第9讲 一次函数的应用尖子班 1.docx

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第9讲一次函数的应用尖子班1

第9讲一次函数的应用

知识点1一次函数的解析式

用待定系数法求一次函数解析式的步骤如下：

①设一次函数解析y=kx+b（k≠0）；

②代入两个已知点的坐标，得到关于k、b的方程组；

③解方程组得到k、b的值；

④写出一次函数的解析式.

若一次函数为正比例函数，则b=0，只需代入一个点的坐标，求出系数k即可.

【典例】

1.已知一次函数y=kx+b经过点（1，1），（2，﹣4），则一次函数的解析式为__________.

2.下列表格列出了一项实验的统计数据，它表示皮球从一定高度落下时，下落高度y与弹跳高度x的关系，求y与x之间的函数解析式.

3.八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，求该直线l的解析式.

【方法总结】

典例1直接将两点坐标代入解析式，联立组成方程组，解方程组即可；典例2需要先设出解析式，再代入两点坐标；典例3中的l过原点，为正比例函数，先由图形的面积关系求出直线l上一点的坐标，再代入即可求出解析式.

待定系数法是求一次函数解析式的主要方法，解题关键是找到或求出直线上的两点（正比例函数为一个点）的坐标.

【随堂练习】

1．（2020•汇川区三模）在平面直角坐标系上有一动点P（x，y），已知点P到x轴、y轴的距离之和等于5，则点P所在的直线解析式为（　　）

A．y＝﹣x+5B．y＝±x+5C．y＝±x﹣5D．y＝±x±5

2．（2020春•桥东区校级月考）一次函数y＝kx+b的图象与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点．已知OA+OB＝6（O为坐标原点）．且S△ABO＝4，则这个一次函数的解析式为（　　）

A．

B．y＝﹣2x+4

C．

D．

或y＝﹣2x+4

3．（2019秋•柯桥区期末）若点A（2，﹣3）、B（4，3）、C（5，a）在同一条直线上，则a的值是（　　）

A．6或﹣6B．6C．﹣6D．6和3

4．（2020•浙江自主招生）对于一次函数y＝kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，则一次函数的解析式为　　．

知识点2一次函数的图形变换

图形变换的三种方式：

平移、对称、旋转.

一次函数平移的方法：

左加右减，上加下减.

一次函数图象的常见对称变换：

对于直线y=kx+b（k≠0，且k，b为常数），

①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：

﹣y=kx+b，即y=﹣kx﹣b（关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）；

②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：

y=k（﹣x）+b，即y=﹣kx+b（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）；

③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：

﹣y=k（﹣x）+b，即y=kx﹣b（关于原点对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）．

【典例】

1.将一次函数y=﹣2x﹣2的图象先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的表达式为________________.

2.在平面直角坐标系中，将直线y=5x+6先关于x轴作轴对称变换，再将所得直线关于y轴作轴对称变换，则经两次变换后所得直线的表达式是_______________.

3.把一次函数y=x+1的图象绕点（1，0）旋转180°，求所得直线的函数解析式.

【方法总结】

求平移和特殊对称后一次函数的解析式比较简单，按照法则将解析式做变换即可.求关于某点旋转后的一次函数的解析式，一般需要找到原来函数图像上的两点，求出这两点关于某点旋转后的坐标，再用待定系数法确定旋转后的一次函数的解析式.

【随堂练习】

1．（2020•浙江自主招生）若设函数y＝|x+1|+|x﹣a|的图象关于直线x＝1对称，则a的值为（　　）

A．3B．2C．1D．﹣1

2．（2020•南京）将一次函数y＝﹣2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°，所得到的图象对应的函数表达式是　　．

3．（2019秋•句容市期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣4的图象分別交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是　　．

知识点3简单的实际问题

常见的关于一次函数的实际问题的模型有：

①单个一次函数，包括简单的行程问题、销售问题、弹簧伸长问题等；

②分段函数，包括阶梯电价、阶梯水费等；

③两个一次函数，包括追及问题、相遇问题等.

【典例】

1.甲、乙两名大学生骑一辆电动车从学校出发到某乡镇进行社会调查，出发行驶20分钟时发现忘带相机，甲下车继续步行前往乡镇，乙骑电动车按出发时速度的2倍按原路返回，乙到学校用了5分钟取到相机，然后按出发时的速度在距乡镇22.5千米处追上甲后同车前往乡镇．如图是甲、乙距学校的距离为y（千米）与出发的时间为x（分）的函数关系式．

（1）求线段CD对应函数关系式；

（2）求甲步行的速度．

2.某城市电业局为鼓励居民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，居民应交电费y（元）与用电量x（度）的函数关系如图所示．

（1）分别求出当0≤x＜50和x≥50时，y与x的函数解析式；

（2）若某居民该月用电65度，则应交电费多少元？

【方法总结】

解题时运用一次函数的性质，把实际问题与函数图象结合进行分析，从函数图象中获取实际问题中的数据，把实际问题中的数据转化为函数图象中的点的坐标，并且运用一次函数图象描述实际问题．解题的关键在于读懂题意，并用待定系数法求函数的解析式．

【随堂练习】

1．（2020春•碑林区校级期末）乐乐的爸爸和妈妈上山游玩，爸爸步行，妈妈乘坐缆车，两人相约在山顶缆车的终点会合．已知爸爸步行到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的1.8倍，妈妈在爸爸出发后1小时才乘上缆车，缆车的平均速度为每分钟140米．设爸爸出发x分后行走的路程为y米，图中的折线表示爸爸在整个行走过程中y随x的变化而变化的关系．

（1）爸爸的行走总路程是　　米，他途中休息了　　分．

（2）分别求出爸爸在休息前和休息后上山的步行速度．

（3）当妈妈到达缆车终点时候，爸爸此时离缆车终点的路程是多少？

2．（2020春•竞秀区校级期末）甲骑摩托车从A地去B地．乙开汽车从B地去A地．同时出发，匀速行驶．各自到达终点后停止．甲、乙两人间的距离为S（km）与甲行驶的时间为t（h）之间的关系如图所示．

（1）以下是点M、点N、点P所代表的实际意义，请将M、N、P填入对应的括号里．

①甲到达终点　　．

②甲乙两人相遇　　．

③乙到达终点　　．

（2）AB两地之间的路程为　　千米；

（3）求甲、乙各自的速度；

（4）甲出发　

或

　h后甲、乙两人相距180千米；

3．（2020•雁塔区校级模拟）今年，由于新冠肺炎的爆发，市场对口罩的需求量急剧增大．某口罩生产商自二月份以来，一直积极恢复产能，每日口罩生产量y（百万个）与天数x（x为正整数）的函数关系图象如图所示．而该生产商对口供应市场对口罩的需求量不断上升，且每日需求量z（百万个）与天数x满足一次函数关系．已知第1天需求1500万个口罩，第6天需求2000万个口罩．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）当市场供应量不小于需求量时，市民买口罩才无需提前预约，那么二月份以来，市民无需预约即可购买口罩的天数共有多少天？

4．（2020•铜山区二模）已知A、B两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车之间的距离y（千米）与甲车的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．

（1）乙车的速度为　　千米/时；

（2）求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式；

（3）当甲车到达距B地90千米处时，求甲、乙两车之间的路程．

知识点4方案、决策问题

【典例】

1.某通讯公司推出了A，B两种上宽带网的收费方式（详情见下表）．

设月上网时间为xh（x为非负整数），请根据表中提供的信息回答下列问题：

（1）设方案A的收费金额为y1元，方案B的收费金额为y2元，分别写出y1，y2关于x的函数解析式；

（2）当35＜x＜50时，选取哪种方式能节省上网费？

请说明理由．

【方法总结】

第

（1）问根据两种方式的收费标准，进行分类讨论即可求解；第

（2）问当35＜x＜50时，计算出y1﹣y2的值，根据一次函数的性质即可得出答案．

此题考查了一次函数的应用，注意根据图表得出解题需要的信息，正确理解收费标准求出函数解析式是解题的关键．

【随堂练习】

1．（2020•荆州）为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下表（单位：

元/吨）．

目的地

生产厂

A

B

甲

20

25

乙

15

24

（1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？

（2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元．求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；

（3）当每吨运费均降低m元（0＜m≤15且m为整数）时，按

（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求m的最小值．

2．（2020春•南岸区期末）某社区的游泳馆按照顾客游泳的次数收取费用，每次的全票价为40元．在盛夏即将来临时，为吸引更多的顾客再次光顾，推出了以下两种收费方式．

方式一：

先交250元会员费，每次游泳按照全票价的7.5折收取费用；

方式二：

第一次收全票价，以后每次按照全票价的9.5折收取费用．

（1）按照方式一的总费用为y1，按照方式二的总费用为y2，请分别求出y1，y2与游泳次数x的函数关系式；

（2）小李把自己的学习和工作时间规划了一下，他在今年可能去该游泳馆的次数不超过40次，请为小李推荐采用哪种方式缴费合算？

3．（2020春•重庆期末）年初，武汉暴发新冠疫情，“一方有难，八方支援”，某地为助力武汉抗疫，紧急募集到一批物资运往武汉的A、B两县，用载重量为16吨的大货车8辆和载重量10吨的小货车10辆恰好一次性运完这批物资．运往A、B两县的运费标准如表：

运往地

车型

A县（元/辆）

B县（元/辆）

大货车

1080

1200

小货车

750

950

（1）如果安排到A、B两县的货车都是9辆，设前往A县的大货车为x辆，前往A、B两县的总运费为y元，求出y与x的函数关系式（写出自变量的取值范围）；

（2）在

（1）的条件下，若运往A县的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．

综合运用

1.下表是弹簧挂重后的总长度L（cm）与所挂物体重量x（kg）之间的几个对应值，则可以推测L与x之间的关系式是________________.

2.在平面直角坐标系中，将直线l1：

y=﹣2x+4平移后得到直线l2，l2与x轴交于点（4，0），则平移方式可以是_______________.

3.如图，在直角坐标系中，直线y=kx+4与x轴正半轴交于一点A，与y轴交于点B，已知△OAB的面积为10，求这条直线的解析式．

4.求下列一次函数的解析式：

（1）直线y=2x+1向右平移2个单位后的解析式；

（2）直线y=2x+1绕原点旋转180°后的直线解析式是_____________；

5.已知四条直线y=kx﹣3（k<0），y=﹣1，y=3和x=1所围成的四边形的面积是12，求k的值.

6.长春和吉林两地之间的铁路交通设有特快列车和普通快车两种车次，某天一辆普通快车从长春出发匀速驶向吉林，同时另一辆特快列车从吉林出发匀速驶向长春，两车与长春的距离s（千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系如图所示．

（1）长春到吉林的距离为_________千米，普通快车到达吉林所用时间为_________小时;

（2）求特快列车与长春的距离s与t之间的函数解析式;

（3）在长春、吉林两地之间有一座铁路桥，特快列车到铁路桥后又行驶0.5小时与普通快车相遇，求长春与铁路桥之间的距离．

7.如图，购买一种苹果，付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买5千克这种苹果比分五次每次购买1千克这种苹果可节省多少元？

8.为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植费用y（元）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元．

（1）直接写出当0≤x≤300和x＞300时，y与x的函数关系式；

（2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1200m2，若甲种花卉的种植面积不少于200m2，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？

最少总费用为多少元？

9.如图，四边形OABC是长方形，点D在OC边上，以AD为折痕，将△OAD向上翻折，点O恰好落在BC边上的点E处，若OC=

，A点坐标为（

，0），求线段AD所在直线的解析式．