学年高中数学人教A版选修41创新应用教学案第一讲一平行线等分线段定理含答案.docx
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学年高中数学人教A版选修41创新应用教学案第一讲一平行线等分线段定理含答案
一
平行线等分线段定理
[对应学生用书P1]
1．平行线等分线段定理
（1）如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．
（2）用符号语言表述：
已知a∥b∥c，直线m、n分别与a、b、c交于点A、B、C和A′、B′、C′（如图），如果AB＝BC，那么A′B′＝B′C′.
[说明]
（1）定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的一组特殊的平行线；它是由三条或三条以上的平行线组成的．
（2）“相等线段”是指在“同一条直线”上截得的线段相等．
2．平行线等分线段定理的推论
文字语言
图形语言
符号语言
推
论
1
经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边
在△ABC中，若AB′＝B′B，B′C′平行于BC交AC于点C′，则AC′＝C′C
推
论
2
经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰
在梯形ABCD中，AD∥BC，若AE＝EB，EF平行于BC交DC于F点，则DF＝FC
[对应学生用书P1]
平行线等分线段定理
[例1] 已知如图，直线l1∥l2∥l3∥l4，l，l′分别交l1，l2，l3，l4于A，B，C，D，A1，B1，C1，D1，AB＝BC＝CD.
求证：
A1B1＝B1C1＝C1D1.
[思路点拨] 直接利用平行线等分线段定理即可．
[证明] ∵直线l1∥l2∥l3，且AB＝BC，
∴A1B1＝B1C1.
∵直线l2∥l3∥l4且BC＝CD，
∴B1C1＝C1D1，
∴A1B1＝B1C1＝C1D1.
平行线等分线段定理的应用非常广泛，在运用的过程中要注意其所截线段的确定与对应，分析存在相等关系的线段，并会运用相等线段来进行相关的计算与证明．
1．已知：
如图，l1∥l2∥l3，那么下列结论中错误的是（ ）
A．由AB＝BC可得FG＝GH
B．由AB＝BC可得OB＝OG
C．由CE＝2CD可得CA＝2BC
D．由GH＝
FH可得CD＝DE
解析：
OB、OG不是一条直线被平行线组截得的线段．
答案：
B
2．如图，已知线段AB，求作线段AB的五等分点．
作法：
如图，
（1）作射线AC；
（2）在射线AC上依任意长顺次截取AD＝DE＝EF＝FG＝GH；
（3）连接HB；
（4）过点G，F，E，D分别作HB的平行线GA1，FA2，EA3，DA4，分别交AB于点A1，A2，A3，A4.
则A1，A2，A3，A4就是所求的五等分点．
证明：
过点A作MN∥HB，
则MN∥DA4∥EA3∥FA2∥GA1∥HB.
又AD＝DE＝EF＝FG＝GH，
∴AA4＝A4A3＝A3A2＝A2A1＝A1B（平行线等分线段定理）．
平行线等分线段定理推论1的运用
[例2] 如图，在△ABC中，AD，BF为中线，AD，BF交于G，CE∥FB交AD的延长线于E.
求证：
AG＝2DE.
[思路点拨]
→
→
→
[证明] 在△AEC中，
∵AF＝FC，GF∥EC，
∴AG＝GE.
∵CE∥FB，
∴∠GBD＝∠ECD，∠BGD＝∠E.
又BD＝DC，
∴△BDG≌△CDE.
故DG＝DE，即GE＝2DE，
因此AG＝2DE.
此类问题往往涉及平行线等分线段定理的推论1的运用，寻找便于证明三角形中线段相等或平行的条件，再结合三角形全等或相似的知识，达到求解的结果．
3.如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，OE平行于AB交BC于E，AD＝6，求BE的长．
解：
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以OA＝OC，BC＝AD.
又因为AB∥DC，OE∥AB，
所以DC∥OE∥AB.
又因为AD＝6，
所以BE＝EC＝
BC＝
AD＝3.
4．已知：
AD是BC边上的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F.
求证：
AF＝
AC.
证明：
如图，过D作DG∥BF交AC于G.
在△BCF中，D是BC的中点，
DG∥BF，
∴G为CF的中点．即CG＝GF.
在△ADG中，E是AD的中点，EF∥DG，
∴F是AG的中点．即AF＝FG.
∴AF＝
AC.
平行线等分线段定理推论2的运用
[例3] 已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，M是CD的中点，求证：
AM＝BM.
[思路点拨] 解答本题应先通过作辅助线构造推论2的应用条件．
[证明] 过点M作ME∥BC交AB于点E，
∵AD∥BC，
∴AD∥EM∥BC.
又∵M是CD的中点，
∴E是AB的中点．
∵∠ABC＝90°，
∴ME垂直平分AB.
∴AM＝BM.
有梯形且存在线段中点时，常过该点作平行线，构造平行线等分线段定理的推论2的基本图形，进而进行几何证明或计算．
5．若将本例中“M是CD的中点”与“AM＝BM”互换，那么结论是否成立？
若成立，请给予证明．
解：
结论成立．证明如下：
过点M作ME⊥AB于点E，
∵AD∥BC，∠ABC＝90°，
∴AD⊥AB，BC⊥AB.
∵ME⊥AB，∴ME∥BC∥AD.
∵AM＝BM，且ME⊥AB，
∴E为AB的中点，∴M为CD的中点．
6．已知：
如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点A，B，C，D，O分别作直线a的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，D′，O′；
求证：
A′D′＝B′C′.
证明：
∵▱ABCD的对角线AC，BD交于O点，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵AA′⊥a，OO′⊥a，CC′⊥a，
∴AA′∥OO′∥CC′.∴O′A′＝O′C′.
同理：
O′D′＝O′B′.∴A′D′＝B′C′.
[对应学生用书P3]
一、选择题
1．梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别是AD，BC的中点，且EF＝2cm，则AB＋CD等于（ ）
A．1cm B．2cm
C．3cmD．4cm
解析：
由梯形中位线定理知EF＝
（AB＋CD），
∴AB＋CD＝4cm.
答案：
D
2．如图，AD是△ABC的高，E为AB的中点，EF⊥BC于F，如果DC＝
BD，那么FC是BF的（ ）
A.
倍B.
倍
C.
倍D.
倍
解析：
∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD.
又E为AB的中点，由推论1知F为BD的中点，
即BF＝FD.
又DC＝
BD，∴DC＝
BF.
∴FC＝FD＋DC＝BF＋DC＝
BF.
答案：
A
3．梯形的中位线长为15cm，一条对角线把中位线分成3∶2两段，那么梯形的两底长分别为（ ）
A．12cm 18cmB．20cm 10cm
C．14cm 16cmD．6cm 9cm
解析：
如图，设MP∶PN＝2∶3，则MP＝6cm，PN＝9cm.
∵MN为梯形ABCD的中位线，在△BAD中，MP为其中位线，
∴AD＝2MP＝12cm.
同理可得BC＝2PN＝18cm.
答案：
A
4．梯形的一腰长10cm，该腰和底边所形成的角为30°，中位线长为12cm，则此梯形的面积为（ ）
A．30cm2B．40cm2
C．50cm2D．60cm2
解析：
如图，过A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，AE＝ABsin30°＝5cm.又已知梯形的中位线长为12cm，
∴AD＋BC＝2×12＝24（cm）．
∴梯形的面积S＝
（AD＋BC）·AE
＝
×5×24＝60（cm2）．
答案：
D
二、填空题
5．如图所示，已知a∥b∥c，直线m、n分别与a、b、c交于点A、B、C和A′、B′、C′，如果AB＝BC＝1，A′B′＝
，则B′C′＝________.
解析：
直接利用平行线等分线段定理．
答案：
6.如图，在△ABC中，E是AB的中点，EF∥BD，EG∥AC交BD于G，CD＝
AD，若EG＝2cm，则AC＝______；若BD＝10cm，则EF＝________.
解析：
由E是AB的中点，EF∥BD，
得EG＝
AD＝FD＝2cm，
结合CD＝
AD，
可以得到F、D是AC的三等分点，
则AC＝3EG＝6（cm）．
由EF∥BD，得EF＝
BD＝5（cm）．
答案：
6cm 5cm
7．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB的中点，EF∥BC，G是BC边上任一点，如果S△GEF＝2
cm2，那么梯形ABCD的面积是________cm2.
解析：
因为E为AB的中点，EF∥BC，
所以EF为梯形ABCD的中位线，
所以EF＝
（AD＋BC），
且△EGF的高是梯形ABCD高的一半，
所以S梯形ABCD＝4S△EGF＝4×2
＝8
（cm2）．
答案：
8
三、解答题
8．已知△ABC中，D是AB的中点，E是BC的三等分点（BE>CE），AE、CD交于点F.
求证：
F是CD的中点．
证明：
如图，过D作DG∥AE交BC于G，
在△ABE中，∵AD＝BD，DG∥AE，
∴BG＝GE.
∵E是BC的三等分点，
∴BG＝GE＝EC.
在△CDG中，∵GE＝CE，DG∥EF，
∴DF＝CF.
即F是CD的中点．
9．如图，先把矩形纸片ABCD对折后展开，并设折痕为MN；再把点B叠在折痕线上，得到Rt△AB1E.沿着EB1线折叠，得到△EAF.求证：
△EAF是等边三角形．
证明：
因为AD∥MN∥BC，AM＝BM，
所以B1E＝B1F.
又因为∠AB1E＝∠B＝90°，
所以AE＝AF，所以∠B1AE＝∠B1AF.
根据折叠，得∠BAE＝∠B1AE，
所以∠BAE＝∠B1AE＝∠B1AF＝30°，
所以∠EAF＝60°，所以△EAF是等边三角形．
10.已知：
梯形ABCD中，AD∥BC，四边形ABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F.
求证：
EF＝FC.
证明：
法一：
如图，连接BE交AF于O，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BO＝OE.
又∵AF∥BC，
∴EF＝FC.
法二：
如图，延长ED交BC于点H，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB∥ED，AB∥DH，
AB＝ED.
又∵AF∥BC，
∴四边形ABHD是平行四边形．
∴AB＝DH.
∴ED＝DH.
∴EF＝FC.
法三：
如图，延长EA交CB的延长线于M，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD∥EA，AE＝BD.
又AD∥BC.
∴四边形AMBD是平行四边形．
∴AM＝BD.
∴AM＝AE.
∴EF＝FC.
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