《二次根式》专题练习含答案.docx
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《二次根式》专题练习含答案
....
初二数学专题练习《二次根式》
一．选择题
1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A．x＜1B．x≤1C．x＞1D．x≥1
2．若1＜x＜2，则的值为（）A．2x﹣4B．﹣2C．4﹣2xD．2
3．下列计算正确的是（）A．=2B．=C．=xD．=x
4．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（）
A．﹣2a+b
B
．2a﹣bC
．﹣b
D
．b
5．化简
+
﹣
的结果为（
）
A
．0
B．2
C．﹣2
D．2
6．已知x＜1，则
化简的结果是（
）A．x﹣1
B．x+1
C．﹣x﹣1
D．1﹣x
7．下列式子运算正确的是（
）A．
B．
C．
D．
8．若
，则x3﹣3x2+3x的值等于（
）A．
B．
C．
D．
二．填空题
9．要使代数式
有意义，则x的取值范围是
．
10．在数轴上表示实数a的点如图所示，化简
+|a﹣2|的结果为
．
11．计算：
=．12．化简：
=．13．计算：
（+）=．
14．观察下列等式：
第1个等式：
a1==﹣1，
第2个等式：
a2==﹣，
第3个等式：
a3==2﹣，
第4个等式：
a4==﹣2，
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：
an=；
（2）a1+a2+a3+⋯+an=．
参考
.
.
.
.
15．已知a、b为有理数，m、n分别表示
的整数部分和小数部分，且
2
．
amn+bn=1，则2a+b=
16．已知：
a＜0，化简
=
．
17．设
，
，
，⋯，
．
设
，则S=
（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
三．解答题
18．计算或化简：
﹣（3
+）；
19．计算：
（3﹣
）（3+）+
（2﹣
）
20．先化简，再求值：
，其中x=
﹣3
﹣（π﹣3）0．
21．计算：
（
+
）×．
22．计算：
×（﹣
）+|﹣2
|+（）﹣3．
23．计算：
（
+1）（
﹣1）+
﹣（）0．
24．如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：
．
25．阅读材料，解答下列问题．
例：
当a＞0时，如a=6则|a|=|6|=6，故此时a的绝对值是它本身；
当a=0时，|a|=0，故此时a的绝对值是零；
当a＜0时，如a=﹣6则|a|=|﹣6|=﹣（﹣6），故此时a的绝对值是它的相反数．
∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即，
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．
问：
（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况；
（2）猜想与|a|的大小关系．
26．已知：
a=，b=．求代数式的值．
参考
....
27．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以
将其进一步化简：
（一）
==
（二）
===﹣1（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
====﹣1（四）
（1）请用不同的方法化简．
（2=；
=．
（3）化简：
+++⋯+．
28．化简求值：
，其中．
参考
....
参考答案与解析
一．选择题
1．（2016?
贵港）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A．x＜1B．x≤1C．x＞1D．x≥1
【分析】被开方数是非负数，且分母不为零，由此得到：
x﹣1＞0，据此求得x的取值范围．
【解答】解：
依题意得：
x﹣1＞0，
解得x＞1．
故选：
C．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：
式子（a≥0）叫二次根式．性质：
二次根式中的
被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．注意：
本题中的分母不能等于零．
2．（2016?
呼伦贝尔）若1＜x＜2，则的值为（）
A．2x﹣4B．﹣2C．4﹣2xD．2
【分析】已知1＜x＜2，可判断x﹣3＜0，x﹣1＞0，根据绝对值，二次根式的性质解答．【解答】解：
∵1＜x＜2，
∴x﹣3＜0，x﹣1＞0，原式=|x﹣3|+
=|x﹣3|+|x﹣1|
=3﹣x+x﹣1
=2．
故选D．
【点评】解答此题，要弄清以下问题：
1、定义：
一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a＞0时，表示a的算术平方根；
当a=0时，=0；当a小于0时，非二次根式（若根号下为负数，则无实数根）．
2、性质：
=|a|．
3．（2016?
南充）下列计算正确的是（）
A．=2B．=C．=xD．=x
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简求出答案．
参考
....
【解答】解：
A、=2，正确；
B、=，故此选项错误；
C、=﹣x，故此选项错误；
D、=|x|，故此选项错误；
故选：
A．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
4．（2016?
潍坊）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（）
A．﹣2a+bB．2a﹣bC．﹣bD．b
【分析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性
质化简得出答案．
【解答】解：
如图所示：
a＜0，a﹣b＜0，
则|a|+
=﹣a﹣（a﹣b）
=﹣2a+b．
故选：
A．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及实数与数轴，正确得出各项符号是解题关键．
5．（2016?
营口）化简+﹣的结果为（）
A．0B．2C．﹣2D．2
【分析】根据根式的开方，可化简二次根式，根据二次根式的加减，可得答案．
【解答】解：
+﹣=3+﹣2=2，
故选：
D．
【点评】本题考查了二次根式的加减，先化简，再加减运算．
6．已知x＜1，则化简的结果是（）
A．x﹣1B．x+1C．﹣x﹣1D．1﹣x
【分析】先进行因式分解，x2﹣2x+1=（x﹣1）2，再根据二次根式的性质来解题即可．
参考
....
【解答】解：
=
=|x﹣1|
∵x＜1，
∴原式=﹣（x﹣1）=1﹣x，
故选D．
【点评】根据完全平方公式、绝对值的运算解答此题．
7．下列式子运算正确的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的性质化简二次根式：
=|a|；
根据二次根式分母有理化的方法“同乘分母的有理化因式”，进行分母有理化；二次根式的加减实质是合并同类二次根式．
【解答】解：
A、和不是同类二次根式，不能计算，故A错误；
B、=2，故B错误；
C、=，故C错误；
D、=2﹣+2+=4，故D正确．
故选：
D．
【点评】此题考查了根据二次根式的性质进行化简以及二次根式的加减乘除运算，能够熟练进行二次根式的分母有理化．
8．若
，则x3﹣3x2+3x的值等于（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】把x的值代入所求代数式求值即可．也可以由已知得（
x﹣1）2=3，即x2﹣2x﹣2=0，则x3
2
2
2
﹣3x+3x=x（x﹣2x
﹣2）﹣（x﹣2x﹣2）+3x﹣2=3x﹣2，代值即可．
【解答】解：
∵x3﹣3x2+3x=x（x2﹣3x+3），
∴当
时，原式=（
）[
﹣3（
）+3]=3
+1．
故选C．
参考
....
【点评】代数式的三次方不好求，就先提取公因式，把它变成二次方后再代入化简合并求值．
二．填空题
9．（2016?
贺州）要使代数式有意义，则x的取值范围是x≥﹣1且x≠0．
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件：
被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．【解答】解：
根据题意，得
，
解得x≥﹣1且x≠0．
【点评】本题考查的知识点为：
分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
本题应注意在求得取值范围后，应排除不在取值范围内的值．
10．（2016?
乐山）在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为3．
【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案．
【解答】解：
由数轴可得：
a﹣5＜0，a﹣2＞0，
则+|a﹣2|
=5﹣a+a﹣2
=3．
故答案为：
3．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，正确掌握掌握相关性质是解题关键．
11．（2016?
聊城）计算：
=12．
【分析】直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案．
【解答】解：
=3×÷
=3
=12．
故答案为：
12．
参考
....
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
12．（2016?
威海）化简：
=．
【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：
原式=3﹣2=．
故答案为：
．
【点评】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同
类二次根式的合并．
13．（2016?
潍坊）计算：
（+）=12．
【分析】先把化简，再本括号内合并，然后进行二次根式的乘法运算．
【解答】解：
原式=?
（+3）
=×4
=12．
故答案为12．
【点评】本题考查了二次根式的计算：
先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性
质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
14．（2016?
黄石）观察下列等式：
第1个等式：
a1=
=
﹣1，
第2个等式：
a=
=
﹣
，
2
第3个等式：
a3=
=2﹣，
第4个等式：
a4=
=
﹣2，
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：
an=
=﹣；
；
123n
﹣1．
（2）a+a+a+⋯+a=
参考
....
【分析】
（1）根据题意可知，a1==﹣1，a2==﹣，a3==2﹣，a4==
﹣2，⋯由此得出第n个等式：
an==﹣；
（2）将每一个等式化简即可求得答案．
【解答】解：
（1）∵第1个等式：
a1==﹣1，
第2个等式：
a2==﹣，
第3个等式：
a3==2﹣，
第4个等式：
a4==﹣2，
∴第n个等式：
an==﹣；
（2）a1+a2+a3+⋯+an
=（﹣1）+（﹣）+（2﹣）+（﹣2）+⋯+（﹣）
=﹣1．
故答案为=﹣；﹣1．
【点评】此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．
15．已知a、b为有理数，m、n分别表示
2
．
的整数部分和小数部分，且amn+bn=1，则2a+b=2.5
【分析】只需首先对
估算出大小，从而求出其整数部分
a，其小数部分用
﹣a表示．再分
2
别代入amn+bn=1进行计算．
【解答】解：
因为2＜
＜3，所以2＜5﹣
＜3，故m=2，n=5﹣﹣2=3﹣
．
2
得，2（3﹣
）a+（3﹣
2
把m=2，n=3﹣代入amn+bn=1
）b=1
化简得（6a+16b）﹣
（2a+6b）=1，
等式两边相对照，因为结果不含
，
所以6a+16b=1且2a+6b=0，解得a=1.5，b=﹣0.5．
所以2a+b=3﹣0.5=2.5．
故答案为：
2.5．
【点评】本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．
参考
....
16．已知：
a＜0，化简=﹣2．
【分析】根据二次根式的性质化简．
【解答】解：
∵原式=﹣=﹣
又∵二次根式内的数为非负数
∴a﹣=0
∴a=1或﹣1
∵a＜0
∴a=﹣1
∴原式=0﹣2=﹣2．
【点评】解决本题的关键是根据二次根式内的数为非负数得到a的值．
17．设，，，⋯，．
设，则S=（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
【分析】由Sn=1++===，求
，得出一般规律．
【解答】解：
∵Sn=1++===，
∴==1+=1+﹣，
∴S=1+1﹣+1+﹣+⋯+1+﹣
=n+1﹣
==．
故答案为：
．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值．关键是由Sn变形，得出一般规律，寻找抵消规律．
三．解答题（共11小题）
参考
....
18．（2016?
泰州）计算或化简：
﹣（3+）；
【分析】先化成最简二次根式，再去括号、合并同类二次根式即可；
【解答】解：
（1）﹣（3+）
=﹣（+）
=﹣﹣
=﹣；
【点评】本题考查了二次根式的加减法以及分式的混合运算，正确化简是解题的关键．
19．（2016?
盐城）计算：
（3﹣）（3+）+（2﹣）
【分析】利用平方差公式和二次根式的乘法法则运算．
【解答】解：
原式=9﹣7+2﹣2
=2．
【点评】本题考查了二次根式的计算：
先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运
算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20．（2016?
锦州）先化简，再求值：
，其中x=﹣3﹣（π﹣3）0．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把化简后x的值代入进行计算即可．
【解答】解：
，
=÷，
=×，
=．
x=﹣3﹣（π﹣3）0，
=×4﹣﹣1，
=2﹣﹣1，
参考
....
=﹣1．
把x=﹣1代入得到：
==．即=．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．
21．计算：
（+）×．
【分析】首先应用乘法分配律，可得（+）×=×+×；然后根据二次根式的混
合运算顺序，先计算乘法，再计算加法，求出算式（+）×的值是多少即可．
【解答】解：
（+）×
=×+×
=1+9
=10
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
①与有理数
的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根
式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．
22．计算：
×（﹣
）+|﹣2
|+（）﹣3．
【分析】根据二次根式的乘法法则和负整数整数幂的意义得到原式=﹣
+2+8，然后化简后合
并即可．
【解答】解：
原式=﹣
+2
+8
=﹣3
+2
+8
=8﹣
．
【点评】本题考查了二次根式的计算：
先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运
算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数整数幂、
23．计算：
（+1）（﹣1）+﹣（）0．
【分析】先根据平方差公式和零指数幂的意义得到原式=3﹣1+2﹣1，然后进行加减运算．【解答】解：
原式=3﹣1+2﹣1
参考
....
=1+2．
【点评】本题考查了二次根式的计算：
先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运
算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．
24．如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：
．
【分析】本题综合性较强，不仅要结合图形，还需要熟悉算术平方根的定义．
【解答】解：
由数轴知，a＜0，且b＞0，
∴a﹣b＜0，
∴，
=|a|﹣|b|﹣[﹣（a﹣b）]，
=（﹣a）﹣b+a﹣b，
=﹣2b．
【点评】本小题主要考查利用数轴表示实数取值范围、二次根式的化简、代数式的恒等变形等基础知
识，考查基本的代数运算能力．
观察数轴确定a、b及a﹣b的符号是解答本题的关键，本题巧用数轴给出了每个数的符号，渗透了数
形结合的思想，这也是中考时常考的知识点．
本题考查算术平方根的化简，应先确定a、b及a﹣b的符号，再分别化简，
最后计算．
25．阅读材料，解答下列问题．
例：
当a＞0时，如a=6则|a|=|6|=6，故此时a的绝对值是它本身；
当a=0时，|a|=0，故此时a的绝对值是零；
当a＜0时，如a=﹣6则|a|=|﹣6|=﹣（﹣6），故此时a的绝对值是它的相反数．
∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即，
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．
问：
（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况；
参考
....
（2）猜想与|a|的大小关系．
【分析】应用二次根式的化简，首先应注意被开方数的范围，再进行化简．
【解答】解：
（1）由题意可得=；
（2）由
（1）可得：
=|a|．
【点评】本题主要考查二次根式的化简方法与运用：
①当a＞0时，=a；②当a＜0时，=﹣a；
③当a=0时，=0．
26．已知：
a=，b=．求代数式的值．
【分析】先求得a+b=10，ab=1，再把求值的式子化为a与b的和与积的形式，将整体代入求值即可．【解答】解：
由已知，得a+b=10，ab=1，
∴=
==．
【点评】本题关键是先求出a+b、ab的值，再将被开方数变形，整体代值．
27．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以
将其进一步化简：
（一）
==
（二）
===﹣1（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
====﹣1（四）
（1）请用不同的方法化简．
参考
....
（2=；
=．
（3）化简：
+++⋯+．
【分析】
（1）中，通过观察，发现：
分母有理化的两种方法：
1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到约分的目的；
（2）中，注意找规律：
分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出现抵消的情况．
【解答】解：
（1）=，
=；
（2）原式=+⋯+
=++⋯+
=．
【点评】学会分母有理化的两种方法．
28．化简求值：
，其中．
【分析】由a=2+，b=2﹣，得到a+b=4，ab=1，且a＞0，b＞0，再把代数式利用因式分解的方
法得到原式=+，约分后得+，接着分母有理化和通分得到原式
=，然后根据整体思想进行计算．
【解答】解：
∵a=2+＞0，b=2﹣＞0，
∴a+b=4，ab=1，
∴原式=+
=+
参考
....
=+
=，
当a+b=4，ab=1，原式=×=4．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：
先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，
然后把字母的值代入（或整体代入）进行计算．
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、如果我
们做与
不做都
会有人
笑，如
果做不
好与做
得好还
会有人
笑，那
么我们
索性就
做得更
好，来
给人笑
吧！
2、
现在你不
玩命的
学，以
后命玩
你。
、我不
知道年
少轻狂
，我只
知道胜
者为王
。
、不
要做金
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