初等数学研究期末试题及答案A.docx
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初等数学研究期末试题及答案A
初等数学研究期末试题及答案A
延安大学西安创新学院期末考试命题专用纸
课程名称:
初等数学研究任课教师姓名:
左晓虹
卷面总分:
100分考试时长:
100分钟考试类别:
闭卷?
开卷?
其他?
注:
答题内容请写在答题纸上，否则无效（
一、单选题（4*10=40分）
,,,,,
1（设，是向量，命题“若，则”的逆否命题是（）||||ab,abab,,
,,,,,,,
，则（B）若，则（A）若||||ab,||||ab,ab,,ab,,
,,,,,,,
（C）若，则（D）若，则||||ab,||||ab,ab,,ab,,
x,,22（设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是（）
2222（A）（B）（C）（D）yx,,4yx,4yx,,8yx,8
fx（）fxfx（）（）,,fxfx
（2）（），,yfx,（）3（设函数（R）满足，，则函数的图像x,
是（）
xx,64（（R）展开式中的常数项是（）（42）,x,
20,15（A）（B）（C）15（D）20
5（某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）
2,（A）,83
（B）8,3
82,,（C）
2,（D）3
[0,），,6（函数在内（）fxxx（）cos,,
（A）没有零点（B）有且仅有一个零点
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延安大学西安创新学院期末考试命题专用纸（C）有且仅有两个零点（D）有无穷多个零点
227（设集合，MyyxxxR,,,,{||cossin|,}
1MN:
}，为虚数单位，R，则为（）ix,Nxx,,,{|||2i
1]（0（A）（0，1）（B），
1][01）[0（C），（D），
xxx1238（右图中，，，为某次考试三个评阅人对同一道题的
x,6x,9p,8.5p12独立评分，为该题的最终得分，当，，
x3时，等于（）
（A）11（B）10（C）8（D）7
l9（设，„，是变量和的个样本点，直线是由这些样本点y（,）,（,）xyxy（,）xyxn112233
通过最小二乘法得到的线性回归方程（如右图），以下结论中正确的是（）
l（A）和的相关系数为直线的斜率yx
（B）和的相关系数在0到1之间yx
l（C）当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同n
l（D）直线过点（,）xy
10（甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（）
1151（A）（B）（C）（D）363696
二、解答题（10*5=50分，选做5道题目即可）
，,ACD90AEBC,1（如右图，?
B=?
D，，，
且AB=6，AC=4，AD=12，求BE的长度（
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1,,fx（）（0,），,f
（1）0,gxfxfx（）（）（）,，2（设函数定义在上，，导函数，（fx（）,x
gx（）
（1）求的单调区间;
1gx（）
（2）讨论与的大小关系;g（）x
3（植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米（开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，求这个最小值（4（叙述并证明余弦定理（
（
（1）作出相应图像，叙述“三垂线定理”及其逆定理的内容;5
（2）请至少列出与三角形相关的5个性质命题（
6（就感兴趣的某节课，请设计出你认为最好的开课语及结束语（三、证明题（10分）
ABACD,,如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，EDE,ABCABC,BCAA11111
ABAC,平面，求证:
（BCC1
一、选择题（4*10=40分）
1（C2（B3（B4（C5（A
6（B7（C8（C9（D10（D
二、解答题（10*5=50分，选做5道题目即可）
，,ACD90AEBC,1.如图，?
B=?
D，，，且AB=6，AC=4，AD=12，求BE（
AEBC,解:
因为，
，,ACD90，所以?
AEB=
又因为?
B=?
D，所以?
AEB?
?
ACD，„„5分
ACAD所以,,AEAB
ABAC,，64所以，AE,,,2AD12
2222BEABAE,,,,,6242在Rt?
AEB中，（„„„„„„„„„5分
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1,,fx（）（0,），,f
（1）0,gxfxfx（）（）（）,，2.设函数定义在上，，导函数，（fx（）,x
gx（）
（1）求的单调区间;
1gx（）
（2）讨论与的大小关系;g（）x
1,fxxc（）ln,，f
（1）0,ln10，,cc,0解:
（1）?
，?
（为常数），又?
，所以，即，cfx（）,x
1fxx（）ln,?
;，gxx（）ln,，x
x,1x,1,,gx（）0,x,1?
，令，即，解得，„„„„2分,0gx（）,22xx
gx（）0,gx（）（0,1）gx（）x,（0,1）当时，，是减函数，故区间在是函数的减区间;
x,，,（1,）gx（）0,gx（）（1,），,gx（）当时，，是增函数，故区间在是函数的增区间;„„„„3分
111
（2），设，gxx（）ln,,，hxgxgxx（）（）（）2ln,,,,，xxx
2
（1）x,,则，hx（）,,2x
1h
（1）0,x,1当时，，即，gxg（）（）,x
,x,，,（0,1）（1,）:
hx（）0,h
（1）0,当时，，，
（0,），,hx（）因此函数在内单调递减，
1hxh（）
（1）,01,,x当时，=0，?
;gxg（）（）,x
1hxh（）
（1）,x,1当时，=0，?
（„„„„„„5分gxg（）（）,x
3.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米（开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，求这个最小值为（
解:
（方法一）设树苗放在第个树坑旁边（如图），i
12„i„1920那么各个树坑到第i个树坑距离的和是
siiiiiii,,，，,，，，,，，，,，，，,，
（1）10
（2）10（）10[
（1）]10（20）10？
？
iiii
（1）（20）（120），,，，,，，,,，,，10[（20）]iiii22
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2，„„„„„„„„„„8分,,，10（21210）ii
i,10所以当或时，的值最小，最小值是1000，所以往返路程的最小值是2000米.11s
„„„„„„„„2分
（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值;所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可。
树苗放在第一个树坑旁，则有
19（119），路程总和是;树苗放在第10个（或第11个）10（1219）21023800，，，，，,，，,？
2
10（129）10（1210）2，，，，，，，，，，？
？
树坑旁边时，路程总和是
9（19）10（110），，，，，所以路程总和最小为2000,，，，，，,，,1021029001100200022
米.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分
4.叙述并证明余弦定理（
解:
余弦定理:
三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。
或:
在?
ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有
222abcbcA,，,2cos，
222bcacaB,，,2cos，
222cababC,，,2cos.„„„„„„„„5分
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2证明:
（证法一）如图，,,,,ACABACABcBC,，，，，
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2222,,,，ACACABAB2,,,，ACACABAAB2cos
22,,，bbcAc2cos
222abcbcA,，,2cos即
222bcacaB,，,2cos同理可证，
222cababC,，,2cos
„„„„„„„„„„5分
ABC,,abc,,,,ABC（证法二）已知中，所对边分别为，以A为原点，AB所在直线为轴建x
CbAbABc（cos,sin）,（,0）立直角坐标系，则，
222222222?
aBCbAcbAbAbcAcbA,,,，,,，，||（cos）（sin）cos2cossin
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22,，,bcbcA2cos，
222abcbcA,，,2cos即
222bcacaB,，,2cos同理可证，
222cababC,，,2cos
„„„„„„„„„„„„„„5分5.
（1）“三垂线定理”复述正确„„„„3分
“三垂线逆定理”复述正确„„„„2分
（2）5个命题每题1分。
6.开课语5分:
其中正确性„„3分;艺术性„„2分。
结束语5分:
其中正确性„„3分;艺术性„„2分。
三、证明题（10分）
ABACD,,如图，直三棱柱中，、分别为、EABCABC,BCAA11111
ABAC,的中点，平面，证明:
DE,BCC1
？
ABCABC,111证明:
方法1:
连结BE，为直三棱柱，
？
，,:
BBC90,1
BC？
BEEC1？
E为的中点，。
„„„„5分
BCC1DE,又平面，
？
BDDCABCDA,（射影相等的两条斜线段相等）而平面，
？
ABAC（相等的斜线段的射影相等）。
„„„„5分
BCFAFED方法2:
取的中点，证四边形为平行四边形，„„„„„„5分
AFBC,ABAC,AFDE进而证?
，，得也可。
„„„„„„„„5分
方法3:
利用空间向量的方法。
具体解法略。
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