倒立摆模型推导.docx
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倒立摆模型推导
倒立摆系统模型研究
控制系统的数学模型是描述系统内部物理量或变量之间关系的数学表达式。
在静态条件下（即变量各阶导数为零），描述变量之间关系的代数方程称为静态数学模型；而描述变量各阶导数之间关系的微分方程称为动态数学模型。
如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程求解，则可以得到系统输出量的表达式，并由此对系统进行性能分析。
因此，建立控制系统的数学模型是进行控制系统分析和设计的首要工作。
系统建模可以分为两种方式：
实验建模和机理建模。
实验建模是通过在研究对象上加入各种由研究者事先确定的输入信号，激励研究对象，并通过传感器检测其可观测的输出，应用系统辩识的手法分析输入-输出关系，建立适当的数学模型逼近实际系统。
机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统的运动方程。
对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难，故而选用机理建模的方法。
为了在数学上推导和分析的方便，可作出如下假设：
1）摆杆在运动中是不变形的刚体；
2）齿型带与轮之间无相对滑动，齿型带无拉长现象；
3）各种摩擦系数固定不变；
4）忽略空气阻力；
在忽略掉这些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。
本文采用分析力学Lagrange方程建立一、二级倒立摆的数学模型。
Lagrange方程有如下特点：
1）它是以广义坐标表达任意完整系统的运动方程式，方程的数目和系统的自由度数是一致的。
2）理想的约束反力不出现在方程组中，因此在建立系统的运动方程时，只需分析已知的主动力，而不必分析未知的约束反力。
3）Lagrange方程是以能量的观点建立起来的运动方程式，为了列出系统的运动方程式，只需从两个方面进行分析，一个是表征系统运动的动力学能量——系统的动能，另一个是表征主动力作用的动力学量——广义力。
因此，用Lagrange建模可以大大简化系统的建模过程。
采用拉格朗日的方法建立系统的数学模型。
Lagrange算子可以描述如下：
其中：
T：
系统的动能
V：
系统的势能
q：
系统的广义坐标
则系统的动力学方程可用Lagrange算子描述如下：
Lagrange方程可以简单的理解为系统的能量的变化随着系统外加作用力的变化而变化。
一.1一级倒立摆系统
一.1.1拉格朗日方法建立一级倒立摆系统的数学模型
可以将一级倒立摆系统抽象成小车和质量均匀的摆杆组成，小车以向左方向运动为正，摆杆角度以自然下垂位置为零点，逆时针为正，如图2.1所示。
图2.1一级倒立摆示意图
各参数的物理意义及取值如表2.1：
表2.1倒立摆物理参数符号意义及取值
符号
物理意义
取值及单位
M
小车质量
1.096kg
m
摆杆质量
0.109kg
c0
小车摩擦系数
0.1Nm-1sec-1
c1
摆杆摩擦系数
0.0022Nm-1sec-1
l
摆杆转动轴心到质心的长度
0.25m
J
摆杆惯量
0.0034kgm2
u
控制力
N
x
小车位移
m
小车速度
msec-1
摆杆角度
rad
摆杆角速度
radsec-1
首先计算小车的动能（
）、摆杆的动能（
）和系统的总动能（T）：
不妨假定导轨所在的水平面势能为零，在一级倒立摆的运动过程中，小车的势能始终为零，系统的总势能为：
小车与导轨之间的摩擦力和摆杆与小车之间的摩擦力，使得系统能量的损失分别为：
则系统总共损失的能量为：
取系统的广义坐标系为：
，则拉格朗日算子为：
则系统的拉格朗日方程可以表示为：
借助Mathemetica软件，由以上方程组可以得到一级倒立摆系统的动力学方程，具体的推导过程可以参看附录一。
一.1.2一级倒立摆系统在倒立点附近线性化处理
现行的许多一级倒立摆稳摆控制[39]需要将倒立摆在倒立点附近做近似线性化处理。
首先由式（2.9）可得：
在倒立点附近，摆杆角度接近为零，角速度也较小，可以认为：
将式（2.11）代入式（2.10），可得
令：
将2.12写成矩阵形式，可以得到一级倒立摆在倒立点附近线性化模型的状态空间方程，如下：
其中：
一.2二级倒立摆系统
一.2.1拉格朗日方法建立二级倒立摆系统的数学模型
将二级倒立摆系统抽象成小车和质量均匀的内、外摆杆组成，小车以向左方向运动为正，摆杆角度以自然下垂位置为零点，逆时针为正，如图2.2所示。
各参数的物理意义及取值如表2.2所示。
图2.2二级倒立摆示意图
表2.2倒立摆物理参数符号意义及取值
符号
物理意义
取值及单位
M
小车质量
1.32kg
m1
内杆质量
0.04kg
m2
外杆质量
0.132kg
m3
质量块质量
0.208kg
c0
小车摩擦系数
0.1N/m/sec
c1
内杆-小车摩擦系数
0N/m/sec
c2
内-外杆摩擦系数
0N/m/sec
l1
内杆转动轴心到质心的长度
0.09m
L1
内杆长度
0.18m
l2
外杆转动轴心到质心的长度
0.27m
J1
内杆惯量
0.000108kg*m2
J2
外杆惯量
0.0034kg*m2
u
控制力
N
x
小车位移
m
小车速度
m/sec
α
内杆角度
rad
内杆角速度
rad/sec
β
外杆角度
rad
外杆角速度
rad/sec
首先计算小车的动能（
）和内、外摆杆的动能（
、
）以及质量块的动能
则总动能为：
不妨假定导轨所在的水平面势能为零，在二级倒立摆的运动过程中，小车的势能始终为零，可以计算内外杆、质量块势能分别为：
则总势能为：
小车-导轨、内杆-小车、外杆-内杆之间的摩擦力，使得系统能量的损失分别为：
故系统总共损失的能量为：
取系统的广义坐标系为：
，则则拉格朗日算子为：
系统的拉格朗日方程可以表示为：
借助mathemetica软件，由以上方程组可以得到二级倒立摆系统的动力学方程，具体的推导过程可以参看附录二。
其中：
一.2.2二级倒立摆系统在倒立点附近线性化处理
实现二级倒立摆稳摆控制的LQR[40]方法，需要对系统模型做线性化处理，在倒立点附近近似为线性时不变系统。
在本文所规定的符号与方向的情况下，线性化结果如下：
在倒立点附近存在：
将式（2.23）代入式（2.22），二级倒立摆系统动力学方程可以近似为：
其中：
可以发现式（2.24）是二级倒立摆在倒立点附近线性化处理后的系统方程，若令：
则可以得到二级倒立摆在倒立点附近线性化模型的状态空间方程：
一.3倒立摆微分方程数值解法
对倒立摆系统的仿真分析，实质上是对系统数学模型求数值解的过程。
对于这样的常微分方程数值解法按照求解步数可以分为单步法和多步法，单步法的代表是Runge-Kutta法，多步法的代表是Adms法；按照求解步长可以分为固定步和变步长的求解方式；按照求解精度可以将求解方法归为2阶、3阶、4阶等。
下面不加推导的给出4阶经典Runge-Kutta法的计算格式和Adms可变步长的4阶预测校正法的计算流程。
已知微分方程初值条件，若x在区间[a，b]取（N+1）个等距节点，求对应的y的近似值。
对于这样一个常微分方程的数值解问题，取步长h=（b-a）/N，4阶经典Runge-Kutta法求解格式如下[41]：
Adams变步长的4阶预测校正算法的思路是：
先用给定的初始步长，采用4阶Runge-Kutta法求出最初的三个节点，接着依据采用Adams-Bashforth4步显式方法（式3.10）预测下一个节点的值，用Adams-Bashforth3步隐式方法（式3.11）校正下一个节点的值。
采用两种不同的方式计算的同一个节点的值，两个计算结果之差若在合理的范围内，则认为计算精度满足要求，无需改变步长；若过大则认为计算精度不够，需减小步长以提高计算的准确性；若过小则认为计算精度超标，需增大步长以提高计算效率。
若步长合适则保存结果，并采取当前步长继续预测、校正下一个节点。
否则，改变步长重新采用Runge-Kutta法计算前面三个节点，然后对新步长做评价，不断的重复这一过程直到找到合适的步长为止。
在计算快要结束时应当注意选取合适的步长以包含最后一个节点。
Adams-Bashforth4步显式方法：
Adams-Bashforth3步隐式方法：
通常高阶方法可能拥有更好的计算精度[41]，比如二、三、四阶方法对应的局部截断误差是分别是O（h2）、O（h3）、O（h4）。
但并不是说高阶的方法拥有更好的效果。
这是由于插值多项式并不是次数越高逼近精度越好。
另外，高阶的方法将花费更多的求解次数[42]，如表2.3。
因此，常微分方程的数值解通常采用小于5阶的求解方法。
表2.3求解次数与截断误差
每步求解次数
2
3
4
5≤n≤7
8≤n≤9
10≤n
最佳可能的截断误差
O（h2）
O（h3）
O（h4）
O（hn-1）
O（hn-2）
O（hn-3）
在MATLAB当中能方便的实现微分方程的数值解，常用的求解器及说明如表2.4：
表2.4解常微分方程初值问题MATLAB的求解器
求解器
含义
ode23
2、3阶Runge-Kutta法
ode45
4、5阶Runge-Kutta法
ode113
多步Adams法
ode23t
适度刚性问题梯形法
ode15s
刚性微分方程组多步法
ode23s
刚性微分方程组2阶Rosenbrock法
ode23tb
刚性微分方程组低精度算法
odeset
ode命令选项设置
对常微分方程初值问题，MATLAB的求解指令具有相同的格式，以最常用的ODE45为例说明如下：
常用格式[t，y]=ode45（odefun，tspan，y0）
完整格式[t，y]=ode45（odefun，tspan，y0，options，p1，p2，…）
详细的参数说明如表2.5：
表2.5ODE求解指令参数说明
参数
含义
odefun
f（t，y）的函数句柄或内嵌函数
tspan
自变量的初值和终值
y0
初值向量
t
标量，返回节点列向量
y
标量或向量，返回数值解矩阵
options
设置的计算参数，默认可用空矩阵表示
p1，p2，…
为附加传递参数，这时odefun必须表示为f（t，y，p1，p2，…）
可以在MATLAB当中可以编写m文件求解一、二级倒立摆系统的微分方程组。
求解器选取ODE45的详细程序清单见附录三。
一.4本章小结
本章介绍了建立一、二级倒立摆系统的数学模型的拉格朗日方法，借助mathemetica软件得到相应的微分方程组，并在倒立点附近做了近似线性化处理。
在倒立摆的仿真过程当中，摆起过程采用微分方程组构建建立倒立摆的准确模型，稳摆过程可允许采用线性化处理后的模型。
并简单介绍了几种微分方程数值解法的思想和在MATLAB中的数值求解命令。
采用MATLAB（求解器为ODE45）分别编写了一、二级倒立摆微分方程的求解程序。
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