江苏省东海县学年高二数学上学期期中试题.docx
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江苏省东海县学年高二数学上学期期中试题
江苏省东海县2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）
一、选择题（本大题共12小题）
1.命题“∀x∈R，x2-x≤0”的否定是（ ）
A.,B.,
C.,D.,
2.在平面直角坐标系xOy中，双曲线的渐近线方程为（ ）
A.B.C.D.
3.“0＜x＜”是“0＜sinx＜”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.等差数列{an}的前三项依次为x，1-x，3x，则a2019的值为（ ）
A.672B.673C.674D.675
5.对于下列四个条件：
①an=kn+b（k，b为常数，n∈N*）； ②an+2-an=d（d为常数，n∈N*）；
③an+2-2an+1+an=0（n∈N*）； ④{an}的前n项和（n∈N*）．
能确定数列{an}是等差数列的条件的个数为（ ）
A.1B.2C.3D.4
6.已知数列{an}的通项公式，若“an＜an+1（n∈N*）”的充要条件是“a＜M”，则M的值等于（ ）
A.B.1C.D.2
7.
如图，在四面体ABCD中，M，N分别是棱AD，BC的中点，AB=6，CD=4，，则异面直线AB，CD所成角的余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
8.在平面直角坐标系xOy中，椭圆（m∈R）的离心率的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
9.在平面直角坐标系xOy中，设P是双曲线上不同于左顶点A、右顶点B的任意一点，记∠PAB=α，∠PBA=β，则tanαtanβ的值为（ ）
A.B.C.D.
10.已知数列{an}是等比数列，Sn表示其前n项和．若a3=2，S4=3S2，则a5的值为（ ）
A.B.2C.4D.2或4
11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a3=8，S7=49；数列{bn}满足，则bn取最大值时n的值为（ ）
A.5B.4C.3D.2
12.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
=1，过点P（0，2）作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，当∠AOB=90°时，k的值为（ ）
A.B.C.D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.若命题“∃n∈N*，n2-nt+6≤0”是真命题，则实数t的取值范围是______．
14.在正项等比数列{an}中，已知++，则的值为______．
15.若数列{an}满足：
a1=0，a2=1，a3=3，{an+1-an}为等差数列，则an=______．
16.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的焦点为F1（-2，0），F2（2，0），过F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若AF2=3F2B，AB=BF1，则椭圆C的标准方程为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知p：
在平面直角坐标系xOy中，方程表示双曲线；q：
实数m满足不等式m2-（2a+2）m+a2+2a≤0．
（1）若命题p为真，求实数m的取值范围；
（2）若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．
18.在数列{an}中，，（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：
为定值．
19.如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PBC⊥底面ABCD，PB=PC=BC=2，AB=1．
（1）求二面角P-AD-B的大小；
（2）求点B到平面PAD的距离．
20.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：
（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆E上．
（1）若，点P的坐标为，求椭圆E的方程；
（2）若点P横坐标为，点M为PF1中点，且OP⊥F2M，求椭圆E的离心率．
21.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
，过点P（0，1）的动直线l与椭圆C交于A，B两点．
（1）求证：
为定值；
（2）求△AOB面积的最大值．
22.设数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*总有2Sn=an2+n，且an＜an+1．
（1）求a1，a2；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）若对任意n∈N*，θ∈R，不等式≤λ（n+2）恒成立，求实数λ的最小值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：
∵全称命题的否定是特称命题，
∴命题“∀x∈R，x2-x≤0”的否定是：
∃x∈R，x2-x＞0．
故选：
C．
全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
2.【答案】A
【解析】解：
双曲线的渐近线方程：
y=±2x．
故选：
A．
直接利用双曲线的标准方程求出渐近线方程即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
3.【答案】A
【解析】解：
由0＜x＜，得0＜sinx＜；
反之，由0＜sinx＜，得或＜x＜π+2kπ，k∈Z．
∴“0＜x＜”是“0＜sinx＜”的充分不必要条件．
故选：
A．
由0＜x＜，得0＜sinx＜；反之不成立．再由充分必要条件的判定得答案．
本题考查充分必要条件的判定，考查三角不等式的解法，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：
依题意，x，1-x，3x，成等差数列，
所以2（1-x）=x+3x，解得x=，
所以数列{an}的公差d=（1-x）-x=，
所以a2019=a1+（2019-1）×d==673．
故选：
B．
根据等差中项的性质计算出x值，即可得到公差，进而得到所求．
本题考查了等差中项的性质．考查了等差数列的通项公式，考查分析解决问题的能力和计算能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：
①an=kn+b（k，b为常数，n∈N*）；数列{an}的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，
②an+2-an=d（d为常数，n∈N*）；不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误．
③an+2-2an+1+an=0（n∈N*）；对于数列{an}的关系式符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确．
④{an}的前n项和（n∈N*）．不符合所以，不为等差数列．故错误．
故选：
B．
直接利用数列的关系式的应用判断数列为等差数列．
本题考查的知识要点：
等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
6.【答案】C
【解析】解：
数列{an}的通项公式，
必要性：
若an＜an+1（n∈N*），则=2n+1-2a＞0恒成立，
即a＜对任意n∈N*恒成立，则a＜；
充分性：
当a＜时，=2n+1-2a＞0对任意n∈N*恒成立，
即an＜an+1（n∈N*）．
∴“an＜an+1（n∈N*）”的充要条件是“a＜”，
∴M的值等于．
故选：
C．
求出an＜an+1（n∈N*）成立的a的范围，再由a＜时，an＜an+1（n∈N*）恒成立，可得M的值为．
本题考查充分必要条件的判定及其应用，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．
7.【答案】C
【解析】解：
取BD中点E，连结ME，NE，
∵在四面体ABCD中，M，N分别是棱AD，BC的中点，
AB=6，CD=4，，
∴ME∥AB，ME==3，
NE∥CD，NE==2，
∴∠MEN是异面直线AB，CD所成角（或所成角的补角），
cos∠MEN===-，
∴异面直线AB，CD所成角的余弦值为．
故选：
C．
取BD中点E，连结ME，NE，则ME∥AB，ME==3，NE∥CD，NE==2，从而∠MEN是异面直线AB，CD所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AB，CD所成角的余弦值．
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
8.【答案】C
【解析】解：
直角坐标系xOy中，椭圆（m∈R），
所以=＜1，
当m=0时，．
故，整理得．
故选：
C．
直接利用椭圆的方程和椭圆的离心率的应用求出结果．
本题考查的知识要点：
椭圆的标准方程的应用，椭圆的离心率的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
9.【答案】A
【解析】解：
双曲线的a=，
A（-，0），B（，0），
设P（m，n），m≠±，
则-=1，即n2=4（-1），
则tanα=，tan（π-β）=-tanβ=，
则-tanαtanβ==，
即tanαtanβ=-，
故选：
A．
求得双曲线的顶点A，B，设P（m，n），m≠±，代入双曲线方程，结合直线的斜率公式，以及三角函数的诱导公式，计算可得所求值．
本题考查双曲线的标准方程及其性质、斜率的计算公式，考查计算能力，属于基础题．
10.【答案】D
【解析】解：
设等比数列{an}的公比为q，由a3=2，S4=3S2，
可得：
q≠1，a1q2=2，=3×，
解得：
a1=2，q=-1；a1=1，q2=2．
则a5=2或4．
故选：
D．
利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11.【答案】D
【解析】解：
等差数列{an}的前n项和为Sn，
设首项为a1，公差为d，且a2+a3=8，S7=49；
所以，整理得
解得，
所以an=1+2（n-1）=2n-1，
数列{bn}满足①，
当n≥2时，②，
①-②得，
所以，
所以当n=1时，
当n=2时，，
当n=3时，＞b4＞b5＞…，
故当n=2时，为最大值．
故选：
D．
首先利用等差数列的关系式求出数列的通项公式，进一步利用数列的递推关系式的应用求出数列{bn}的通项公式，进一步利用数列的单调性的应用求出最大值．
本题考查的知识要点：
数列的通项公式的求法及应用，数列的递推关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
12.【答案】C
【解析】解：
设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为y=kx+2；
由，得：
（1+2k2）x2+8kx+6=0；
，；
y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4；
由∠AOB=90°，即，，
即，解得k2=5；
又k＞0，则 ；
故选：
C．
∠AOB=90°，即，，然后方程联立韦达定理代入即可得出．
本题考查了垂直关系的处理，考查设而不求的思想方法，属于基础题．
13.【答案】[5，+∞）
【解析】解：
若∃n∈N*，n2-nt+6≤0，
则∃n∈N*，t，
所以只需要t大于等于n+最小值即可．
当n∈N* 时，n+≥5．
所以，t≥5，
故答案为：
[5．+∞）．
若∃n∈N*，n2-nt+6≤0，则∃n∈N*，t，存在性问题中，只需要t大于等于n+最小值即可，对于n+最小值可以结合对勾函数求，但是一定要注意n只能是正整数，故可以得最小值是5，进而得t的取值范围．
本题考查存在性问题求参数t取值范围，是中档题．
14.【答案】
【解析】解：
正项等比数列{an}中，由++，
∴=++=，
则=．
故答案为：
．
利用等比数列的性质即可得出．
本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：
因为，{an+1-an}为等差数列，又因为其首项a2-a1=1，公差为（a3-a2）-（a2-a1）=2-1=1，
所以an+1-an=1+（n-1）×1=n，
所以，
所以an-a1=，
所以an=，
故答案为：
．
先根据题意计算出{an+1-an}的表达式，再用累加法求an即可．
本题考查了等差数列的通项公式，累加法求数列的通项公式，考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的焦点为F1（-2，0），F2（2，0），
过F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若AF2=3F2B，AB=BF1，
设F2B=x，则AF2=3x，AB=BF1=4x，根据椭圆的定义，整理得AF1=2x，
由于△AF1B为等腰三角形，所以，
利用余弦定理，
整理得，
解得，
故，
所以2a=5x=，
解得：
a=，由于c=2，所以b=，
所以椭圆的方程为．
故答案为：
．
首先利用椭圆的定义求出a、b、c的值，进一步求出椭圆的方程．
本题考查的知识要点：
椭圆的定义和椭圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
17.【答案】解：
（1）若命题p为真，即方程表示双曲线，
所以（m-3）（m+1）＜0，
解得-1＜m＜3，即m∈（-1，3）．
（2）若命题q为真，
即不等式m2-（2a+2）m+a2+2a≤0成立，
解得m∈[a，a+2]，
因为p是q的必要条件，所以[a，a+2]⊆（-1，3），
故解得-1＜a＜1．
所以实数a的取值范围为（-1，1）．
【解析】
（1）结合命题p是真命题，以及双曲线方程的特点进行求解即可．
（2）根据条件分别求出命题为真命题的等价条件，结合必要条件的定义进行转化求解即可．
本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．比较基础．
18.【答案】解：
（1）由得，
因为，
所以an≠0，所以，
所以是为首项，为公比的等比数列，
所以，
即，
所以，数列{an}的通项公式为；
证明：
（2）由
（1）知，
所以，
于是，
所以，
综上，为定值2．
【解析】
（1）直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式．
（2）利用
（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出结果．
本题考查的知识要点：
数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
19.【答案】解：
（1）在平面PBC内作PO⊥BC，O为垂足，
在△PBC中，PB=PC=BC=2，所以．
在底面ABCD内作OE⊥BC，OE∩AD=E，
连结PE，由已知ABCD为矩形，易知AEOB也是矩形，故OE=1．
又平面PBC⊥底面ABCD，平面PBC∩底面ABCD=BC，
PO⊂平面PBC，所以PO⊥底面ABCD，
而AD⊂底面ABCD，所以PO⊥AD，
又OE⊥BC，AD∥BC，所以OE⊥AD，
而PO⊆平面POE，OE⊆平面POE，
PO∩OE=O，所以AD⊥平面POE，
因为PE⊂平面POE，所以AD⊥PE，
又因为AD⊥OE，所以∠OEP是二面角P-AD-B的平面角．
因为PO⊥底面ABCD，OE⊂底面ABCD，所以PO⊥OE，
在Rt△POE中，，
所以∠OEP=60°，故二面角P-AD-B的大小为60°．
（2）因为AD∥BC，而AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，
所以BC∥平面PAD，又O∈BC，B∈BC，
所以，点B到平面PAD的距离等于点O到平面PA的距离．
在Rt△POE中作OH⊥PE，H为垂足，
由
（1）知AD⊥平面POE，而OH⊂平面POE，所以AD⊥OH，
又AD∩PE=E，AD⊂平面PAD，PE⊂平面PAD，所以OH⊥平面PAD，
所以，点O到平面PAD的距离即为OH的长．
在Rt△POE中，OH•PE=OP•OE，
即，
综上，点B到平面PAD的距离为．
【解析】
（1）在平面PBC内作PO⊥BC，O为垂足，在底面ABCD内作OE⊥BC，OE∩AD=E，连结PE，由已知ABCD为矩形，推导出PO⊥底面ABCD，PO⊥AD，OE⊥BC，从而OE⊥AD，AD⊥平面POE，AD⊥PE，再由AD⊥OE，得∠OEP是二面角P-AD-B的平面角．由此能求出二面角P-AD-B的大小．
（2）推导出BC∥平面PAD，从而点B到平面PAD的距离等于点O到平面PA的距离． 在Rt△POE中作OH⊥PE，H为垂足，推导出OH⊥平面PAD，从而点O到平面PAD的距离即为OH的长． 由此能求出点B到平面PAD的距离．
本题考查二面角的求法，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：
（1）设椭圆E焦距为2c，则，
所以c2=a2-b2=2． ①
又点在椭圆E：
上，所以． ②
联立①②解得 或（舍去）．
故椭圆E的方程为．
（2）设椭圆E焦距为2c，则F1（-c，0），F2（c，0），
由代入得，
不妨设点P在x轴上方，故点P坐标为，
又点M为PF1中点，故点M坐标为；
所以，，
由OP⊥F2M得，即，化简得a2-6ac+3b2=0；
将b2=a2-c2代入得3c2+6ac-4a2=0，即，
所以3e2+6•e-4=0，解得，因为e∈（0，1），
故椭圆E的离心率为．
【解析】
（1）由题意c=，然后将P点坐标代入方程，可求解出a，可得椭圆方程；
（2）将P点横坐标代入椭圆方程可得P的坐标，可得PF1的中点M的坐标，再由，可得a，c的关系式，从而求解离心率．
本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆离心率的求法，属于中档题．
21.【答案】解：
（1）证明：
当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+1，
点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．
联立，得（2k2+1）x2+4kx-2=0，
其判别式△=（4k）2+8（2k2+1）＞0，
所以，．
y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1，
从而，=x1x2+（y1-1）（y2-1）+（x1x2+y1y2）
=2（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1
=
，=．
当直线AB斜率不存在时，．
所以当时，为定值-3．
（2）显然直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+1，
由
（1）知，．
所以△AOB的面积=．
设，则0＜t≤1，因此，
当且仅当t=1，即k=0时，△AOB的面积取得最大值．
【解析】
（1）将椭圆方程与直线方程联立，韦达定理表示出来，然后将的坐标表示出来，将韦达定理代入可得；
（2）用
（1）中的结论表示出三角形的面积，然后求最值．
本题考查了向量的坐标运算，方程联立韦达定理的设而不求的思想，三角形面积的求法，属于中档题．
22.【答案】解：
（1）令n=1得，故2a1=a12+1，于是a1=1．
令n=2得，故，
又a1=1，故a2=2．
（2）由，①
可知，当n≥2时，，②
①-②，得，
故，于是an-1=an-1或an-1=-an-1，若an-1=-an-1，则an+an-1=1，不合题意；
于是an-1=an-1，即an-an-1=1，即数列{an}是公差为1的等差数列．又a1=1，
∴an=1+（n-1）×1=n．故an=n．
（3）依题意知∀n∈N*，都成立，
由基本不等式得
=
=
==2，当且仅当|tanθ|=1时取“=”，
所以的最大值为2，
所以λ≥2，实数λ的最小值为2．
【解析】
（1）令n=1得，令n=2求解数列的前两项．
（2）通过数列的递推关系式推出，转化求解数列的通项公式an=n．
（3）依题意知∀n∈N*，都成立，然后通过基本不等式化简求解即可．
本题考查数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
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