命题逻辑.docx

1、命题逻辑P，Q的析取，记以PQ，读作P或Q。P，Q的合取，记以PQ，读作P且Q。 (PQ) (PQ) 异或 命题 “如果P，则Q” 称为P蕴涵Q，记以PQ。如果p是假的就一定对，如果Q是真的就一定对命题 “P当且仅当Q”称为P等价Q，记以PQ大写的英文字母P，Q，R，等代表一个抽象的命题，或称为命题符号。 命题符号称为原子。(1)命题与命题符号的区别： 命题本身是有真假意义的一句话，但命题符号本身不具有真假意义。 命题不是命题公式中的语法单位，而命题符号是命题公式中的语法单位。(2)命题公式是由命题符号、0、1、逻辑联结词、圆括号按照规定组成的有限 长度符号串。(3)由于命题符号是抽象的，所以

2、命题公式也是抽象的，本身不具有真假意义v 命题逻辑中的公式，是如下定义的一个符号串： (1)原子是公式； (2) 0、1是公式； (3)若G，H是公式，则(G)，(GH)， (GH)，(GH)，(GH)是公式； (4)所有公式都是有限次使用(1)，(2)，(3) 得到的符号串。例. (P(QR)(01)(Q(S)R)五种逻辑联结词的优先级按如下次序 递增：，G是公式，I是G的一个解释，显然，G在I下有真值，通常记为TI(G)v 例.公式G=(PQ)R的真值表中第二个解释就可以记为P，Q，R v 公式G称为可满足的， 如果它不是恒假的。 v 练习：求满足公式(PQ)PQ的解释和弄假它的解释。(考

3、试题型) v 定义3.1.11 称公式G，H是等价的，记以G=H，如果G，H在其任意解释I下，其真值相同。 公式G，H等价 iff 公式GH恒真。公式间的等价关系有自反性、对称性， 传递性。 v 1) (GH)=(GH)(HG)； v 2) (GH)=(GH)； v 3) GG=G，GG=G； (幂等律)v 4) GH=HG，GH=HG； (交换律)v 5) G(HS)=(GH)S， G(HS)=(GH)S； (结合律)v 1) (GH)=(GH)(HG)； v 2) (GH)=(GH)； v 3) GG=G，GG=G； (幂等律)v 4) GH=HG，GH=HG； (交换律)v 5) G(H

4、S)=(GH)S， G(HS)=(GH)S； (结合律)v 公式恒真或恒假的证明。 例.(PQ)(QR)(PR)= (PQ) (QR)(PR)= (PQ)(QR)(PR)= (PQ)(QP R) (RPR)= (PQ)( (QP R)1)= (PQ)(QPR) =(PQPR)(QQPR)=11=1v 例.(PQ)PQ=(PQ)(PQ)=(PQ)(PQ)=P(QQ) =P1=Pv 例. 证明：(PQ)(PR) (QR)=(PQ)(PR) 证明：左= (PQ) (PR) (PP)(QR)= (PQ) (PR) (PQR) (PQR)=(PQ)(PQR)(PR)(PRQ)=(PQ)(PR) =右v

5、练习：(1)证明：P(QR)=PQR(2)问：(PQ)R与PQR是否等价？v 设Q是逻辑运算符号集合，若所有逻辑运算都能由Q中元素表示出来，而Q的任意真子集无此性质，则称Q是一个完备集。，都是完备集。v 证明 ， 是完备集v 证明：v PQ = (P Q)PQ = PQ= (PQ)PQ = (PQ) (QP) = (P Q) (Q P) = (P Q) (QP)v “”称作与非联结词。PQ=(PQ)。 v 称作或非联结词。 PQ=(PQ) v 证明：是完备集 P = (P P) =PP PQ = (P Q) = (P) (Q) =(PP)(QQ) PQ= (PQ)= (PQ) =(PQ) (P

6、Q)=(PQ)(PQ)v 设G，H是两个公式。 称H是G的逻辑结果(或称G蕴涵H) 当且仅当对G，H的任意解释I，如果I满足G，则I也满足H，记作GH符号“”和“=” 一样，它们都不是逻辑联结词，因此，G=H，GH也都不是公式。 是一种偏序关系。证明：v 自反性：任取公式G，有GG 恒真，因此，GG。v 反对称性：若GH，HG，则GH，HG恒真，从而, (GH) (HG)恒真,即,GH恒真，v 故G=H。传递性：若GG1，G1H，则对G, G1, H的任意解释I，若I满足G，则由GG1知，I满足G1，再由G1H知，I满足H。因此，GH。设G1, , Gn，H是公式。 称H是G1, ,Gn的逻辑

7、结果(或称G1, , Gn共同蕴涵H)，当且仅当 (G1 Gn) H设S=PQ，QR，PM，M 则下面的公式序列: M，PM，P，PQ，Q，QR，R就是从S推出R的一个演绎基本蕴含式1. PQP2. PQQ3. PPQ4. QPQ5. P(PQ)6. Q(PQ)7. (PQ)P8. (PQ)Q9. P，QPQ10. P，PQQ11. P，PQQ12. Q，PQP13. PQ，QRPR14. PQ，PR，QRR 例 设A=(RP)Q，B=PQ， 证明A蕴涵B。证明：证明AB恒真。 (R P) Q)( PQ)= (RP)Q) (PQ)=(RP) Q) (PQ)=(RQ) (PQ) (PQ)=1 利

8、用一些基本等价式及蕴涵式进行推导例 设A=(RP)Q，B=PQ， 证明A蕴涵B。证明：由基本等价式可得：A=(RP)Q =(RP)Q = (RP)Q =(RQ)(PQ) =(RQ)(PQ)由基本蕴涵式2. PQQ可知，( RQ)(PQ)(PQ)，即A蕴涵B。 任取解释I，若I满足G，往证I满足H例. 设A=PQ，B=(RQ)(PR)Q)， 证明A蕴涵B。证明：任取解释I，若I满足A，则有如下两种情况：（1）在解释I下，P为假，这时， TI(B)=(RQ)(RQ)=1，因此，I亦满足B。（2）在解释I下，Q为真，这时， TI(B)=11=1，即，I亦满足B。综上，I满足B，因此，A蕴涵B。 反证

9、法，设结论假，往证前提假 (即证明HG)。例 设A=(RP)Q，B= PQ， 证明A蕴涵B。证明：假设存在解释I使PQ为假,则只有一种情形：P在I下为真，且Q在I下为假，这时RP在I下为真，故I弄假(RP)Q。因此，(RP) Q蕴涵 P Q。KEYv 证明(PQ)，(PR)，(QS)SR 1. PQ 规则1 2. PQ 规则2，根据13. QS 规则14. PS 规则2，根据2，35. SP 规则2，根据46. PR 规则17. SR 规则2，根据5，68. SR 规则2，根据7v 证明P(QS)，RP，QRS1. RP 规则12. R 规则33. P 规则2，根据1，24. P(QS) 规则

10、15. QS 规则2，根据3，46. Q 规则17. S 规则2，根据5，68. RS 规则3，根据2，7 v 定义3.1.18 原子或原子的否定称为文字。v 例. P，P是文字。v 有限个文字的析取式称为一个子句； 有限个文字的合取式称为一个短语。 v 特别，一个文字既可称为是一个子句, 也可称为是一个短语。v 例. P，PQ，PQ是子句,P，PQ，PQ是短语v 有限个(1)短语的析取式称为析取范式；有限个(1)子句的合取式称为合取范式。文字也两者都是v P,PQ,PQ,(PQ)(PQ)是析取范式P,PQ,PQ,(PQ)(PR)是合取范式。v G = (P(QR)S =(P(QR)S =P(

11、QR)S =P(QR)S . (析取范式) =P(QR)(S(QQ) =P(QR)(SQ)(SQ) (析取范式) =(PS)(QR) =(PSQ)(PSR) (合取范式) v 对于P1,Pn的任一个极小项m，2n个解释中，有且只有一个解释使m取1值。v 设命题公式G中所有不同原子为P1,Pn，如果G的某个析取范式G中的每一个短语，都是关于P1,Pn的一个极小项，则称G为G的主析取范式。v d) 对于所有不是关于P1，Pn的极小项的短语使用同一律，补进短语中未出现的所有命题原子，并使用分配律展开。KEYv 求G=(RP)(Q(PR) 的主析取范式 v 解： G =(RP)(Q(PR) =(RP)

12、(QP)(QR) =(PR)(PQ)(QR) =(PR)(QQ )(PQ)(RR ) (QR)(PP ) =(PQR)(PQR)(PQR)(PQR) 判断公式G=(PQ)(QR)(RP)是否恒假?解：G=(PQ)(QR)(RP)=(PQ)(QR)(RP)=(PQ)(QQ)(PR)(QR)(RP)=(PQR)(QQR)(PRR)(Q RR)(PQP)(QQP)(PRP) (QRP)故公式G不是恒假的。 判断公式G=(PQ)PQ是否恒假?解：G=(PQ)PQ =(PQ)PQ =(PPQ)(QPQ)故公式G是恒假的。 1. 把公式化成主析取范式 公式恒假时，主析取范式没有极小项； 公式恒真时，主析取

13、范式有全部极小项。 极大项有如下性质： n个命题原子P1，Pn有2n个不同的解释,每个解释对应P1，Pn的一个极大项。对P1，Pn的任意一个极大项M,有且只有一个解释使M取0值.若使M取0的解释对应的二进制数为i,则M记为Mi。任意两个不同的极大项的析取式恒真：Mi Mj=1，ij。所有极大项的合取式恒假。 极小项和极大项的关系：mi=Mi ，Mi=mi 从一公式A的主合取范式(PQ)求其主析取范式的步骤为：求出A的主合取范式中没有包含的所有极大项。 PQ， PQ， PQ 求出与 中极大项下标相同的极小项。 PQ， PQ， PQ 将 求出的所有极小项析取起来，即得A的主析取范式。 (PQ) (

14、PQ) (PQ)例.若(PQ)(PQ)(PQ)为一公式H 的主析取范式，H=H =(PQ)(PQ)(PQ) =(m0 m1 m3) = (m2) =M2 = PQ为H的主合取范式。v 例 求公式G= P(QR)的主析取范式与主合取范式。 (真值表法和公式推导法)主析取范式：G=(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR) = m0 m1 m2 m3 m4 m5 m7主合取范式：G= PQR= M6v 利用主合取范式与主析取范式可求解判定问题 主析取范式：公式恒假时，主析取范式没有极小项（G=0）；公式恒真时，主析取范式包含所有极小项。 主合取范式：公式恒假时，主合取范式包含所有极大项；公式恒真时，主合取范式没有极大项(G=1)。v 证明等价式成立由于任意公式的主范式是唯一的，所以可以分别求出两个给定的公式的主范式，若二者主范式相同，则给定的两公式是等价的，否则，给定的两公式不等价。例 判断P(QR)与（P Q） R是否等价。证明： 利用求主合取范式的方法来判断。由前知，P(QR)的主合取范式为：M6。下面求（P Q） R的主合取范式。（P Q） R = （P Q） R=（ PQ）R=（ PR）（QR）=（ P（QQ）R）（PP）QR）=（ PQR） （ PQR） （PQR） = M2 M4 M6二者的主合取范式不相同，因此，这两个公式不等价。