教师招聘考试真题中学数学科目及答案.docx

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教师招聘考试真题中学数学科目及答案

教师招聘考试真题［中学数学科目］

（满分为120分）

第一部分数学教育理论与实践

一、简答题（10分）

教育改革已经紧锣密鼓，教学中应确立这样的思想“以促进学生的全面发展为本，以提高全体学生的数学素质为纲”，作为教师要该如何去做呢？

谈谈高中数学新课程改革对教师的要求。

二、论述题（10分）

如何提高课堂上情境创设、合作学习、自主探究的实效性？

第二部分数学专业基础知识

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。

1．复数（1+i）（1-i）=（

）

A．2

B．-2

C．2i

D．-2i

2

（3x2+k）dx=10,则k=（

2．

）

0

A．1

B．2

C．3

D．4

3．在二项式（x-1）6的展开式中，含

x3的项的系数是（

）

A．-15

B．15

C．-20

D．20

4．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，

时速在［50,60）的汽车大约有（

）

A．30辆

B．40辆

C．60辆

D．80辆

5．某市在一次降雨过程中,降雨量y（mm）与时间t（min）的函数关系可近似

地表示为

t2

）

f（t）=,则在时刻t=10min的降雨强度为（

100

A．

1

1

C．

1

D．1mm/min

mm/min

B．mm/min

mm/min

5

4

2

6．定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f

（1）=2，则f（-3）等于

（

）

A．2

B．3

C．6

D．9

7．已知函数f（x）=2x+3，f-1（x）是f（x）的反函数，若

mn=16（m，n∈R+），则f-1（m）+f-1（n）

的值为（

）

A．-2

B．1

C．4

D．10

8．双曲线x2

-y2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别是

F1，F2，过F1作倾斜角为

a2

b2

30°的直线交双曲线右支于

M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（

）

A．6

B．3

C．2

3

D．

3

9．如图，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，A，B到l的距离分别是a和b，AB与α，

β所成的角分别是θ和φ，AB在α，β内的射影分别是m和n，若a>b，则（）

A．θ>φ，m>nB．θ>φ，m

C．θ<φ，mn

y≥1

10．已知实数x，y满足y≤2x-1如果目标函数z=x-y的最小值为-1，则实数m等于（）

x+y≤m

A．7

B．5

C．4

D．3

二、填空题（本大题共

5小题，每小题

3分，共

15分）把答案填在题中横线上。

2

2

与该椭圆有共同焦点，且一条渐近线是

11．x+4y=16的离心率等于

x+3y=0的双曲线方程是

。

12．不等式|x+1|+|x-2|≥5的解集为

。

y=sin

θ+1

13．在直角坐标系xOy中，已知曲线

C的参数方程是

x=cos

θ（θ

是参数），若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则曲线

C的极坐标方程

可写为

。

14．已知函数f（x）=2x,等差数列{ax}的公差为2，若f（a2+a4+a6+a8+a10）=4,

则log2［f（a1）·f（a2）·f（a3）·,·f（a10）］=

。

15．已知：

如右图，PT

切⊙O

于点

T，PA

交⊙O

于A、B

两点且与直径

CT

交于点

D，

CD＝2，AD＝3，BD＝6，则

PB＝

。

三、解答题（本大题共

5小题，共

45分。

）解答应写出文字说明，证明过程或演算步

骤。

16．（本小题满分

8分）

在△ABC中,∠B=,AC=2

5,cosC=

25。

4

5

（Ⅰ）求sinA;

（Ⅱ）记BC的中点为D,求中线AD的长。

17．（本小题满分8分）

在一次数学考试中,第14题和第15题为选做题。

规定每位考生必须且只须在其中选做

一题。

设

4名考生选做这两题的可能性均为

1。

2

（Ⅰ）其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率;

（Ⅱ）设这4名考生中选做第15题的学生数为ξ个,求的分布列及数学期望。

18．（本小题满分8分）

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD，

且PA=PD=

2

AD,若E、F分别为PC、BD的中点。

2

（Ⅰ）EF//平面PAD；

（Ⅱ）求证:

平面PDC⊥平面PAD；

（Ⅲ）求二面角B-PD-C的正切值。

19．（本小题满分

9分）

已知函数

fx=x

3+3ax-1,gx=f

′x-ax-5，其中

f′x

是

f（x）的导函数。

（Ⅰ）对满足

-1≤a≤1的一切

a的值，都有

gx<0，求实数

x的取值范围；

（Ⅱ）设

a=-m2，当实数

m在什么范围内变化时，函数

y=fx

的图像与直线

y=3

只有一

个公共点。

20．（本小题满分12分）

2

+y

2

2

2

把由半椭圆x

2

2=1（x≥0）与半椭圆x

2+

y2=1（x≤0）合成的曲线称作“果圆”，其中

a

b

b

c

a2=b2+c2，a>0，b>c>0。

如下图所示，点

F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，

A1，A2和B1，B2

分别是“果圆”与

x，y轴的交点。

（1）若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；

（2）当|A1A2|>|B1B2|时，求b的取值范围；

a

（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦。

试研究：

是否存在实数

k，

使斜率为k的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？

若存在，求出所有可能的

k

值；若不存在，说明理由。

四、教学技能（10分）

21．结合教学实际，谈谈在具体数学教学中如何有效处理生成与预设的关系。

教师招聘考试模拟考卷［中学数学科目］

第一部分数学教育理论与实践

一、简答题

【答案要点】

（1）首先是从更新教育观念出发，建立由应试数学变为大众数学的新观点，

培养学生学数学、懂数学、用数学的意识，使之具有基本的数学素质。

（2）牢牢抓住课堂教学这个主阵地，从数学知识、数学意识、逻辑推理和信息交流四个层面入手，向40分钟要效益，克服重理论，轻实践，重结果，轻过程的倾向，冲破“讲得多”，“满堂灌”等束缚，更新教学方法，提高教学质量。

（3）数学教师素质的提高刻不容缓，教师必须有能力进行数学素质教育，这就需要教师

在观念层次、知识层次、方法层次等方面都能达到相应的高度，这样才能有效地开发学生的

数学潜能，达到提高数学素质的最终目的。

“大众数学的目标是人人学有用的数学，人人学好数学，人人学更多的数学”。

它要求

教学要重过程，重推理，重应用，以解决问题为出发点和归宿，它要求教学是发展的，动态

的，这有利于学生能力发展的要求。

教师要在新的教学观的指导下，充分发挥学生的主观能动性，让学生逐步学会求知和创

新，从而为学生获得终身学习的能力、创造的能力和长远发展的能力打好基础。

二、论述题

【答案要点】谈到课堂教学的实效性大家都不约而同地谈到一个问题——数学学习情境

的创设。

创设学习情境是为了更有效地引导学生学习数学、研究数学，是为学生的数学学习服务的。

而不是为了创造情境而创造情境，创设情境一定是围绕着教学目标，紧贴教学内容，遵循儿童的心理发展和认知规律。

在课堂实践中教师们用智慧为学生创设了多种有利于促进

学习的学习环境。

1．创设数学与生活紧密联系的学习环境

2．创设有思维价值的数学活动情境

3．创设源于数学知识本身的问题情境

4．创设思维认知冲突的问题情境

合作、自主探究学习首先要给学生独立思考、自主探究的空间。

一个人没有自己的独立

思考，没有自己的想法拿什么去与别人交流？

因此，独立思考是合作学习的重要基础。

其次，

合作学习要有明确的问题解决的目标，明确小组成员分工，组织好组内、组际之间的交流。

对学生的自主探索、合作交流，教师要加强指导。

除了培养学生合作的意识外，还要注意对

学生合作技能的训练和良好合作习惯的培养。

如倾听的习惯、质疑的能力，有条理汇报交流

的能力，合作探究的方法策略等。

对良好习惯的养成，合作探究技能的培养要持之以恒。

当

然，自主探究、合作学习都需要空间，教师要为学生的活动搭好台，留有比较充分的时间和

空间，以确保自主探究、合作学习的质量，使课堂教学的实效性得以落实。

第二部分数学专业基础知识

一、选择题

1．A【解析】（1+i）（1-i）=1-i2=2

2．A【解析】原式=x3+|kx|2=8+2k-0=10∴k=1

0

3．C【解析】略

4．C【解析】0．03×10×200=60

f（10）-f（9）

102

92

1

5．A【解析】

=

-

=（mm/min）

1

100

100

5

6．C【解析】令x=y=0,f（0+0）=f（0）=f（0）+f（0）∴f（0）=0

令x=1,y=-1,f（-1）=f（0）=f

（1）+f（-1）-2=0∴f（-1）=0

f（-2）=f（-1-1）=f（-1）+f（-1）+2=2

f（-3）=f（-1）+f（-2）+4=6

7．A【解析】f-1（x）=log2x-3

f-1（m）+f-1（n）=log2m+log2n-6=log2（mn）-6=log216-6=4-6=-2

8．B【解析】|MF1|=2|MF2||MF2|=2a

b2=2a2

b2

|MF1|-|MF2|=2a|MF2|=

a

∴

2

c2

a2+b2

3a2

e

=

a2=

a2

=

a2=3

e=3

m=

AB2-b2

sin

=bAB

sin>sin

9．D【解析】n=

AB2-a2

m>nsin

=aAB

a>b

a>b

>

10．B【解析】Zmin=x-y=

m+1

2m-1

∴m=5

-

=-1

3

3

二、填空题

11．

3,x

2

-y2

=1

2

9

3

【解析】x

2

+y2

=1

∴a=4,b=2,c=23

16

4

∴e=c=

2

3

=

3设双曲线方程为

x2

y2

1

a

4

2

a2

b2

c2

=12

b

=

3

2

2

x2

y

2

∴a

3

a

=9,b=3

∴

-

=1

c2

=a2+b2

9

3

12．x∈（-∞,-2）∪（3,+∞）

【解析】利用绝对值的几何意义。

13．ρ=2sinθ

【解析】略

14．-6

【解析】a2+a4+a6+a8+a10=5a6

5a6

∴f（5a6）=2=4∴5a6=2

5

48

∴a6==a1+5d∴a1=

5

2

原式=log22a1+a2+

+a10

=a1+a2+,+a10

=10（a1+a10）=5（a1+a1+9d）=-62

15．15

【解析】利用勾股定理和余弦定理。

三、解答题

2

5

5

16．【解析】（Ⅰ）由cosC=

5

C是三角形内角，得sinC=1－cos2C=

5

∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC

=

2

2

5

2

5

3

2

5

2

5

10

10

（Ⅱ）在△ACD

中,由正弦定理，

BC

=

AC

BC=

AC

sinA=

25

3

10=6

sinA

sinB

sinB

2

×

10

2

AC=25,CD=

1

2

5

BC=3,cosC=

·

2

5

AC2CD22AC·CD·cosC·

由余弦定理得:

AD=

=

20

9

2

2

5

2

5

3

5

5

17．【解析】

（Ⅰ）设事件A表示“甲选做

14题”,事件B表示“乙选做

14题”,则甲、

乙2名学生选做同一道题的事件为“

AB+AB”,且事件A、B相互独立

∴P（AB+AB）=P（A）P（B）+P（A）P（B）,

=

1×1

+（1－

1

）×（1－

1

）=

1

2

2

2

2

2

（Ⅱ）随机变量ξ的可能取值为

0,1,2,3,4．且ξ～B（4,

1

）．

∴P（ξ=k）=C4k

（1）k（1

1）4

k=C4k

（1）4

2

（k=0,1,2,3,4）

2

2

2

所以变量ξ的分布列为

Ξ

0

1

2

3

4

P

1

1

3

1

1

16

4

8

4

16

Eξ=0×1+1×1

+2×3

+3×1+4×1=2或Eξ=np=4×

1

=2

16

4

8

4

16

2

18．【解析】解法一：

（Ⅰ）证明：

连结

AC，在△CPA中EF//PA

且PA∈平面PAD

∴EF//平面PAD

（Ⅱ）证明：

因为面PAD⊥面ABCD平面PAD∩面ABCD=ADCD⊥AD

所以，CD⊥平面PAD

∴CD⊥PA

又PA=PD=

2

APD=

AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且∠

2

2

PA⊥PD

CD∩PD=D，且CD、PDPCD

PA⊥面PDC

又PAPAD面PAD⊥面PDC

（Ⅲ）解：

设PD的中点为M,连结EM,MF,则EM⊥PD

由（Ⅱ）知EF⊥面PDC,EF⊥PD

PD⊥面EFMPD⊥MF

∠EMF是二面角B－PD－C的平面角

1

2

1

1

Rt△FEM中，EF=PA=

a

EM=

CD=a

2

4

2

2

EF

2a

2

=

4

=

故所求二面角的正切值为

tan∠EMF=

1

2

EM

a

2

解法二：

如图,取AD的中点O,连结OP,OF。

∵PA=PD,∴PO⊥AD。

∵侧面PAD⊥底面ABCD,

平面PAD∩平面ABCD=AD,

∴PO⊥平面ABCD,

2

2

而O,F分别为AD,BD的中点,∴OF//AB,又ABCD是正方形,故OF⊥AD．

∵PA=PD=

2

AD,∴PA⊥PD,OP=OA=a。

2

2

以O为原点

直线

OA,OF,OP

为

x,y,z轴建立空间直线坐标系,则有

a

a

0）,D（

a

a

a

a

A（

0,0）,F（0,

－,0,0）,P（0,0,）,B（

a,0）,C（－,a,0）．

222222

∵E为PC的中点,∴E（－a,a,a）．

4

2

4

（Ⅰ）易知平面

PAD的法向量为

a

a

a

OF=（0,,0）而EF=（

0,－

）,

2

4

4

且OF·EF=（0,a,0）·（a,0,－a）=0,∴EF//平面PAD．

2

4

4

（Ⅱ）∵PA=（

a

a

a

a

0,－

）,CD=（0,a,0）∴PA·CD=（

0,－）·（0,a,0）=0,

2

2

2

2

∴PACD,从而PA⊥CD,又PA⊥PD,PD∩CD=D,

∴PA⊥平面PDC,而PA

平面PAD,

∴平面PDC⊥平面PAD

a

（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面PDC的法向量为PA=（,0,－a2）．

2

设平面PBD

的法向量为

a

a

n=（x,y,z）．∵DP=（

0,

）,BD=（－a,a,0）,

2

2

∴由n·DP

0,n·BD

0

可得

a·x+0·y+a·z=0,

2

2

－a·x+a·y+0·z=0,

令x=1,则y=1,z=－1,

故n=（1,1,－1）

∴cos=

n·PA=

a

=6

|n|·|PA|

2a

3

3

2

即二面角B－PD－C的余弦值为

6

二面角B－PD－C的正切值为

2．

3

2

19．【解析】（Ⅰ）由题意gx=3x2－ax+3a－5，令φx=3－xa+3x2－5，－1≤a≤1对－1≤a≤1，恒有gx<0，即φa<0

∴φ1<0

3x2－x－2<0

φ－1<0

即

3x2+x－8<0

，解得－

2

故x∈（－

3

2

1）时，对满足－

1≤a≤1的一切

a的值，都有

gx<0

3

（Ⅱ）f′x=3x2－3m2

①当m=0时，fx=x3－1的图象与直线y=3只有一个公共点

②当m≠0时，列表：

x

（－∞,|m|）

－|m|

（－|m|,|m|）

|m|

（|m|,+∞）

f′（x）

+

0

－

0

+

F（x）

↗

极大

↘

极小

↗

∴f（x）极小=f|x|=－2m2|m|－1<－1

又∵fx的值域是R，且在（|