小升初数学.docx
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小升初数学
第一章分数乘、除法应用题
一、知识梳理
1、什么是单位“1”，单位“1”和1的区别是什么？
单位“1”也叫整体“1”，它表示一个整体（比如：
一段路程、一项工程、一筐苹果、一本书、一段时间、一个数等）；而1只表示一个物体（比如：
一个苹果、一个小时、一个学生等），所以二者是有区别的。
2、如何判断单位“1”，判断单位“1”的一般方法是什么？
例如：
男生占全班人数的……（“占”的后面的量是单位“1”）
全班人数的（）是少先队员……（“的”的前面的量是单位“1”）
一班栽的棵数是二班的……（“是”的后面的量是单位“1”）
三月份比二月份节约用电……（比的后面的量是单位“1”）
一节课的时间是（）小时……（1小时是单位“1”）
总结：
单位“1”就是一个标准。
“谁”的几分之几，“谁”就是单位“1”；被平均分的量就是单位“1”；同“谁”比，“谁”就是单位“1”；分率跟着“谁”，谁就是单位“1”。
3、单位“1”不同，分率不能相加减，相同分率所表示的具体数量不同：
例如：
如果一盘橘子共4个，那么这盘橘子的1/4有
（1）个；
如果一盘橘子共8个，那么这盘橘子的1/4有
（2）个；
4、分数应用题中一般都包含两类不同性质的量，具体数量和抽象分率，解题的突破口就是找它们之间的对应关系。
二、方法归纳：
1、四句口诀：
已知单位“1”，用乘法；求单位“1”，用除法；多几分之几，用1加几分之几；少几分之几，用1减几分之几。
2、乘法公式和除法公式：
单位“1”对应分率=对应数量对应数量对应分率=单位“1”
3、常见类型及解法：
a是b的几分之几？
……a/b
a的（）是多少？
……a（）
已知一个数的（）是a，求这个数？
……a/（）
a比b多几分之几？
……（a-b）/b
b比a少几分之几？
……（a-b）/a
比a多（）的数是多少？
……a+a（）
比a少（）的数是多少？
……a-a（）
a比一个数多（），求这个数？
……a/（1+）
a比一个数少（），求这个数？
……a/（1-）
已知a（）的等于b（）的，求a是b的几分之几？
……
4、还原法：
又叫倒推法，其方法的关键还是找“量”所对应的“率”，然后相除依次倒推。
（此法单独列为专题讲解）
三、精讲例题：
例题1、六年级一班有男同学25名，女同学20名。
（1）男同学人数是女同学人数的几倍？
（2）女同学人数是男同学人数的几分之几？
（3）男同学比女同学多百分之几？
（4）女同学比男同学少百分之几？
（5）女同学比男同学少的人数是全班人数的百分之几？
解：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
课堂练习：
1、（A类）小刚有一本书共72页，第一天看了全书的1/3，第二天看了全书的1/4，两天共看了页。
2、（B类）一根绳子的1/2长6米，这根绳子长多少米？
课堂练习：
1、（A类）王先生、李先生、赵先生、杨先生四个人比年龄，王先生的年龄是另外三人年龄和的1/3，李先生的年龄是另外三人年龄和的1/2，赵先生的年龄是其他三人年龄和的1/4，杨先生26岁，你知道王先生多少岁吗？
2、（B类）乙队人数是甲队的1/3，现在从甲队派30人到乙队，则乙队人数是甲队的1/2，甲、乙两队原来各有多少人？
3、（C类）红星小学五年级学生中男生占1/2，后来又转来15名男生，这样男生占到五年级总人数的2/3，五年级原来有学生多少人？
例题2、小红看一本科技书，看了3天，剩下66页，如果用这样的速度看4天，就剩下全书的2/5，这本书有多少页？
难度分级：
C类
解题思路：
寻找解题突破口，层层深入进行剖析
解：
全书当单位“1”，则每天读3/20，3天读了9/20，剩下11/20对应66页，所以全书共66/（11/20）。
综合式：
66/（）=120（页）
答：
这本书有120页。
课堂练习：
1、（A类）工程队用3天修完一段路，第一天修的是第二天的1/2，第三天修的是第二天的2倍，已知第三天比第一天多修270米，这段路长多少米？
2、（B类）小明读一本书，第一天读了全书的1/4，第二天比第一天多读6页，这时已读的页数是剩下页数的3/2，这本书小明已读多少页？
3、（C类）一篓苹果分给甲、乙、丙三人，甲分得全部苹果1/3的加5个苹果，乙分得全部苹果的1/4加7个苹果，丙分得其余苹果的1/2，最后剩下的苹果正好等于一篓苹果的1/6，这篓苹果有多少个？
例题3、甲乙两班共有学生104人。
把甲班的1/5调入乙班，甲乙两班人数的比是5:
8。
甲乙两班原来各有多少人？
分析解答一：
用和倍问题来解答。
把甲班看作单位“1”，乙班就是甲班的8/5倍。
无论甲班调入乙班多少，总量始终保持不变，应抓住这一不变量作为突破口来解答。
列式解答：
104/（1+8/5）=40（人）（甲现在的人数）
这40人是甲班调出后的人数，也就是甲班原来人数的4/5所对应的量。
分析解答二：
按比例分配：
把甲乙两班人数104人看作单位“1”，先求出甲班调入乙班后的人数，然后再求出甲班原来的人数。
列式计算：
答：
甲班原来有50人，乙班原来有54人。
练一练
1、两桶油共重54千克，把第一桶油的1/10倒入第二桶油。
此时第一桶油和第二桶油的比是14﹕13。
两桶油原来各重多少千克？
2、甲乙两仓粮食共重180吨，把甲仓库存粮的1/2运到乙仓库，此时甲乙两仓库存粮吨数的比是1﹕2。
甲、乙两仓原来各存粮多少吨？
3、粮食作物和经济作物种植面积共260公顷。
今年把粮食作物的1/5改种经济作物，这时粮食作物和经济作物的比是8﹕5。
求粮食作物和经济作物各种了多少公顷？
例题4、一桶油连桶共重66千克。
倒出全桶油的40%后，连桶还重42千克。
这桶油重多少千克？
桶重多少千克？
分析解答：
24千克就是这桶油的40%，因此，对应量除以对应分率就是这桶油的重量。
列式计算：
（66-42）/40%=60（千克）66-60=6（千克）
答：
这桶油重60千克，桶重6千克。
练一练
1、一桶水连桶共重12千克，用去一桶水的25%后，连桶还重9.5千克。
这桶水重多少千克？
2、一盒糖，连盒共重1500克，如果吃去这盒糖的25%，剩下的糖连盒重1200克。
这个糖盒重多少克？
例题5、师徒二人加工一批零件，徒弟加工了总数的2/9，比师傅少做35个。
这批零件共有多少个？
分析解答：
徒弟加工了2/9，师傅就加工了7/9。
师傅比徒弟多加工了总数的5/9，这就是师傅比徒弟多加工的零件个数所对应的分率，也就是徒弟比师傅少做的35个零件所对应的分率，因此求出这批零件的总个数是个。
列式：
35/（1-2/9-2/9）=63（个）
答：
这批零件共有63个。
练一练
1、有一袋大米和一袋面粉。
面粉的重量是面粉和大米总数的1/3，比大米少12千克。
这袋大米重多少千克？
2、甲、乙二人打一份稿件。
甲打了这份稿件的40%，比乙少打了8页。
乙打了多少页？
例题6、某仓库运来300吨货物。
第一天运走了这批货物的1/5，第二天运走余下的1/4。
第二天运了多少吨？
分析解答一：
从“第一天运走了这批货物的1/5”，可知这批货物为“1”。
而这批货物是300吨，即300吨为单位“1”。
又知“第二天运走余下的1/4”就是说此时的单位“1”是余下的货物。
要知余下的吨数，可据题，求出余下的货物是240吨，用240吨乘1/4，就是第二天运的吨数。
列式：
（300-300*1/5）*1/4
分析解答二：
要求第二天运走了多少吨，首先求出余下分率，第二天运的分率是1/4，这里的是300吨的1/5，用300吨乘1/5，求出第二天运的吨数是吨。
列式：
300*（1-1/5）*1/4
答：
第二天运了60吨。
练一练
1、某工地运来砖2000块，第一天用去1/3，第二天用去余下的1/2。
还剩多少块砖？
2、果农有300筐苹果，第一天售出总数的1/2，第二天售出余下的2/3，第一天比第二天多售出多少筐？
例题7、学校体操队男生占全队人数的1/3，后来进行扩队，又有12名男生参加体操训练。
这时男生占全队的7/15。
原来有男生多少人？
分析解答一：
学校体操队男生原来占1/3，女生占2/3，后来扩队男生增加12人，但女生始终没有变，我们应抓住女生这一不变量作为突破口来解答这类问题。
扩队后的男生占这时总人数的7/15，那么女生就占这时总人数的8/15。
因为女生扩队前后人数没有发生变化。
根据这一关系可以列出等式原来体操队人数：
现在体操队人数=4：
5
列式：
分析解答二：
原来女生所占分率2/3，现在女生所占分率8/15，将原来的女生所占分率的分子和分母同时扩大4倍后得，从原来分母和现在分母进行比较，原来总人数占12份，现在总人数占15份，显而易见，现在总人数比原来总人数增加3份，这3份就是12名男生所对的份数，因此求出每份的人数是4（12/3）人，原来总人数是48（12*4）人，最后求出男生人数是16人。
列式：
分析解答三：
本题还可以抓一个不变量女生作为单位“1”，男生占女生的1/2，后来进行扩队，又有12名男生参加体操队，此时男生占女生的7/8，就是12名男生所对应的分率，然后求出女生人数32人，再就是本题所解决的问题，原来的男生人数。
列式：
答：
原来有男生16人。
练一练
1、学校图书馆中的故事书占图书总数的1、5，后来又买来100本故事书。
这时故事书的本数占此时图书总数的1、3。
现在有图书多少本？
2、小华和小明在一起集邮。
小华集的邮票张数占总张数的1/3，后来小华又买来20张邮票，这时小华邮票的总张数占他俩此时邮票总张数的1/2。
小明原来有邮票多少张?
例题8、王强和李明共有邮票68张，王强的邮票比李明的2/3还多8张，王强和李明各有几张邮票？
分析解答：
从题意可以得到，68张是李明的5/3倍还多8张，从68张中减去8张，这60张正好是李明的5/3倍，根据这一分率求出李明所有邮票的张数是36张，然后从68张中减去李明的邮票张数，就是王强的邮票张数。
列式：
答：
王强有32张邮票，李明有36张邮票。
练一练
1、李师傅和张师傅共加工机器零件330个，李师傅加工零件个数比张师傅的3/4还多15个，两位师傅各加工零件多少个？
2、有两筐苹果共重220千克，乙筐苹果比甲筐苹果的2/3少5千克。
甲乙两筐苹果各重多少千克？
例题9、一个车间男女职工人数的比是5﹕7，后来又调进男职工20人，这时男女职工人数之比7﹕9，这个车间原来职工有多少人？
分析解答一：
这道题职工总人数前后发生变化，但女职工人数前后始终没有变，我们应抓住女职工这一不变量来进行解答。
女职工占原来职工总数的7/12，占后来职工总数的9/16，根据这一等量关系，求出原来职工人数和现在职工人数的比。
求出总人数是540人。
列式：
分析解答二：
本题把不变量女职工人数看作单位“1”，男职工人数是女职工人数的5/7，后来又调进男职工20人，此时男职工人数是女职工人数的7/9，（）就是20人所对应的分率，求出女职工人数315人，再求出原有男职工人数是225人，男女原有职工总人数是540人。
列式：
答：
这个车间原有职工540人。
练一练
1、学校书法班男女学生的比是3﹕4，后来又增加了5名女生，这时书法班男女学生的比是3﹕5。
原来书法班有学生多少人？
2、体训队购进篮球和排球个数的比是4﹕5，后来又买了2个排球，这时篮球和排球个数的比是8﹕11。
购进几个篮球？
3、一个书架上层和下层摆放图书本数的比是10﹕9，后来又买了15本图书，摆放到上层书架上，这时上、下层摆放图书本数的比是23﹕18.上层原放图书多少本？
4、甲、乙两个粮仓存粮吨数的比是15﹕13，后来又往乙仓库运进粮食10吨。
这时甲乙两仓库存粮吨数的比是5﹕6。
原来两仓库共存粮食多少吨？
5、学校购进白粉笔和彩色粉笔箱数的比是4﹕3，后来又购进彩色粉笔2箱。
这时白粉笔和彩色粉笔箱数之比是4﹕5.现在共有粉笔多少箱？
四、课后作业
A组基础巩固
1、实验小学合唱组有120人，美术组的人数是合唱组的2/3，科技组的人数是美术组的3/4，科技组有多少人？
2、妈妈的体重是55千克，恰好是爸爸体重的5/6，爸爸的体重是多少千克？
B组拓展提高
3、学校有一些跳绳，长的占总数的1/2，后来又买进20根长跳绳，这时长跳绳占总数的1/3，求学校现有跳绳多少根？
4、有两段布一段长40米，另一段长30米，都剪去同样长的一部分后，发现短的一段布剩下的长度是长的一段布所剩长度的3/4，每段布剪去多少米？
C组难点突破
5、乐乐放学回家需走10分钟，晶晶放学回家需走14分钟。
已知晶晶回家的路程比乐乐的路程多1/3，乐乐每分钟比晶晶多走12米，那么晶晶回家的路程是多少米？
6、小青看一本小说书，第一天看的页数比总页数1/4的多16页，第二天看的页数比总页数1/3的少2页，还余下88页。
这本书共有多少页？
7、有a、b两条绳，第一次剪去a的1/3，b的1/2；第二次剪去a绳剩下的2/3，b绳剩下的3/4；第三次剪去a绳剩下的1/5，b绳剩下部分的1/4，最后a剩下的长度与b剩下的长度之比为2﹕1，则原来两绳长度之比为。
第二章工程问题
工程问题是分数应用题的一种，分数工程问题与整数工程问题一样，都是反映工作总量、工作时间和工作效率三者之间的关系。
分数工程问题的主要特点是一般不给出具体的工作总量（仅表述为一项工作、一批货物、一段路等），我们习惯上把这项工作看做单位“1”。
工作总量、工作时间和工作效率三者之间的关系为：
工作总量=工作时间*工作效率
例题1、一条公路（长180米），甲队独修需24天完成，乙队独修需30天完成。
甲、乙两队合修若干天后，乙队停工休息，甲队继续修6天完成。
乙队修了多少天？
简析：
此题告诉了这条公路的长，可按整数应用题的方法来解，若是忽略了括号中这条公路的长度，我们就可用“1”来表示工作总量，只是对工作量采用了不同的表示方式，但其数量关系、解题方法与整数应用题完全相同。
下面列表对比解答。
总工作量
工效
甲队6天的工作量
甲、乙合作
合作时间
甲
乙
工效
工作量
180米
（m）
（m）
1
温馨提示：
由上面的列表对比来看，用“1”表示工作总量时，计算更简单。
课堂练习：
1、一段公路，甲队单独修要用20天，乙队单独修要用30天。
如果两队合修10天，每天完成这项工程的几分之几？
还剩几分之几？
2、修一条公路，甲队单独修要15天，乙队单独修要12天。
甲队先修6天后，剩下的由甲、乙两队合修，甲、乙两队合修还要几天？
3、修一条公路，甲队每天修全长的，乙队独修7.5天修好。
如果两队合修2天后，其余的由乙队独修，还要几天完成？
例题2、修一条水道，甲、乙两队合修10天可以完成。
两队合修4天后，余下的由甲队单独修还需12天。
那么乙队单独修这条水道需要多少天？
简析：
已知工作总量是单位“1”，要求乙完成它所需的时间，关键是要求出乙的工作效率。
甲、乙两队合修10天可以完成，则两队的工作效率和是1/10。
两队合修4天可完成2/5。
那么余下的由甲队单独修用了12天，可求出甲队的工作效率是1/20。
所以乙队的工作效率是1/20。
解：
答：
乙队单独修这条水道要20天。
课堂练习：
1、一项工程，甲、乙两队合作12天可以完成。
如果甲、乙两队先合作4天，剩下的由乙队独做10天也可以完成。
这项工程由乙队独做多少天可以完成？
2、一项工程，甲独做10天完成了一半，余下的甲、乙又一起合作了6天，正好全部完成。
如果由乙队单独做这项工程，多少天可以完成？
3、一项工程，甲、乙两队合作，6天能完成，如果他们单独做，甲完成与乙完成所需的时间相同。
问：
单独做，甲、乙各需几天？
例题3、一项工程，甲、乙合作8天完成。
如果让甲先独做6天，然后乙再独做9天可以完成任务。
那么乙独做这项工程要多少天完成？
简析1：
将甲独做6天，乙独做9天看做甲、乙合作6天，乙独做3天。
两人合作的工作效率是1/8，故可求出两人6天的工作量，从而再求出乙3天的工作量。
解：
乙的工作效率：
乙的工作时间：
简析2：
从简析1的分析中可看出“甲、乙合作8天”和“先合作6天，乙再独做3天”的工作总量都是单位“1”。
乙独做3天的工作量就是2人合作2天的工作量。
解：
答：
乙独做这项工程要12天。
课堂练习：
1、一件工作，甲单独做12小时完成。
现在甲、乙合作4小时后，乙又用6小时完成。
乙单独做这件工作，多少小时完成？
[提示：
题中的工作过程可看做是甲做多少天，乙做多少天]
2、一项工程，由甲、乙两队合做12天完成。
现在由甲队先单独做14天后，再由乙队单独做9天正好完成这项工程。
甲、乙两队单独做，各需多少天完成？
例题4、一批零件，师傅独做需要20小时完成，徒弟独做需要30小时。
现在师徒两人合做，中途师傅因事离开了一段时间，结果共用15小时完成。
师傅中途离开了多长时间？
简析1：
根据题意，虽然师傅中途离开了一段时间，但徒弟没有离开，说明徒弟一共工作了15小时，可以先求出徒弟15小时完成的工作量，剩下的工作量就是师傅完成的。
由此可以求出师傅的工作时间，知道了师傅的工作时间，离开的时间也就可以解决了。
解：
答：
师傅中途离开了5小时。
简析2：
这题也可以这样思考：
假设师傅中途没有离开，那么师徒两人15小时完成的工作量就是5/4，超过实际工作总量“1”的工作量是1/4，这超出的工作量就是师傅在中途离开的时间内能完成的工作量，由此可以求出师傅中途离开的时间。
解：
答：
师傅中途离开了5小时。
课堂练习：
1、一项工程，甲队单独做需30天完成，乙队单独做需40天完成。
甲队先做若干天后，由乙队接着做，共用35天完成了任务。
甲队做了多少天？
2、一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。
两人合作期间甲休息了3天，乙休息了若干天（两个队不能同时休息），共用了16天完成。
乙休息了几天？
例题5、搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时。
现有同样的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又去帮助乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物。
丙帮助甲搬运了几小时？
（不考虑丙来往A，B仓库所用的时间。
）
简析：
我们可以不考虑丙具体是怎么帮助甲和乙的，从总体上看，甲、乙、丙3人同时搬完了两个仓库的货物，即两个单位“1”，那么，我们可以先求出3人搬完两个仓库的货物共用的小时数：
8
根据题意，甲、乙、丙3人都搬运了8小时，甲在A仓库搬运8小时，那么A仓库货物有一部分是甲搬运8小时完成的工作量，另一部分则是丙帮助甲搬运的工作量。
至此，问题容易解决了。
答：
丙帮助甲搬运了3小时。
例题6、一段公路，甲队独修需20天，乙队独修需15天，甲、乙两队从这段公路的两端同时合修5天后，还相距15千米。
这段公路长多少千米？
分析：
这道题是工程问题与分数应用题的结合，从已知条件入手，我们很容易求出3天修了这段公路的几分之几，。
题目中还告诉我们“还相距15千米”，这时就要用分数应用题的“剩下的工作量与剩下的工作量占单位＇1＇的几分之几相互对应”这一思想来解决。
解：
答：
这段公路长36千米。
课后巩固：
1、一件工作，由甲单独完成，需要10天，由乙单独完成需要15天。
如果甲、乙合作完成，需要几天完成？
2、一项工程，甲队单独做12天完成，乙队单独做15天完成。
两队合做，多少天完成这项工程？
3、一项工程，甲队单独做12天可以完成，乙队的工作效率是甲队的60%。
乙队单独做几天可以完成？
4、甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，经8小时相遇，相遇后两车继续前进，甲车又用了6小时到达B地，乙要几小时才能从B地到达A地？
5、修一个水池，甲队独修要12天完成，乙队独修要10天完成，丙队独修要15天完成，如果由丙队先做3天后，剩下的由甲、乙两队去做，还要多少天完成？
6、一个水池有甲、乙两个水管，单开甲管2小时可以把水池注满，单开乙管3小时可以把满池水放完。
如果同时打开甲、乙两管，几小时后水池可以注满？
7、一个水池装有甲、乙两个进水管，下面装有丙管放水。
空池时，单开甲管12分钟可以注满；单开乙管10分钟可以注满。
池满时，丙管20分钟可以放完，现将三管同时打开，多少分钟将空池注满？
8、一件工程，甲、乙合干1.2小时完成，乙、丙合干2小时完成，丙、甲合干1.5小时完成。
甲、乙、丙一齐干，多少小时可以完成？
9、修一条公路，甲队独修6天完成，乙队独修8天完成。
现由甲、乙两队分别从这段公路的两头同时开工，经过三天剩下180米未修。
甲队每天修多少米？
10、一批零件，甲单独做15天完成，乙单独做20天完成，现由甲、乙合作12天就完工了。
这段时间里，乙休息了多少天？
11、一件工作，甲独做15天完成，乙独做20天完成。
现在甲、乙合作12天才完工。
在这段时间里，乙休息了4天，那么，甲休息了多少天？
12、修一条公路，甲队单独修20天可以修完，乙队单独修30天可以修完。
现两队合修，中途甲队休息2.5天，乙队休息若干天，这样一共用14天才修完。
乙队休息了几天？
13、一项工程，甲单独做15天完成，乙单独做12天完成。
现两队合作若干天后，剩下的由乙单独做了3天才完成。
甲、乙合作了多少天？
14、从甲地到乙地，客车需10小时，货车需15小时，两车同时从甲乙两地相向而行，相遇时客车比货车多行90千米。
甲、乙两地相距多少千米？
15、水池上有三个水管，单开甲管5小时注满水池，单开乙管10小时注满水池，单开丙管15小时放完一池水。
三管齐开2小时后关闭乙管，还需几小时注满水池？
16、一件工作，甲做5小时后由乙做，3小时可以完成；如果乙先做9小时后由甲做，也要3小时完成。
那么甲做1小时后由乙做，还要几小时完成？
17、某工人计划15天生产一批零件，由于改进了操作方法，实际每天多生产10个零件，提前3天完成了任务。
原计划每天生产多少个零件？
第三章百分数应用题
教学目标：
百分数应用题是小学数学的重要内容，也是小学数学重点和难点之一。
一方面它是在整数、分数应用题基础上的继续和深化；另一方面，它有其自身的特点和解题规律。
所以解决百分数应用题首先要清楚数量之间以及“量”、“率”之间的相互关系。
例题1甲校学生人数是乙校学生人数的40%，甲校女生人数是甲校学校人数的30%，乙校男生人数是乙校学生人数的42%，那么两校女生人数占两校总人数的百分之几？
试题类别：
A类
分析解答：
首先统一单位“1”，把乙校学生人数看做单位“1”，甲校学生就是40%，两校的总人数就是。
甲校女生占甲校的30%，所以甲校女生就是12%
乙校男生占乙校的42%，所以乙校女生占乙校的58%，
两校女生人数占两校总人数的50%
答：
两校学生人数占两校总人数的50%。
课堂练习：
1、（A级）光明小学六年级有学生360人，其中女生占40%，后来又转来了几名女生，这样女生占六年级总人数的60%，转来的女生有多少人？
2、（B级）如果一个三角形的底边长增加10%，底边上的高缩短10%，那么这个三角形的面积是原来面积的百分之几？
3、（C级）某中学上年度有高中男女生共290人，这一年度高中男生增加4%，女生增加5%，共增加13人，问本年度高中男女生各多少人？
例题2水果店有一筐
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