第八章二元一次方程组 备课.docx
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第八章二元一次方程组备课
8.1二元一次方程组
教学目标：
1．认识二元一次方程和二元一次方程组.
2．了解二元一次方程和二元一次方程组的解，会求二元一次方程的正整数解.
教学重点：
理解二元一次方程组的解的意义.
教学难点：
求二元一次方程的正整数解.
教学过程：
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？
思考：
这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？
设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？
由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件：
胜的场数＋负的场数＝总场数，
胜场积分＋负场积分＝总积分.
这两个条件可以用方程
x＋y＝10
2x＋y＝16
表示.
上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数（x和y），并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
把两个方程合在一起，写成
x＋y＝10
2x＋y＝16
像这样，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
探究：
满足方程①，且符合问题的实际意义的x、y的值有哪些？
把它们填入表中.
x
y
上表中哪对x、y的值还满足方程②
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
例1 已知下列三对值：
x＝－6 x＝10 x＝10
y＝－9 y＝－6 y＝－1
（1）
x－y＝6
2x＋31y＝－11
哪几对数值使方程
x－y＝6的左、右两边的值相等？
（2）哪几对数值是方程组 的解？
例2 求二元一次方程3x＋2y＝19的正整数解.
课堂练习：
习题8.1 1、2题
布置作业：
教科书第90页3、4、5题
8.2消元——解二元一次方程组
（1）
教学目标：
1．会用代入法解二元一次方程组.
2．初步体会解二元一次方程组的基本思想――“消元”.
3．通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神.
教学重点：
用代入消元法解二元一次方程组.
教学难点：
探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程.
教学过程：
复习提问：
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？
解：
设这个队胜x场，根据题意得
2x+（10－x）＝16
解得 x＝6
则 10－x＝4
答：
这个队胜6场，负4场.
新课：
在上述问题中，我们可以设出两个未知数，列出二元一次方程组，
设胜的场数是x，负的场数是y，
x＋y＝10
2x＋y＝16
那么怎样求解二元一次方程组呢？
上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？
可以发现，二元一次方程组中第1个方程x＋y＝10可以写为y＝10－x，将第2个方程
2x＋y＝16中的y换为10－x，这个方程就化为一元一次方程2x+（10－x）＝16.
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思想.
归纳：
上面的解法，是由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
例1 把下列方程写成用含x的式子表示y的形式：
（1）2x－y＝3
（2）3x＋y－1＝0
例2 用代入法解方程组
x－y＝3 ①
3x－8y＝14 ②
用代入消元法解二元一次方程组的步骤：
（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.
（2）把
（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.
（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.
（4）把所求得的一个未知数的值代入
（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.
课堂练习：
教科书第93页2题
布置作业：
教科书第97页第2题
8.2消元——解二元一次方程组
（2）
教学目标：
1．会用代入法解二元一次方程组.
2．初步体会解二元一次方程组的基本思想――“消元”.
3．通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神.
教学重点：
用代入消元法解二元一次方程组.
教学难点：
探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程.
教学过程：
复习提问：
用代入消元法解二元一次方程组的步骤
讲解新课：
例3 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量比（按瓶计算）为2:
5.某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶？
课堂练习：
教科书第93页3、4题
布置作业：
教科书第97页第4题
8.2消元——解二元一次方程组（3）
教学目标
1.用加减法解二元一次方程组.毛
2.会用二元一次方程组解决实际问题.
教学重点
用加减消元法解二元一次方程组.
教学难点：
探索如何用加减法将“二元”转化为“一元”的消元过程.
教学过程：
一、创设情境，导入新课
甲、乙、丙三位同学是好朋友，平时互相帮助。
甲借给乙10元钱，乙借给丙8元钱，丙又给甲12元钱，如果允许转帐，最后甲、乙、丙三同学最终谁欠谁的钱，欠多少？
二、师生互动，课堂探究
（一）提出问题，引发讨论
①②
我们知道，对于方程组
可以用代入消元法求解。
这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？
利用这种关系你能发现新的消元方法吗？
（二）导入知识，解释疑难
1.问题的解决
上面的两个方程中未知数y的系数相同，②－①可消去未知数y，得（2x+y）-（x+y）=16-10即x=6,把x=6代入①得y=4。
另外，由①－②也能消去未知数y，得（x+y）-（2x+y）=10-16即-x=-6,x=6,把x=6代入①得y=4.
①②
2.想一想：
联系上面的解法，想一想应怎样解方程组
分析：
这两个方程中未知数y的系数互为相反数，因此由①＋②可消去未知数y，从而求出未知数x的值。
解：
由①＋②得19x=11.6x=
把x=
代入①得y=-
∴这个方程组的解为
3.加减消元法的概念
从上面两个方程组的解法可以发现，把两个二元一次方程的两边分别进行相加减，就可以消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
4.例题讲解
①②
例4用加减法解方程组
分析：
这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同，直接加减两个方程不能消元，试一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。
解：
①×3,得9x+12y=48③
②×2,得10x-12y=66④
③＋④,得19x=114
x=6
把x=6代入①，得3×6+4y=16
4y=-2,y=-
所以，这个方程组的解是
议一议：
本题如果用加减法消去x应如何解？
解得结果与上面一样吗？
解：
①×5，得15x+20y=80③
②×3,得15x-18=99④
③-④,得38y=-19
y=-
把y=-
代入①，得3x+4×（-
）=16
3x=18，x=6
所以，这个方程组的解为
如果求出y=-
后，把y=
代入②也可以求出未知数x的值。
5.做一做
①②
解方程组
分析：
本题不能直接运用加减法求解，要进行化简整理后再求解。
①②
解：
化简方程组，得
③－④，得4x=36
x=9
把x=9代入④（也可代入③，但不佳），得
10×9-3y=48
-3y=-42y=14
∴这个方程组的解为
点评:
当方程组比较复杂时,应先化简,并整理成标准形式.本题还可以把2x+3y和2x-3y当成两个整体,用换元法,设2x+3y=A,2x-3y=B,转化为以A、B为未知数的二元一次方程组.
6.想一想
（1）加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么?
（2）用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些?
（三）归纳总结,知识回顾
本节课,我们主要是学习了二元一次方程组的另一解法──加减法.通过把方程组中的两个方程进行相加或相减,消去一个未知数,化“二元”为“一元”.
三、布置作业：
教科书98页2题
8.2消元——解二元一次方程组（4）
一、创设情境,导入新课
七年级（5）班在上体育课时,进行投篮比赛,体育老师做好记录,并统计了在规定时间内投进n个球的人数分布情况,体育委员在看统计表时,不慎将墨水沾到表格上（如下表）.
进球数n
0
1
2
3
4
5
投进球的人数
1
2
7
●
●
2
同时,已知进球3个和3个以上的人平均每人投进3.5个球;进球4个和4个以下的人平均每人投进2.5个球,你能把表格中投进3个球和投进4个球对应的人数补上吗?
二、师生互动,课堂探究
（一）指出问题,引发讨论
你能不能用二元一次方程组,帮助体育委员把表格中的两个数字补上呢?
（经过学生思考、讨论、交流）
（二）导入知识,解释疑难
1.例题讲解（见P95例4）
分析:
如果1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷,那么2台大收割机和5台小收割机1小时收割小麦______公顷,3台大收割机和2台小收割机1小时收割小麦_______公顷.
解:
设1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦x公顷和y公顷.根据两种工作方式中的相等关系,得方程组
①②
去括号,得
②-①,得11x=4.4
解这个方程,得x=0.4
把x=0.4代入①,得y=0.2
这个方程组的解是
答:
1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦0.4公顷和0.2公顷.
2.上面解方程组的过程可以用下面的框图表示:
3.做一做
为了保护环境,某校环保小组成员收集废电池,第一天收集1号电池4节,5号电池5节,总重量为460克,第二天收集1号电池2节,5号电池3节,总重量为240克,试问1号电池和5号电池每节分别重多少克?
分析:
如果1号电池和5号电池每节分别重x克,y克,则4克1号电池和5节5号电池总重量为4x+5y克,2节1号电池和3节5号电池总重量为2x+3y克.
解:
设1号电池每节重x克,5号电池每节重y克,根据题意可得
①②
②×2-①,得y=20
把y=20代入②,得2x+3×20=240,x=90
所以这个方程组的解为
答:
1号电池每节重90克,5号电池每节重20克.
4.练一练:
P97练习第2、３题.
（三）归纳总结,知识回顾
这节课我们经历和体验了列方程组解决实际问题的过程,体会到方程组是刻画现实世界的有效模型,从而更进一步提高了我们应用数学的意识及解方程组的技能.
三、布置作业：
教科书98页6、8题
8.3实际问题与二元一次方程组
（1）
教学目标：
1使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，让学生再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用
2通过应用题教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系，体会代数方法的优越性
3体会列方程组比列一元一次方程容易
4进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力
重点与难点：
重点：
能根据题意列二元一次方程组；根据题意找出等量关系；
难点：
正确发找出问题中的两个等量关系
教学过程：
一、复习
列方程解应用题的步骤是什么？
（1）审题、
（2）设未知数、（3）列方程、（4）解方程、（5）检验并答
二、新课
看一看：
课本99页探究1
问题：
1、题中有哪些已知量？
哪些未知量？
2、题中等量关系有哪些？
3、如何解这个应用题？
本题的等量关系是
（1）30只母牛和15只小牛一天需用饲料为675kg
（2）（30+12只母牛和（15+5）只小牛一天需用饲料为940
解：
设平均每只母牛和每只小牛1天各需用饲料为xkg和ykg
根据题意列方程，得
解这个方程组得
答：
每只母牛和每只小牛1天各需用饲料为20kg和5kg，饲料员李大叔估计每天母牛需用饲料18—20千克，每只小牛一天需用7到8千克与计算有一定的出入。
练一练：
1、某所中学现在有学生4200人，计划一年后初中在样生增加8%，高中在校生增加11%，这样全校学生将增加10%，这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数各是多少人？
解：
设现在初中在校学生有x人，高中在校生有y人
根据题意，列方程得
解这个方程组得
2、有大小两辆货车，两辆大车与3辆小车一次可以支货15。
50吨，5辆大车与6辆小车一次可以支货35吨，求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？
解：
设每辆大车和每辆小车一次运货量分别为x,y吨
答：
3辆大车与5辆小车一次可以运货24.5吨
3、某工厂第一车间比第二车间人数的
少30人，如果从第二车间调出10人到第一车间，则第一车间的人数是第二车间的
，问这两车间原有多少人？
解：
设第一、第二车间原来分别有x,y人
4、某运输队送一批货物，计划20天完成，实际每天多运送5吨，结果不但提前2天完成任务并多运了10吨，求这批货物有多少吨？
原计划每天运输多少吨？
8.3实际问题与二元一次方程组
（2）
教学目标：
通过学生积极思考，互相讨论，经历探索事物之间的数量关系，形成方程模型，解方程和运用方程解决实际问题的过程进一步体会方程是刻划现实世界的有效数学模型
教学重点：
让学生实践与探索，运用二元一次方程解决有关配套与设计的应用题
教学难点：
寻找等量关系
教学过程：
看一看：
课本99页探究2
问题：
1、“甲、乙两种作物的单位面积产量比是1：
1.5”是什么意思？
2、“甲、乙两种作物的总产量比为3：
4”是什么意思？
3、本题中有哪些等量关系？
提示：
若甲种作物单位产量是a，那么乙种作物单位产量是多少？
甲种作物单位产量是a
解这个方程组得
答：
这两个长方形，是过长方形ABCD土地的长边上离A约106米处把这块地分为两个长方形，较大一块种甲种作物，较小的一块种乙种作物。
思考：
这块地还可以怎样分？
练一练
一、某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花、和蔬菜，已知种植植物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备奖金如下表：
农作物品种
每公顷需劳动力
每公顷需投入奖金
水稻
4人
1万元
棉花
8人
1万元
蔬菜
5人
2万元
已知该农场计划在设备投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资金正好够用？
问题：
1、题中有几个已知量？
2、题中求什么？
3、分别安排多少公顷种水稻、棉花、和蔬菜？
解：
设安排x公顷种水稻、y公顷种棉花、则（51-x-y）种公顷蔬菜
根据题意列方程得：
解这个方程得：
那么种蔬菜的面积为51-15-20=16
答：
安排15公顷种水稻、20公顷种棉花、16种公顷蔬菜
二、木工厂有28人，2个工人一天可以加工3张桌子，3个工人一天可加工10只椅子，现在如何安排劳动力，使生产的一张桌子与4只椅子配套？
三、一外圆凳由一个凳面和三条腿组成，如果1立方米木材可制作300条腿或制作凳面50个，现有9立方米的木材，为充分利用材料，请你设计一下，用多少木材做凳面，用多少木材做凳腿，最多能生产多少张圆凳？
8.3实际问题与二元一次方程组（3）
教材100页：
探究3：
如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地。
公路运价为1.5元/（吨·千米）,铁路运价为1.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元。
这批产品
的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
例甲运输公司决定分别运给A市苹果10吨、B市苹果8吨，但现在仅有12吨苹果，还需从乙运输公司调运6吨，经协商，从甲运输公司运1吨苹果到A、B两市的运费分别为50元和30元，从乙运输公司运1吨苹果到A、B两市的运费分别为80元和40元，要求总运费为840元，问如何进行调运？
练习：
1、某山区有23名中、小学生因贫困失学要捐助。
资助一名中学生的学习费用需要a元，一名小学生的学习费用需要b元。
某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其捐助贫困中学生和小学生的部分情况如下表：
捐款数额
（元）
捐助贫困中学生人数（名）
捐助贫困小学生人数（名）
初一年级
4000
2
4
初二年级
4200
3
3
初三年级
7400
（1）求a、b的值。
（2）初三学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将初三年级学生可捐助的贫困中、小学生人数直接填入上表中（不必写出计算过程）。
2、某公园的门票价格如下表所示：
购票人数
1人～50人
51～100人
100人以上
票价
10元/人
8元/人
5元/人
某校八年级甲、乙两个班共100多人去该公园举行游园联欢活动，其中甲班有50多人，乙班不足50人。
如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共只要付515元。
问：
甲、乙两个班分别有多少人？
二元一次方程组单元复习
班级姓名
一、本章知识网络结构图：
二、本章含有两个主要思想：
消元和方程思想。
所谓方程思想是指在求解数学问题时，从题中的已知量和未知量之间的数量关系入手，找出相等关系，运用数学符号形成的语言将相等关系转化为方程（或方程组），再通过解方程（组）使问题获得解决，方程思想是中学数学中非常重要的数学思想方法之一，在无法直接求解的情况下通常要用到方程思想。
列方程（组）解应用题要注意的三个问题：
（1）列出符合题意的方程是关键，一般题目中有几个未知量就应该找几个等量关系，从而列出几个方程。
一定要用列代数式时没有用过的等量关系列方程，所列方程要满足三个条件：
①方程两边表示的是同一个量；②方程两边的数值相等；③统一单位。
（2）解方程（组）要细心。
（3）要检验方程（组）的解是否满足所列方程（组），更要检验是否符合应用题的实际情况。
所谓消元思想就是把包含多个未知数的方程组通过消元的办法减少未知数的个数，即把三元方程组转化为二元方程组，再把二元方程组转化为一元一次方程，从而得解。
消元的方法有加减消元法和带入消元法两种。
三、经典例题
1、分别用代入消元法、加减消元法求方程组
的解。
2、若方程组的解x和y互为相反数，求a的值。
3、某商场用2500元购进A、B两种新型节能灯共50盏，这两种灯的进价和标价如下表：
（1）这两种灯各购进多少盏？
A
B
进价（元）
40
65
标价（元）
60
100
（2）若A型灯按标价的九折销售，B型灯按标价的八折销售，求商场获得的总利润。
4、若甲乙两人共同完成某项工作，6小时可完成
；若甲先做1小时，乙再加入一起做3小时则可完成一半。
问甲乙两人单独完成这项工作各需要多少小时？
【巩固提高】
一、择题题：
1、方程2x+y=9在正整数范围内的解有（）
A、1个B、2个C、3个D、4个
2、若5x-6y=0，且xy≠0，则
的值等于（）
A
B
C1D-1
3、已知
与
都是方程y=kx+b的解，则k与b的值为（）
A、
，b=-4B、
，b=4C、
，b=4D、
，b=-4
4、若
则
（）
A、-1B、1C、2D、-2
5、下列能与方程5x-y=2组成的方程组有无数多个解的方程是（）
A、10x+2y=4B、4x-y=7C、20x-4y=3D、15x-3y=6
6、已知3－x＋2y＝0，则2x－4y－3的值为（ ）
A、－3B、3C、1D、0
7、已知ｘ＝３－ｋ，ｙ＝ｋ＋２，则ｙ与ｘ的关系是（）
Ａ、ｘ＋ｙ＝５ Ｂ、ｘ＋ｙ＝１ Ｃ、ｘ－ｙ＝１ Ｄ、ｙ＝ｘ－１
二、填空题（每题2分，共20分）
8、若关于字母
、
的方程是二元一次方程，则
=
9、若关于x的方程（k2-1）x2+（k+1）x+（k-7）y=k+2，当k=______时，方程为一元一次方程；
当k=______时，方程为二元一次方程。
10、将方程3x-y=1变形成用y的代数式表示x，则x=__________；用x表示y为
11、关于x、y的方程组
与
有相同的解，则
=。
12、如果关于
、
的方程组
无解，那么
。
13、若是
与
同类项，则
的值为
14、甲、乙两人共同解方程组
由于甲看错了方程①中的
得到方程组的解为
；乙看错了方程②中的
得到方程组的解为
。
则a2010+（-0.1b）2009=.
15、12支球队进行单循环比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。
若有一支球队最终的积分为18分，那么这个球队胜了场。
三、解答题：
16、
17、
18、
19、若方程组
的解x、y满足4x﹣3y=21，求k的值．
20、一个通讯员骑摩托车要在规定的时间内把文件送到目的地.如果他骑摩托车的速度是每时36千米，结果将早到20分钟，如果他骑摩托车的速度是每小时30千米，就要迟到12分钟。
这段路程是多少千米？
提高题：
1、一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付两组费用共3480元．若只选一个组单独完成，从节约开支角度考虑，这家商店应选择哪个组？
2、有50名同学去划船。
每只大船可坐6人，租金10元；每只小船可坐4
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