形（或梯形）一边中点作平行于另一边（或底边）的平行线【同步拓展训练】一. 选择题1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）A对角线相等 B对角线互相垂直且平分C四条边都相等 D对角线平分一组对角2. 菱形的周长为40，两邻边所夹锐角为30，则菱形的面积为（ ）A30 B40 C50 D603. 如图所示，平行四边形ABCD中，DBDC，C70，AEBD于E，则DAE等于（

12、）A20 B25 C30 D354. ABC中，BC，ADBC于D，E为AC中点，AB6，则DE等于（ ）A6 B3 C2 D1二. 填空题1. 四边形的内角和等于_，外角和等于_2. 正方形的面积为4，则它的边长为_，一条对角线长为_3. 一个多边形，若它的内角和等于外角和的3倍，则它是_边形*4. 如果四边形ABCD满足_条件，那么这个四边形的对角线AC和BD互相垂直（只需填写一组你认为适当的条件） 5. 已知菱形的一条对角线长为12，面积为30，则这个菱形的另一条对角线的长为_ *6. 如图所示，平行四边形ABCD中，AEBC于E，AFDC于F，BC5，AB4，AE3，则AF的长为_7.

13、 已知，如图所示，ABC三边的中点分别为D、E、F，如果AB6cm，AC8cm，BC10cm，那么DEF的周长是_cm*8. 如图：矩形纸片ABCD，AB2，点E在BC上，且AEEC若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长是_【思维能力提升】三. 解答题1. 已知：如图所示，平行四边形ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使BEDF试说明AC与EF互相平分2. 如图所示，正方形ABCD中，AC、BD交于点O，OEOF，连结BE，连结CF并延长交BE于点G，试说明ACGDBG*3. 如图所示，已知平行四边形ABCD中，AQ，BN，CN，DQ分别是DAB，ABC，BCD，CDA的平分线

14、，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，在不添加其它条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并说明理由（要求：推理过程要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）【家庭作业】 1. 已知平行四边形ABCD，下列结论中不一定成立的是（ ）AABCD BACBDC当ACBD时，它是菱形 D当ABC90时，它是矩形2. 如图，EF过矩形的对角线交点O，且分别交AB、CD于E、F，如果阴影部分的面积为12，那么矩形的面积为（ ）A60 B48 C40 D363. 不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）AABCD且ABCD BABAD、 BCCDCABCD，ADBC DAC，BD*4. 如图所示：将一张矩形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（F在BC边上，不与B、C重合）使得C点落在矩形ABCD内部的E处，FH平分BFE，则GFH的度数满足（ ）A90180 B90C090 D随着折痕位置的变化而变化