命题逻辑.docx

命题逻辑.docx

《命题逻辑.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《命题逻辑.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

命题逻辑

P，Q的析取，记以PQ，读作P或Q。

P，Q的合取，记以PQ，读作P且Q。

（PQ）（PQ）–异或

命题“如果P，则Q”称为P蕴涵Q，记以PQ。

如果p是假的就一定对，如果Q是真的就一定对

命题“P当且仅当Q”称为P等价Q，记以PQ

大写的英文字母P，Q，R，…等代表一个抽象的命题，或称为命题符号。

命题符号称为原子。

（1）命题与命题符号的区别：

①命题本身是有真假意义的一句话，但命题符号本身不具有真假意义。

②命题不是命题公式中的语法单位，而命题符号是命题公式中的语法单位。

（2）命题公式是由命题符号、0、1、逻辑联结词、圆括号按照规定组成的有限

长度符号串。

（3）由于命题符号是抽象的，所以命题公式也是抽象的，本身不具有真假意义

v命题逻辑中的公式，是如下定义的一个符号串：

（1）原子是公式；

（2）0、1是公式；

（3）若G，H是公式，则（G），（GH），（GH），（GH），（GH）是公式；

（4）所有公式都是有限次使用

（1），

（2），（3）

得到的符号串。

例.（（（P（QR））（01））（Q（（S）R）））

五种逻辑联结词的优先级按如下次序

递增：

，，，，

G是公式，I是G的一个解释，显然，G在I下有真值，通常记为TI（G）

v例.公式G=（PQ）R的真值表中第二个解释就可以记为{P，Q，R}

v公式G称为可满足的，如果它不是恒假的。

v练习：

求满足公式（P→Q）→PQ的解释和弄假它的解释。

（考试题型）

v定义3.1.11称公式G，H是等价的，记以G=H，如果G，H在其任意解释I下，其真值相同。

公式G，H等价iff公式GH恒真。

公式间的等价关系有自反性、对称性，传递性。

v1）（GH）=（GH）（HG）；

v2）（GH）=（GH）；

v3）GG=G，GG=G；（幂等律）

v4）GH=HG，GH=HG；（交换律）

v5）G（HS）=（GH）S，

G（HS）=（GH）S；（结合律）

v1）（GH）=（GH）（HG）；

v2）（GH）=（GH）；

v3）GG=G，GG=G；（幂等律）

v4）GH=HG，GH=HG；（交换律）

v5）G（HS）=（GH）S，

G（HS）=（GH）S；（结合律）

v公式恒真或恒假的证明。

例.（P→Q）→（（Q→R）→（P→R））

=（PQ）（（QR）（PR））

=（PQ）（（QR）（PR））

=（PQ）（（QPR）（RPR））

=（PQ）（（QPR）1）

=（PQ）（QPR）

=（PQPR）（QQPR）

=11=1

v例.

（P→Q）→PQ

=（PQ）（PQ）

=（PQ）（PQ）

=P（QQ）=P1=P

v例.证明：

（PQ）（PR）（QR）=（PQ）（PR）

证明：

左=（PQ）（PR）（（PP）（QR））

=（PQ）（PR）（PQR）（PQR）

=（（PQ）（PQR））（（PR）（PRQ）

=（PQ）（PR）=右

v练习：

（1）证明：

P→（Q→R）=PQ→R

（2）问：

（P→Q）→R与PQ→R是否等价？

v设Q是逻辑运算符号集合，若所有逻辑运算都能由Q中元素表示出来，而Q的任意真子集无此性质，则称Q是一个完备集。

{，}，{，}都是完备集。

v证明{，}是完备集

v证明：

vPQ=（PQ）

PQ=PQ=（PQ）

PQ=（PQ）（QP）

=（PQ）（QP）

=（（PQ））（（QP））

v“”称作与非联结词。

PQ=（PQ）。

v称作或非联结词。

PQ=（PQ）

v证明：

{}是完备集

P=（PP）=PP

PQ=（PQ）

=（P）（Q）

=（PP）（QQ）

PQ=（PQ）=（PQ）

=（（PQ）（PQ））=（PQ）（PQ）

v设G，H是两个公式。

称H是G的逻辑结果（或称G蕴涵H）当且仅当对G，H的任意解释I，如果I满足G，则I也满足H，记作GH

符号“”和“=”一样，它们都不是逻辑联结词，因此，G=H，GH也都不是公式。

是一种偏序关系。

证明：

v自反性：

任取公式G，有GG恒真，因此，GG。

v反对称性：

若GH，HG，则GH，HG恒真，

从而,（GH）（HG）恒真,即,GH恒真，

v故G=H。

传递性：

若GG1，G1H，则对G,G1,H的任意解释I，若I满足G，则由GG1知，I满足G1，再由G1H知，I满足H。

因此，GH。

设G1,…,Gn，H是公式。

称H是G1,…,Gn的逻辑结果（或称G1,…,Gn共同蕴涵H），当且仅当（G1…Gn）H

设S={PQ，QR，PM，M}则下面的公式序列:

M，PM，P，PQ，Q，QR，R

就是从S推出R的一个演绎

基本蕴含式

1.PQP

2.PQQ

3.PPQ

4.QPQ

5.P（PQ）

6.Q（PQ）

7.（PQ）P

8.（PQ）Q

9.P，QPQ

10.P，PQQ

11.P，PQQ

12.Q，PQP

13.PQ，QRPR

14.PQ，PR，QRR

例设A=（RP）Q，B=PQ，证明A蕴涵B。

证明：

证明AB恒真。

（（RP）Q）（PQ）

=（（RP）Q）（PQ）

=（（RP）Q）（PQ）

=（RQ）（PQ）（PQ）

=1

✓利用一些基本等价式及蕴涵式进行推导

例设A=（RP）Q，B=PQ，

证明A蕴涵B。

证明：

由基本等价式可得：

A=（RP）Q

=（RP）Q

=（RP）Q

=（RQ）（PQ）

=（RQ）（PQ）

由基本蕴涵式2.PQQ可知，

（RQ）（PQ）（PQ），即A蕴涵B。

✓任取解释I，若I满足G，往证I满足H

例.设A=PQ，B=（RQ）（（PR）Q），

证明A蕴涵B。

证明：

任取解释I，若I满足A，则有如下两种情况：

（1）在解释I下，P为假，这时，

TI（B）=（RQ）（RQ）=1，

因此，I亦满足B。

（2）在解释I下，Q为真，这时，

TI（B）=11=1，即，I亦满足B。

综上，I满足B，因此，A蕴涵B。

✓反证法，设结论假，往证前提假

（即证明HG）。

例设A=（RP）Q，B=PQ，

证明A蕴涵B。

证明：

假设存在解释I使PQ为假,则只有一种情形：

P在I下为真，且Q在I下为假，

这时RP在I下为真，故I弄假（RP）Q。

因此，（RP）Q蕴涵PQ。

KEY

v证明{（PQ），（PR），（QS）}SR

1.PQ规则1

2.PQ规则2，根据1

3.QS规则1

4.PS规则2，根据2，3

5.SP规则2，根据4

6.PR规则1

7.SR规则2，根据5，6

8.SR规则2，根据7

v证明{P（QS），RP，Q}RS

1.RP规则1

2.R规则3

3.P规则2，根据1，2

4.P（QS）规则1

5.QS规则2，根据3，4

6.Q规则1

7.S规则2，根据5，6

8.RS规则3，根据2，7

v定义3.1.18原子或原子的否定称为文字。

v例.P，P是文字。

v有限个文字的析取式称为一个子句；有限个文字的合取式称为一个短语。

v特别，一个文字既可称为是一个子句,也可称为是一个短语。

v例.P，PQ，PQ是子句,P，PQ，PQ是短语

v有限个

（1）短语的析取式称为析取范式；有限个

（1）子句的合取式称为合取范式。

文字也两者都是

vP,PQ,PQ,（PQ）（PQ）是析取范式P,PQ,PQ,（PQ）（PR）是合取范式。

vG=（P（QR））S

=（P（QR））S

=P（QR）S

=P（QR）S…………….（析取范式）

=P（QR）（S（QQ））

=P（QR）（SQ）（SQ）（析取范式）

=（PS）（QR）

=（PSQ）（PSR）……（合取范式）

v对于P1,…,Pn的任一个极小项m，2n个解释中，有且只有一个解释使m取1值。

v设命题公式G中所有不同原子为P1,…,Pn，如果G的某个析取范式G’中的每一个短语，都是关于P1,…,Pn的一个极小项，则称G’为G的主析取范式。

vd）对于所有不是关于P1，…，Pn的极小项的短语使用同一律，补进短语中未出现的所有命题原子，并使用分配律展开。

KEY

v求G=（RP）（Q（PR））的主析取范式

v解：

G=（RP）（Q（PR））

=（RP）（QP）（QR）

=（PR）（PQ）（QR）

=（（PR）（QQ））（（PQ）（RR））（（QR）（PP））

=（PQR）（PQR）（PQR）（PQR）

判断公式G=（PQ）（QR）（RP）是否恒假?

解：

G=（PQ）（QR）（RP）

=（PQ）（QR）（RP）

=（（PQ）（QQ）（PR）（QR））（RP）

=（PQR）（QQR）（PRR）（QRR）（PQP）（QQP）（PRP）（QRP）

故公式G不是恒假的。

判断公式G=（PQ）PQ是否恒假?

解：

G=（PQ）PQ

=（PQ）PQ

=（PPQ）（QPQ）

故公式G是恒假的。

1.把公式化成主析取范式

公式恒假时，主析取范式没有极小项；

公式恒真时，主析取范式有全部极小项。

Ø极大项有如下性质：

⑴n个命题原子P1，…，Pn有2n个不同的解释,每个解释对应P1，…，Pn的一个极大项。

⑵对P1，…，Pn的任意一个极大项M,有且只有一个解释使M取0值.若使M取0的解释对应的二进制数为i,则M记为Mi。

⑶任意两个不同的极大项的析取式恒真：

MiMj=1，i≠j。

⑷所有极大项的合取式恒假。

Ø极小项和极大项的关系：

mi=Mi，Mi=mi

Ø从一公式A的主合取范式（PQ）求其主析取范式的步骤为：

⑴求出A的主合取范式中没有包含的所有极大项。

PQ，PQ，PQ

⑵求出与⑴中极大项下标相同的极小项。

PQ，PQ，PQ

⑶将⑵求出的所有极小项析取起来，即得A的主析取范式。

（PQ）（PQ）（PQ）

例.若（PQ）（PQ）（PQ）为一公式H

的主析取范式，

H=H

=（（PQ）（PQ）（PQ））

=（（m0m1m3）

=（m2）

=M2

=PQ

为H的主合取范式。

v例求公式G=P→（Q→R）的主析取范式与主合取范式。

（真值表法和公式推导法）

主析取范式：

G=（PQR）（PQR）（PQR）

（PQR）（PQR）（PQR）（PQR）

=m0m1m2m3m4m5m7

主合取范式：

G=PQR=M6

v利用主合取范式与主析取范式可求解判定问题

主析取范式：

公式恒假时，主析取范式没有极小项（G’=0）；公式恒真时，主析取范式包含所有极小项。

主合取范式：

公式恒假时，主合取范式包含所有极大项；公式恒真时，主合取范式没有极大项（G’=1）。

v证明等价式成立

由于任意公式的主范式是唯一的，所以可以分别求出两个给定的公式的主范式，若二者主范式相同，则给定的两公式是等价的，否则，给定的两公式不等价。

例判断P→（Q→R）与（PQ）→R是否等价。

证明：

利用求主合取范式的方法来判断。

由前知，P→（Q→R）的主合取范式为：

M6。

下面求（PQ）→R的主合取范式。

　（PQ）→R

=（PQ）R

=（PQ）R

=（PR）（QR）

=（P（QQ）R）（（PP）QR）

=（PQR）（PQR）（PQR）

=M2M4M6

二者的主合取范式不相同，因此，这两个公式不等价。