起始系统的总动能E=1mv2；
k12BB
末了系统的总动能E=1（m+m）v2=1mvv<1mv2=E。
k22AB
2BB
2BBk1
故A、B组成的系统的总动能减小到一定值后不变，答案选D。
3-8下列说法中哪个是正确的[]
（A）系统不受外力的作用，内力都是保守力，则机械能和动量都守恒
（B）系统所受的外力矢量和为零，内力都是保守力，则机械能和动量都守
恒
（C）系统所示的外力矢量和不为零，内力都是保守力，则机械能和动量都
不守恒
（D）系统不受外力作用，则它的机械能和动量都是守恒的
解析：
机械能守恒的条件：
系统所受外力和非保守内力不做功或做功之和为零。
动量守恒的条件：
系统所受的合外力为零。
故答案选A。
二填空题
3-9一初始静止的质点，其质量m=0.5kg，现受一随时间变化的外力
F=（10-5t）（N）作用，则在第2s末该质点的速度大小为m/s，加速度
大小为m/s2。
解析：
由动量定理可知，⎰
22
Fdt=
（10-5t）dt=mv，
2
⎰（10-5t）dt
10
所以v=
0
m
⎰（10-5t）dt
==20（m/s）。
0.5
2
因为v==20t-5t，
m
所以a=dv=20-10t,a
=0。
dt2
3-10一小车质量m1=200kg，车上放一装有沙子的箱子，质量m2=100kg，已知水车与沙箱以v0=3.5km/h的速率一起在光滑的直线轨道上前进，现将一质量m3=50kg的物体A垂直落入落沙箱中，如图3-10所示，则此后小车的运动速
率为km/h。
习题3-13图
习题3-10图
解析：
系统在水平方向上动量守恒，故（m1+m2）v0=（m1+m2+m3）v，
即v=
（m1+m2）v0
m1+m2+m3
=3（km/h）。
3-11力F=xi+3y2j（SI）作用于其运动方程为x=2t（SI）的作直线运动的物
0
1
体上，则0~1s内力F作的功为W=。
解析：
W=⎰
Fds=⎰
（2ti+3y2j）d（2ti）=2（J）
3-12一个质点在几个力的时时作用下运动，它的运动方程式
r=3ti-5tj+10k（m），其中一个力为F=2i+3tj-t2k（N），则最初2s内这个力对
质点做的功为J。
解析：
22
W=Fdr=（2i+3tj-t2k）d（3ti-5tj+10k）=（6t-7.5t2）=-18（J）
⎰⎰00
3-13如图3-13所示，原长为10、弹性系数为k的弹簧悬挂在天花板上，下端静止于O点；悬一重物m后，弹簧伸长x0而平衡，此时弹簧下端静止于O'点；
当物体m运动到P点时，弹簧又伸长x如取O点为弹性势能零点，P点处系统的弹性势能为；如以O'点为弹性势能零点，则P点处系统的弹性势能为；如取O'点为重力势能与弹性势能零点，则P点处地球、重物与弹簧
组成的系统的总势能为。
解析：
E
=1k（x+x）2，E
=1k（x+x）2-1kx2。
p12
0p22
020
由于mg=kx0，
因此E
=-mgx+1k（x+x）2-1kx2=-kxx+1k（x+x）2-1kx2=1kx2。
p20
2002
0202
3-14
如图3-14所示，一半径R=0.5m的圆弧轨道，一A
质量为m=2kg的物体从轨道的上端A点下滑，到达底部m
C
B
习题3-14图69
B点时的速度为v=2ms，则重力做功为，正压力做功为，摩擦
力做功为。
正压力N能否写成N=mgcos=mgsin（如图示C点）？
答：
。
解析：
WG=mgR=9.8（J），WN=0，
W=E-E=mgR-1mv2=9.8-4=5.8（J）。
fAB2
由于物体下滑过程中有法向加速度，因此正压力在数值上并不等于重力在此方向上的分量。
三计算题
3-15一支枪每秒发射10颗质量为2.0⨯10-3kg、速率为500m/s的子弹向墙
壁射去，求：
（1）每颗子弹的动量大小；
（2）子弹作用于墙壁的平均冲力大小。
解析：
（1）p=mv=2.0⨯10-3⨯500=1（kg⋅m/s）
（2）F=∆p=10p=10（N）
∆t1
3-16一质点受合力作用，合力为F=10ti+2（2-t）j+3t2k（N）。
求此质点从
静止开始在2s内所受合力的冲量和质点在2s末的动量。
解析：
I=⎰
22
⎰
Fdt=
[10ti+2（2-t）j+3t2k]dt=20i+4j+8k（N⋅s）
00
I=∆p=p2-p0⇒p2=20i+4j+8k（N⋅s）
3-17一颗炮弹以初速度v0=20m/s和仰角60射出。
在轨迹的顶点，炮弹爆
炸成两块质量相等的碎块。
爆炸后，一个碎块的速率立即变成零，并垂直落下，问另一碎块的落地处离炮口多远？
假定地面水平，且空气阻力不计。
解析：
在水平方向上动量守恒，有
2mv0cos60=0+mv⇒v=2v0cos60=20（m/s）。
在竖直方向上求飞行时间，有
爆炸前t1
=v0sin60
g
1.77（s），爆炸后t2=t1=1.77（s）。
因此，距离s=s1+s2=v0t1cos60+vt2=30⨯1.7753（m）。
3-18一个1.2kg的球竖直落到地板上，撞击的速率为25m/s，再以10m/s
的速率反弹。
（1）接触期间对球的冲量是多少？
（2）如果球和地面接触的时间是
0.020s，则球对地面的平均力是多少？
解析：
（1）I=p2-p1=1.2⨯10j-1.2⨯25（-j）=42j（N⋅s）
（2）
F=∆p=
∆t
42
0.02
=2100（N），向地面垂直。
3-19一颗4.5g的子弹水平射入静止在水平面上的2.4kg的木块中。
木块和水
平面间的动摩擦因数为0.20，子弹停在木块中而木块向前滑动了1.8m（无转动）。
（1）子弹相对于木块停止时木块的速率是多少？
（2）子弹发射的速率是多少？
⎧
解析：
⎪
m1v1+0=（m1+m2）v2,（动量守恒）
⎨-（m+m）gs=0-1（m+m）v2，（动能定理）
⎩⎪12
2122
⎧v=1.4⨯103（m/s）
⇒⎨1
⎩v2=2.7（m/s）
3-20一颗炸弹在空中炸成A,B,C三块，其中mA=mB，A、B以相同的速率
30m⋅s-1沿互相垂直的方向分开，m=3m
，假设炸弹原来的速度为零，球炸裂
cA
后第三块弹片的速度和方向。
解析：
p
+
p+p
=0⇒p==
=302m
∴vC
A
=pC
m
BCC
=302mA=102m
30mA
A
（m/s），沿A、B夹角角平分线反向。
CA
3-21如图3-21所示，在平板中央开一小孔，质量为m=50g的小球用细线
栓住，细线穿过小孔后，挂一质量为m1=200g的重物，小球作匀速圆周运动，当半径r1=24.8cm时，重物达到平衡。
今在m1的下方再挂一质量为m2=100g的
另一重物，问小球作匀速圆周运动的半径r2又是多少？
习题3-21图
⎧mr2=mr2
习题3-22图
⎪1122
111
解析：
由角动量守恒定理可知，⎨mg=m2r
，代入数据得到：
⎪（m+m）g=m2r
r2=21.7（cm）
⎩1222
3-22一质量为2t的汽车沿笔直公路运动，它的v-t图如图3-22所示。
求
t=1s到t=5s的过程中合力对汽车所做的功。
解析：
W=⎰
Fds
在0~1s内，a=-5-0=-5（m/s2）,s=1⨯（-5）⨯12=-2.5（m）
1112
∴W1
=2⨯103⨯（-5）⨯（-2.5）=25000（J），正功。
在1~2s内，a=0-（-5）=5（m/s2）,s=-5⨯1+1⨯5⨯12=-2.5（m）
2122
∴W2
=2⨯103⨯5⨯（-2.5）=-25000（J），负功。
在2~5s内，a=15-0=5（m/s2）,s=1⨯5⨯32=22.5（m）
3332
∴W3
=2⨯103⨯5⨯22.5=225000（J），正功。
∴W=W+W=2⨯105（J）
1~523
3-23一沿x轴正方向的力作用在一个质量为3.0kg的质点上。
已知质点的运
动学方程为x=3t-4t2+t3（式中x以m计，t以s计）。
试求
（1）力在最初4.0s
内做的功；
（2）在t=1s时，力的瞬时功率。
解析：
（1）v=dx=3-8t+3t2，a=dv=-8+6t
dtdt
∴W=⎰
Fdx=⎰
44
mavdt=3⨯
（6t-8）（3t2-8t+3）dt=528（J）
（2）p=Fv=mav
=3⨯（6⨯1-8）⨯（3⨯12-8⨯1+3）=12（w）
1111
3-24
0
一质量为m的质点沿x轴方向的力F=Fe-kx作用下（其中F、k为正
常量）从x=0处自静止出发，求它沿x运动时所能达到的最大速率。
解析：
a=F=F0e-kx=dv=dvv
mmdtdx
xF0
v
-kx
22F0
F0-kx
∴⎰medx=⎰
vdv，即v
=-e
kmkm
∴x→∞,vmax=
3-25长为l的细绳的一端固定，另一端系一质量为m的小球，如图3-25所示，
小球可在竖直平面内作圆周运动，若将小球在最低点处以水平初速v0=抛
出，求小球上升到什么位置时绳子开始松驰。
解析：
若绳子开始松弛，则小球不受绳子的拉力，此时只有重力沿绳子方向的分量提供向心力的作用。
2
mgcos=mv
l
（1）
又依据机械能守恒可得：
1mv2=1mv2+mgl（1+cos）
（2）
202
联立
（1）、
（2）两式，求得cos=2,=13149'
3
3-26如图3-26所示，劲度系数为360Nm的弹簧，右端系一质量为0.25kg
物体A，左端固定于墙上，置于江滑水平台面上，物体A右方放一质量为0.15的物体B，将A、B和弹簧一同压缩0.2m，然后除去外力，求：
（1）A、B刚脱离时的速度，
（2）A、B脱离后，A继续向右运动的最大距离。
习题3-25图习题3-26图
解析：
（1）机械能守恒：
1kx2
2
=1（m+m）v
2AB
2⇒v2
=kx2
mA+mB
⇒代入数据v=6（m/s）
（2）A、B脱离后，A弹性势能和动能转化：
1kx'2=12⇒'=⇒'
22mAvx
代入数据x
0.158（m）
3-27测子弹速度的一种方法是把子弹水平射入一个固定在弹簧上的木块内，由弹簧压缩的距离就可以求出子弹的速度，已知子弹的质量为20g，木块质
量是8.98kg，弹簧的劲度系数是100N⋅m-1，子弹嵌入后，弹簧压缩了10cm，设
木块与水平面间的滑动摩擦系数为0.2，求子弹的速度。
解析：
根据动量守恒和能量守恒定理列式：
⎧m弹v弹=（m弹+m木）v
⎪
⎨1（m+m）v2=1kx2+（m+m）gx
⎪⎩2弹木2弹木
代入数据求得v弹319（m/s）
3-28有三个人站在铁路上的静止的平板车上，每个人的质量为m，平板车
的质量为m，他们相对于平板车的速度u跳离平板车的一端，平板车无摩擦地沿
相反的方向运动。
（1）若所有人同时跳车，平板车的最终速度是多少？
（2）若他们一个一个地跳离，平板车的最终速度又是多少？
0
解析：
（1）动量守恒：
3m（u+v）+mv=0⇒v=
-3mu
m0+3m
（2）假设①跳后车速为v1，②跳后车速为v1+∆v，③跳后车速为v1+∆v+∆v'，
则
①：
0=m（u+v1）+（m0+2m）v1
②：
（m0+2m）v1=m（u+v1+∆v）+（m0+m）（v1+∆v）
③：
（m0+m）（v1+∆v）=m（u+v1+∆v+∆v'）+m0（v1+∆v+∆v'）
⇒v=-mu,∆v=-mu,∆v'=-mu
1m+3mm+2mm+m
000
⇒v+∆v+∆v'=-mu
-
mu
-
mu
1m+3mm+2mm+m
000
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