江苏省高考数学试题及答案.docx
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江苏省高考数学试题及答案
江苏省 2019 年高考数学试题及答案
（试卷满分 160 分，考试时间 120 分钟）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码
准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无
效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
数学Ⅰ
参考公式：
n
样本数据 x , x ,…, x 的方差 s 2 =
12n
1 ∑ （ x - x ）2 ，其中 x =
i
i=1
1 ∑
n
i=1
x ．
i
一、填空题：
本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
柱体的体积 V = Sh ，其中 S 是柱体的底面积， h 是柱体的高．
锥体的体积V = 1 Sh ，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高．
3
．．．．．．．．
1．已知集合 A = {-1,0,1,6} ， B = {x | x > 0, x ∈ R} ，则 AB =.
2．已知复数 （a + 2i）（1 + i） 的实部为 0，其中 i 为虚数单位，则实数 a 的值是.
3．下图是一个算法流程图，则输出的 S 的值是.
4．函数 y = 7 + 6x - x2 的定义域是.
1
5．已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是.
6．从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出的 2 名同学中至少有 1 名女
同学的概率是.
7．在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x2 -
y 2
b2
= 1（b > 0） 经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方
程是.
8．已知数列 {a }（n ∈ N* ） 是等差数列， S 是其前 n 项和 .若 a a + a = 0, S = 27 ，则 S 的值
nn2 5898
是.
9．如图，长方体 ABCD - A B C D 的体积是 120，E 为 CC 的中点，则三棱锥 E-BCD 的体积
11111
是.
10．在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 y = x +
4
x
（ x > 0） 上的一个动点，则点 P 到直线 x+y=0 的
距离的最小值是.
11．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点（-e，-1）（e
为自然对数的底数），则点 A 的坐标是.
12．如图，在 △ABC 中，D 是 BC 的中点， E 在边 AB 上，BE=2EA，AD 与 CE 交于点 O .若
AB ⋅ AC = 6 AO ⋅ EC ，则 AB
AC
的值是 .
13．已知
tan α 2 ⎛ π ⎫
π ⎫ 3 ⎝ 4 ⎭
⎝ 4 ⎭
14．设 f （ x）, g （ x） 是定义在 R 上的两个周期函数， f （ x） 的周期为 4， g （ x） 的周期为 2，且 f （ x） 是
2
二、解答题：
本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证
⎧k （ x + 2）,0 < x ≤ 1
⎪
- ,1 < x ≤ 2
（0，9]上，关于 x 的方程 f （ x） = g （ x） 有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是.
．．．．．．．
明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 14 分）
在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．
（1）若 a=3c，b= 2 ，cosB= 2
3
，求 c 的值；
（2）若
sin A cos B π
= ，求 sin（B + ） 的值．
a 2b 2
16．（本小题满分 14 分）
如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，D，E 分别为 BC，AC 的中点，AB=BC．
求证：
（1）A1B1∥平面 DEC1；
（2）BE⊥C1E．
= 1（a > b > 0） 的焦点为 F （–1、0），
17．（本小题满分 14 分）
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C:
x2 y 2
+
a 2 b2
1
F2（1，0）．过 F2 作 x 轴的垂线 l，在 x 轴的上方，l 与圆 F2:
（ x - 1）2 + y 2 = 4a 2 交于点 A，与
椭圆 C 交于点 D.连结 AF1 并延长交圆 F2 于点 B，连结 BF2 交椭圆 C 于点 E，连结 DF1．
已知 DF1=
5
2
．
3
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）求点 E 的坐标．
PB、QA 上的所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径．已知点 A、B 到直线 l 的距离分别为
18．（本小题满分 16 分）
如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥 AB（AB 是圆 O
的直径）．规划在公路 l 上选两个点 P、Q，并修建两段直线型道路 PB、QA．规划要求：
线段
．．．．
AC 和 BD（C、D 为垂足），测得 AB=10，AC=6，BD=12（单位：
百米）．
（1）若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长；
（2）在规划要求下，P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处？
并说明理由；
.
（3）在规划要求下，若道路PB 和 QA 的长度均为 d（单位：
百米） 求当 d 最小时，P、Q 两点
间的距离．
19．（本小题满分 16 分）
设函数 f （ x） = （ x - a）（ x - b）（ x - c）, a, b, c ∈ R 、 f ' （x） 为 f（x）的导函数．
（1）若 a=b=c，f（4）=8，求 a 的值；
（2）若 a≠b，b=c，且 f（x）和 f ' （x） 的零点均在集合{ - 3,1,3} 中，求 f（x）的极小值；
（3）若 a = 0,0 < b 1, c = 1 ，且 f（x）的极大值为 M，求证:
M≤
20．（本小满分 16 分）
4
4
27
．
定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{an} （n ∈ N* ） 满足：
a2 a4 = a5 , a3 - 4a2 + 4a4 = 0 ，求证：
数列{an}为“M
－数列”；
（2）已知数列{bn} （n ∈ N* ） 满足：
b1 = 1,
①求数列{bn}的通项公式；
1 2 2
= -
S b b
n n n+1
，其中 Sn 为数列{bn}的前 n 项和．
{
②设 m 为正整数，若存在“M－数列”cn} （n ∈ N* ） ，对任意正整数 k，当 k≤m 时，都有 ck剟bk
成立，求 m 的最大值．
c
k +1
21．【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多
已知矩阵 A = ⎢ ⎥
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写
数学Ⅱ（附加题）
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A.[选修 4-2：
矩阵与变换]（本小题满分 10 分）
⎡3 1 ⎤
⎣22⎦
（1）求A2；
（2）求矩阵A的特征值.
B.[选修4-4：
坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
⎛π⎫⎛π⎫π
⎝4 ⎭⎝2 ⎭⎝4 ⎭
（1）求A，B两点间的距离；
（2）求点B到直线l的距离.
C.[选修4-5：
不等式选讲]（本小题满分10分）
设 x ∈ R ，解不等式 |x|+|2 x - 1|>2 .
．．．．．．．
出文字说明、证明过程或演算步骤．
22.（本小题满分10分）设 （1+ x）n = a + a x + a x 2 +
012
+ a x n , n…4, n ∈ N* .已知 a 2 = 2a a .
n 3 2 4
（1）求n的值；
（2）设 （1+ 3） n = a + b 3 ，其中 a, b ∈ N*，求 a2 - 3b2 的值.
5
23. （本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy中，设点集 An = {（0,0）,（1,0）,（2,0）, ⋯,（ n,0）} ，
B = { （0,1）,（n,1）},C = {（0,2）,（1,2）,（2,2）,
nn
（ n,2）}, n ∈ N*.
令 M = A
nn
B
n
Cn .从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.
（1）当n=1时，求X的概率分布；
（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n 表示）.
6
参考答案
数学Ⅰ
一、填空题：
本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分.
1. {1,6}2.23.54. [ - 1,7]5. 5
8.169.1010.411. （e, 1）12. 3
13.
2
10
⎡ 1 2 ⎫
14. ⎢ , ⎪
⎣
二、解答题
15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解
能力.满分14分.
解：
（1）因为 a = 3c, b =2,cos B = 2
3
，
a 2 + c2 - b22（3c）2 + c 2 - （ 2） 21
由余弦定理 cos B =，得=，即 c2 =.
2ac3
所以 c =3
3
.
（2）因为
sin A cos B
=
a 2b
，
由正弦定理
a b
=
sin A sin B
，得
cos B sin B
=
2b b
，所以 cos B = 2sin B .
从而
cos 2 B = （2sin B）2 ，即 cos2 B = 4 （1 - cos2 B ），故 cos2 B =
4
5
.
因为 sin B > 0 ，所以 cos B = 2sin B > 0 ，从而 cos B = 2 5
5
.
因此 sin ç B +
⎝
⎪
.
16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能
力和推理论证能力.满分 14 分.
证明：
（1）因为 D，E 分别为 BC，AC 的中点，
所以 ED∥AB.
在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB∥A1B1，
所以 A1B1∥ED.
又因为 ED平面 DEC1，A1B1 ⊄ 平面 DEC1，
7
所以 A1B1∥平面 DEC1.
（2）因为 AB=BC，E 为 AC 的中点，所以 BE⊥AC.
因为三棱柱 ABC-A1B1C1 是直棱柱，所以 CC1⊥平面 ABC.
又因为 BE⊂平面 ABC，所以 CC1⊥BE.
因为 C1C⊂平面 A1ACC1，AC⊂平面 A1ACC1，C1C∩AC=C，
所以 BE⊥平面 A1ACC1.
因为 C1E⊂平面 A1ACC1，所以 BE⊥C1E.
17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系
等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分 14 分.
解：
（1）设椭圆 C 的焦距为 2c.
因为 F1（-1，0），F2（1，0），所以 F1F2=2，c=1.
53
112
因此 2a=DF1+DF2=4，从而 a=2.
由 b2=a2-c2，得 b2=3.
x2y 2
因此，椭圆 C 的标准方程为+= 1 .
43
（2）解法一：
x2y 2
由
（1）知，椭圆 C：
+= 1 ，a=2，
43
因为 AF2⊥x 轴，所以点 A 的横坐标为 1.
将 x=1 代入圆 F2 的方程（x-1） 2+y2=16，解得 y=±4.
因为点 A 在 x 轴上方，所以 A（1，4）.
又 F1（-1，0），所以直线 AF1：
y=2x+2.
⎧ y = 2 x + 2
由 ⎨，得 5x2 + 6 x - 11 = 0 ，
⎩（ x - 1）2 + y 2 = 16
解得 x = 1 或 x = -
11
5
.
将 x =-
11 12
5 5
8
123
554
⎧3
y =（ x - 1）
由 ⎨，得 7 x 2 - 6 x - 13 = 0 ，解得 x = -1 或 x =
= 1
⎪ 43
又因为 E 是线段 BF2 与椭圆的交点，所以 x = -1 .
7
.
将 x = -1 代入 y =
3
4
3 3
（ x -1） ，得 y = - .因此 E （-1,- ） .
2 2
解法二：
x2y 2
43
因为 BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以 EF1=EB，
从而∠BF1E=∠B.
因为 F2A=F2B，所以∠A=∠B，
所以∠A=∠BF1E，从而 EF1∥F2A.
因为 AF2⊥x 轴，所以 EF1⊥x 轴.
⎧ x = -1
⎪3
= 12
⎩ 43
又因为 E 是线段 BF2 与椭圆的交点，所以 y = -
3
2
.
3
因此 E （-1,- ） .
2
18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运
用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分.
解：
解法一：
（1）过A作 AE ⊥ BD ，垂足为E.
由已知条件得，四边形ACDE为矩形， DE = BE = AC = 6, AE = CD = 8 .'
因为PB⊥AB，
所以 cos ∠PBD = sin ∠ABE =
8 4
= .
10 5
9
12
== 15 .
cos ∠PBD4
5
因此道路PB的长为15（百米）.
（2）①若P在D处，由
（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆
O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处，连结AD，由
（1）知 AD =AE 2 + ED 2 = 10 ，
从而 cos ∠BAD =
AD 2 + AB 2 - BD 2 7
= > 0 ，所以∠BAD为锐角.
2 AD ⋅ AB 25
5
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此，Q选在D处也不满足规划要求.
综上，P和Q均不能选在D处.
（3）先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于
圆O的半径，点P符合规划要求.
设 P 为l上一点，且 PB ⊥ AB ，由
（1）知， P B=15，
111
此时 PD = PB sin ∠PBD = PB cos ∠EBA = 15 ⨯ 3 = 9 ；
1111
当∠OBP>90°时，在 △PPB 中， PB > PB = 15 .
11
由上可知，d≥15.
再讨论点Q的位置.
由（ 2 ）知，要使得 QA≥15 ，点 Q 只有位于点 C 的右侧，才能符合规划要求. 当 QA=15 时，
.
CQ =QA2 - AC2 = 15 2 - 6 2 = 3 21 此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的
半径.
10
综上，当 PB ⊥ AB ，点 Q 位于点 C 右侧，且 CQ= 3 21 时， d 最小，此时 P ， Q 两点间的距离
PQ=PD+CD+CQ=17+ 3 21 .
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+ 3 21 （百米）.
解法二：
（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.
以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.
因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3.
因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.
从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为
3
4
.
因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为 -
4
3
，
直线PB的方程为 y = -
4 25
x -
3 3
.
所以P（−13，9）， PB =（-13 + 4）2 + （9 + 3）2 = 15 .
因此道路PB的长为15（百米）.
（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处，连结AD，由
（1）知D（−4，9），又A（4，3），
所以线段AD：
y = - 3 x + 6（-4剟x 4） .
4
15⎛ 15 ⎫2
4⎝ 4 ⎭
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此Q选在D处也不满足规划要求.
综上，P和Q均不能选在D处.
（3）先讨论点P的位置.
11
设 P 为l上一点，且 PB ⊥ AB ，由
（1）知， P B=15，此时 P （−13，9）；
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于
圆O的半径，点P符合规划要求.
1111
当∠OBP>90°时，在 △PPB 中， PB > PB = 15 .
11
由上可知，d≥15.
再讨论点Q的位置.
由
（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q（a，
9），由 AQ =（a - 4）2 + （9 - 3）2 = 15（a > 4） ，得a= 4 + 3 21 ，所以Q（ 4 + 3 21 ，9），此
时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上，当P（−13，9），Q（ 4 + 3 21 ，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离
PQ = 4 + 3 21 - （-13） = 17 + 3 21 .
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17 + 3 21 （百米）.
19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻
辑推理能力．满分16分．
解：
（1）因为 a = b = c ，所以 f （ x） = （ x - a）（ x - b）（ x - c） = （ x - a）3 ．
因为 f （4） = 8 ，所以 （4 - a）3 = 8 ，解得 a = 2 ．
（2）因为 b = c ，
所以 f （ x） = （ x - a）（ x - b）2 = x3 - （a + 2b） x 2 + b（2a + b） x - ab 2 ，
⎛
⎝
⎪
．
因为 a, b,
2a + b
3
，都在集合{-3,1,3}中，且 a ≠ b ，
2a + b
所以= 1,a = 3, b = -3 ．
3
此时 f （ x） = （ x - 3）（x + 3）2 ， f ' （ x） = 3（x + 3）（x - 1） ．
令 f ' （ x） = 0 ，得 x = -3 或 x = 1 ．列表如下：
12
x
f ' （ x）
（-∞, -3）
+
-3
0
（-3,1）
–
1
0
（1,+∞ ）
+
f （ x）
极大值
极小值
所以 f （ x） 的极小值为 f
（1） = （1- 3）（1+ 3）2 = -32 ．
（3）因为 a = 0, c = 1，所以 f （ x） = x（ x - b）（ x - 1） = x3 - （b + 1）x 2 + bx ，
f ' （ x） = 3x 2 - 2（b + 1）x + b ．
因为 0 < b ≤ 1，所以 ∆ = 4（b + 1）2 - 12b = （2b - 1）2 + 3 > 0 ，
则 f ' （ x） 有2个不同的零点，设为 x , x
12
（x
1
< x ）．
2
b + 1 - b2 - b + 1b + 1 + b2 - b + 1
由 f ' （ x） = 0 ，得 x =．
12
列表如下：
x
（-∞, x ）
1
x
1
（x , x ）
1 2
x
2
（ x , +∞）
2
f ' （ x）
+
0
–
0
+
f （ x）
所以 f （ x） 的极大值 M = f （x ）．
1
解法一：
M = f （x ） = x3 - （b + 1）x2 + bx
1111
极大值
极小值
11
⎛ x
1
=
-2 （b2 - b + 1）（b + 1） b（b + 1） 2
+ +
27 9 27
2
3
b（b + 1）2（b - 1）2 （b + 1）2
=-+（ b（b - 1） + 1）3
272727
244
+≤．因此 M ≤．
27272727
解法二：
13
因为 0 < b ≤ 1，所以 x ∈ （0,1） ．
1
当 x ∈ （0,1） 时， f （ x） = x（ x - b）（ x - 1） ≤ x（ x - 1）2 ．
⎛1 ⎫
⎝3 ⎭
令 g' （ x） = 0 ，得 x =
1
3
．列表如下：
x1 ）
3
1
3
1
（ ,1）
3
g' （ x）
g （ x）
+
0
极大值
–
时， g （ x） 取得极大值，且是最大值，故 g （ x）
3⎝ 3 ⎭27
．
4
，因此 M ≤．
2727
20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化
归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．
解：
（1）设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.
⎧a a = a⎧a2q4 = a q4
24511
a - 4a + 4a = 0a q2 - 4a q + 4a = 0
2111
因此数列{an } 为“M—数列”.
⎧a = 1
⎩
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