那么，当p在（0,1）内增大时,D（）的变化是（）
（A）减小
（B）增大
（C）先减小后增大
（D）先增大后减小
2
9.已知函数f（x）=x-1，g（x）=lnx，下列说法中正确的是（）
（A）f（x）,g（x）在点（1,0）处有相同的切线
（B）对于任意x>0f（x）≥g（x）恒成立
（C）f（x）,g（x）的图象有且只有一个交点
（D）f（x）,g（x）的图象有且只有两个交点
10.算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如下图：
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如下图：
6728
6708
如果把5根算筹以适当的方式全部放入右面的表格中，那么
可以表示的三位数的个数为（）
（A）46
（B）44
（C）42
（D）40
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分.
11.已知函数y=ex，则f'
（1）=
.
x
12.二项式（2x2-1）6的展开式中的常数项是
x
13.若复数z满足i⋅z=1+2i，则|z|=.
.（用数字作答）
14.能说明“若f'（0）=0，则x=0是函数y=f（x）极值点”为假命题的一个函数是
．
15.北京市某银行营业点在银行大厅悬挂着不同营业时间段服务窗口个数的提示牌，如图所示.
设某人到达银行的时间是随机的，记其到达银行时服务窗口的个数为X，则E（X）=．
16.容器中有A,B,C3种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗B粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子.例如，一颗A粒子和一颗B粒子发生碰撞则变成一颗C粒子.
现有A粒子10颗，B粒子8颗，C粒子9颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩1颗粒
子.给出下列结论：
①最后一颗粒子可能是A粒子
②最后一颗粒子一定是C粒子
③最后一颗粒子一定不是B粒子
④以上都不正确
其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：
本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分13分）
已知函数f（x）=1x3-x2+bx，且f'
（2）=-3.
3
（Ⅰ）求b；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间.
18．（本小题满分13分）
某工厂生产一种汽车的元件，该元件是经过A、B、C三道工序加工而成的，A、B、C三道工序加工的元件合格率分别为1、2、3．已知每道工序的加工都相互独立，
234
三道工序加工都合格的元件为一等品；恰有两道工序加工合格的元件为二等品；其它的为废品，不进入市场．
（Ⅰ）生产一个元件，求该元件为二等品的概率；
（Ⅱ）若从该工厂生产的这种元件中任意取出3个元件进行检测，求至少有2个元件是一等品的概率.
19．（本小题满分13分）
已知函数f（x）=（x+a）ex.
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0,4]上的最小值.
20．（本小题满分13分）
某校在学年期末举行“我最喜欢的文化课”评选活动，投票规则是一人一票，高一
（1）班44名学生和高一（7）班45名学生的投票结果如下表（无废票）：
语文
数学
外语
物理
化学
生物
政治
历史
地理
高一
（1）
班
6
9
7
5
4
5
3
3
2
高一（7）
班
a
6
b
4
5
6
5
2
3
该校把上表的数据作为样本，把两个班同一学科的得票之和定义为该年级该学科的
“好感指数”.
（Ⅰ）如果数学学科的“好感指数”比高一年级其他文化课都高，求a的所有取值；
（Ⅱ）从高一
（1）班投票给政治、历史、地理的学生中任意选取3位同学，设随机变量
X为投票给地理学科的人数，求X的分布列和期望；
（Ⅲ）当a为何值时，高一年级的语文、数学、外语三科的“好感指数”的方差最小?
（结论不要求证明）
21．（本小题满分14分）
已知函数f（x）=ex-alnx-x.
（Ⅰ）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（1,f
（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0,1）上存在极值点，求a的取值范围.
22．（本小题满分14分）
已知函数f（x）=lnx+a（x-1）.
x
（Ⅰ）若a=0，求f（x）的极值；
（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上f（x）<0恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）判断函数f（x）的零点个数.（直接写出结论）
北京市西城区2018—2019学年度第二学期期末试卷
高二数学参考答案2019.7
一、选择题：
本大题共10小题，每小题4分，共40分.
1.B2.D3.B4.D5.A6.A7.C8.B9.D10.B
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分.
11.012.60
13.14.f（x）=x3或f（x）=1等，答案不唯一
15.3.562516.①③
注：
16题选对一个正确结论得3分，错选不得分.
三、解答题：
本大题共6小题，共80分.
17.（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）由已知f'（x）=x2-2x+b，3
分
所以f'
（2）=4-4+b=-3，
所以b=-35分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）=x2-2x-3，解f'（x）>0，得x<-1或x>3，
解f'（x）<0，得-1所以函数f（x）的单调递增区间为（-∞,-1），（3,+∞），单调递减区间为（-1,3）.
……………………13分
18.（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）不妨设元件经A,B,C三道工序加工合格的事件分别为A,B,C.
所以P（A）=1,P（B）=2,P（C）=3.P（A）=1,P（B）=1,P（C）=1...........................
234234
设事件D为“生产一个元件，该元件为二等品”.由已知A,B,C是相互独立事件.
根据事件的独立性、互斥事件的概率运算公式，
P（D）=P（ABC+ABC+ABC）=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）
=（1-1）⨯2⨯3+1⨯（1-2）⨯3+1⨯2⨯（1-3）234234234
………………6分
=11.
24
所以生产一个元件，该元件为二等品的概率为11.........................................................
24
分
（Ⅱ）生产一个元件，该元件为一等品的概率为
p=1⨯2⨯3=1.....................................................................................................
2344
设事件E为“任意取出3个元件进行检测，至少有2个元件是一等品”，则
P（E）=212⨯3+1312
C3（4）4（4）
分
=10=5.
6432
所以至少有2个元件是一等品的概率为5
32
分
.……………………13
19.（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）f'（x）=ex+（x+a）ex=（x+a+1）ex2
分
由f'（x）>0，解得x>-a-1；
由f'（x）<0，解得x<-a-1.
所以函数f（x）的单调减区间为（-∞,-a-1），单调增区间为（-a-1,+∞）4分
（Ⅱ）①当-a-1≥4，即a≤-5时，
f（x）在[0,4]上单调递减，
所以f（x）min=f（4）=（a+4）e4.
②当-a-1≤0，即a≥-1时，
f（x）在[0,4]上单调递增，所以f（x）min=f（0）=a.
分
③当-5……………………7分
……………………10
x
（0,-a-1）
-a-1
（-a-1,4）
f'（x）
-
0
+
f（x）
极小值
分
f（x）
1
所以f（x）min=f（-a-1）=-e-a-1=-13
ea+1
综上，当a≤-5时，f（x）min=（a+4）e4；当a≥-1时，f（x）min=a；当-5=-1.
min
ea+1
20.（本小题满分13分）解：
（Ⅰ）由已知a+b=14
分
，所以b=14-a1
依题意，
分
⎧9+6>6+a,
⎩
⎨9+6>7+b,3
⎧9+6>6+a,
即⎨
⎩9+6>7+（14-a）,
解得6所以a=7，a=84
分
（Ⅱ）由已知，随机变量X是高一
（1）班同学中投票给地理学科的人数，
所以X=0,1,25分
P（X=0）=
6C35
3
8
分
C2C1
P（X=1）=623=
C8
分
14，……………………6
15，……………………7
28
C1C2
3........................................................................................................
P（X=2）=62=8分
C828
X
0
1
2
P
5
14
15
28
3
28
……………………9分
E（X）=0⨯5+1⨯15+2⨯3=310分
1428284
（Ⅲ）a=7或a=813
分
21.（本小题满分14分）
解：
（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=ex+lnx-x，x>0.
所以f'（x）=ex+1-1，2分
x
所以f
（1）=e-1，f'
（1）=e，
曲线y=f（x）在点（1,f
（1））处的切线方程为y-（e-1）=e（x-1），
整理得ex-y-1=0.……………………4分
（Ⅱ）因为f（x）=ex-alnx-x，x>0.
所以f'（x）=ex-a-1=xex-x-a，6分
xx
依题意，f'（x）在区间（0,1）上存在变号零点7分
因为x>0，设g（x）=xex-x-a，所以g（x）在区间（0,1）上存在变号零点.……8
分
因为g'（x）=ex（x+1）-1，9
分
所以，当x∈（0,1）时，ex>1，x+1>1，所以ex（x+1）>1，即g'（x）>0，
所以g（x）在区间（0,1）上为单调递增函数，12
分
依题意，
分
⎧g（0）<0,
⎨
⎩g
（1）>0,
⎧-a<0,
即⎨
⎩e-1-a>0.
……………………13
解得0所以，若f（x）在区间（0,1）上存在极值点，a的取值范围是（0,e-1）.
22.（本小题满分14分）
解：
（Ⅰ）当a=0时，定义域为{x|x>0}.
因为f（x）=lnx，所以f'（x）=1-lnx1分
xx2
令f'（x）=0，解得x=e，
x
（0,e）
e
（e,+∞）
f'（x）
+
0
-
f（x）
极大值
所以f（x）在区间（0,e）上单调递增，在区间（e,+∞）上单调递减3
分
所以f（x）有极大值，极大值为f（e）=1；没有极小值4
e
分
（Ⅱ）因为x>0，所以在（1,+∞）上f（x）<0恒成立，即lnx+ax2-ax<0在（1,+∞）恒成立.
……………………5分
设g（x）=lnx+ax2-ax.
①当a≥0时，g
（2）=ln2+2a>0，不符合题意7
分
②当a<0时，
'12ax2-ax+1
g（x）=+2ax-a=
x
x8分
令g'（x）=0,即2ax2-ax+1=0，
因为方程2ax2-ax+1=0的判别式∆=a2-8a>0，两根之积1<0.所以
2a
g'（x）=0有两个异号根.设两根为x1,x2，且x1<0……………………9分
i）当x2>1时，
x
（1,x2）
x2
（x2,+∞）
g'（x）
+
0
-
g（x）
极大值
所以g（x）在区间（1,x2）上单调递增，在区间（x2,+∞）上单调递减，
所以g（x2）>g
（1）=0，不符合题意；10
分
ii）当x2≤1时，g'
（1）≤0，即a≤-1时，
g（x）在（1,+∞）单调递减，所以当x∈（1,+∞）时，g（x）（1）=0，符合题意.
综上，a≤-111分
（Ⅲ）当a≥0或a=-1时，f（x）有1个零点；当a<0且a≠-1时，函数f（x）有2个零点.
……………………14
分
16题提示：
1、最后剩下的可能是A粒子
10颗A粒子两两碰撞，形成5颗B粒子；
9颗C粒子中的8个两两碰撞，形成4颗B粒子；所有的17颗B粒子两两碰撞，剩下一颗B粒子；这个B粒子与剩下的一颗C粒子碰撞形成A粒子。
2、最后剩下的可能是C粒子
10颗A粒子中的9颗与9颗C粒子两两碰撞，形成9颗B粒子；所有的17颗B粒子两两碰撞，最后剩一颗B粒子；
这个B粒子与剩下的一颗A粒子碰撞形成C粒子。
3、最后剩下的不可能是B粒子
A、B、C三种粒子每一次碰撞有以下6种可能的情况：
A与A碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗A粒子；（B多1个，AC共减少两个）
B与B碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗B粒子；（B少1个，AC总数不变）
C与C碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗C粒子；（B多1个，AC共减少两个）
A与B碰撞，会产生一颗C粒子，减少A、B各一颗粒子。
（B少1个，AC总数不变）
A与C碰撞，会产生一颗B粒子，减少A、C各一颗粒子。
（B多1个，AC共减少两个）
B与C碰撞，会产生一颗A粒子，减少B、C各一颗粒子。
（B少1个，AC总数不变）可以发现如下规律：
（1）从B粒子的角度看：
每碰撞一次，B粒子的数量增多一个或减少一个。
题目中共有27颗粒子，经过26次碰撞剩一颗粒子，整个过程变化了偶数次，由于开始B粒子共有8颗，所以26次碰撞之后，剩余的B粒子个数必为偶数，不可能是1个。
所以，最后剩下的不可能是B粒子。
（2）从A、C粒子的角度看：
每次碰撞之后，A、C粒子总数或者不变、或者减少两个。
题目中A、C粒子之和为19个，无论碰撞多少次，A、C粒子都没了是不可能的。
所以，剩下的最后一颗粒子一定是A或C.
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