高三数学1122圆锥曲线专题复习.docx

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高三数学1122圆锥曲线专题复习

第二章专题讲解：

（一）知识专题讲解

专题一、利用圆锥曲线的定义求解：

专题详解:

利用圆锥曲线的定义可以解决一大类的题目，所用的公式主要有：

（1）椭圆：

PA

PB

2a（2a

2c）；

（2）双曲线:

PA

PB

2a（2a

2c）；

（3）抛物线

d

PF

（d为点P到抛物

线的准线的距离）。

2

2

【例"椭圆25专1上一点M到

PFJ[PF?

PF1

F1F2

由①得

（PF1

PF2）236，

PF1

PF2

PF1PF2

36

PF1PF2

32

焦点Fl的距离是2，N时MF1的中点。

求ON的长（0是坐标原点）。

图2-3-19

在直角

形PF1F2

PF1gPF2

F1F1gy

32，所以y

解:

程知，a

由椭圆方

5,b

3，

因

为

MF1

mf2

10

（F2为另一个焦点

坐标）

，又因为

MF1

2，所以

mf2

8

入双曲线的方程得：

x

王勺，即点p的

5

坐标是（亠勺，兰），再根据双曲线的对称

55

性得点p的坐标还可以是（王勺，！

6）

ON是三角形MF1F2的中位线，所以

1

ON一MF24

22

即ON的长是4。

点拨：

本题用到椭圆的定义和三角形的中位线的性质，解答本题的关键是求出点M到另一个焦点的距离。

22

【例2】双曲线—11的两个焦点

916

为F1,F2，点P在双曲线上，若PF1PF2，

求点P的坐标。

解：

由双曲线的方程知：

a3,b4,c5，不妨设点P在第一象限，

点拨：

本题除了应用双曲线的定义解

题，用到的数学思想方法还有

（1）整体思

PF1PF232这一个整体未知数的值;

（2）利用三角形的面积公式解题。

【例3】点P是抛物线y28x上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是（2,3），求PMPF的最小值，并求

出此时点P的坐标。

解：

抛物线y8x的准线方程是

x2，那么点P到焦点F的距离等于到准线x2的距离，作PD准线x2,垂足为D,

那么

PMPFPMPDMPPD，

所以当点M,P,D三点共线时，PMPF的值最小，即用点M的横坐标减去准线方程的数值得：

2

（2）4，所以PMPF

的最小值是4。

此时点P的纵坐标为3,所

9

以横坐标是98x，x，即点P的坐标

8

是（9,3）。

8

点拨：

若设点P的坐标，列出两个距离

的和，则是一个含有两个根号的式子，再变

形求解则很困难。

本题的解法就是用抛物线的定义将PF转化为点P到准线的距离，进

AFAiAAiF，又因为AA//x轴，所以

AFKAAiF，AFAiAiFK，同

理可证BFBiBiFK，

所以AFBAFABFBi—

2

2•椭圆的焦点坐标是F（—2，0）

和F2（2，0），过Fi作PQx轴，交椭

圆于P，Q两点，且PQF2是等边三角形，求此椭圆的标准方程。

22

解:

冬乂i

28

点拨：

本题根据椭圆的定义和等边三角

形的性质解答。

由椭圆的定义得：

PFiPF22a，又因为PQF2是等边三

而再转化为点M到准线上的任意一点的距离的最小值，即点到直线的距离。

专题1强化练习题：

.如图2-3-19，过抛物线的焦点F的若A，B在抛

Ai，B，则

角形，所以FiF2

23pQ

、.3PFi，即

1

直线与抛物线交于两点A，B,物线的准线I上的射影分别是

.3PFi2c

4,PFi

43

AFB!

等于（

PF22PFi

8.3

3

D.-

4

解：

E

点拨：

利用抛物线的定义和平面几何的知识解题。

设准线I与x轴的交点为K，

图2-3-19

所以2a

4.3，

所以b2

那么,

AFAAi,所以

PFi

的标准方程是

PF2

43

3

2.3，

i2

i2

2

y_

8

3.已知双曲线的方程是

所求的椭圆

22

76Ii，

点P在双曲线上，且到其中一个焦点Fi的

【例1】设直线y2xb与抛物线

距离为10,点N是PFi的中点，求ON的大小（O为坐标原点）。

解：

ON是三角形PF1F2的中位线，所

1

以QN|2IPF2I，

因为PF1PF28，PF110

y24x交于A,B两点，已知弦长AB

35，点C为抛物线上一点，三角形的面积为30，求点C的坐标。

解:

设A（X1,yJ,B（X2,y2）,C（Xo,y°），

1

所以PF22或18，ON-IPF21或9

2

点拨：

焦点F1的位置不确定，所以有两解：

点P与焦点F1在同一支上和不同支上。

拓展：

（1）若将PF110的条件改为

PF18呢，其它条件不变，此时就只有一

解了。

（2）还可以求出点P的坐标，并得出点P的个数。

专题2•直线与圆锥曲线的位置关系：

详解：

选修1-1只对直线与抛物线的位置关系作要求，因此重点掌握直线与抛物线的位置关系。

以y22px（p0）为例。

2

（1）过抛物线y2px（p0）的焦点

（卫,0）的直线，设直线与抛物线交于A，2

B两点。

那么：

当斜率不存在时，直线方程是x卫，

2

与抛物线的交点AB，贝yAB2p；

当斜率存在时，设为k，则直线方程是

yk（x£），设A（X1,yj，B（X2,y2），那么AB山k2|xx2

'1k2'（为X2）24x1X2，由抛物线的

定义得：

AB（x1x2）p。

解方程组y22Xb得:

y24x

4x24（b1）xb20

所以X-Ix2

1b,x-ix2

—因为

AB75JCXX2）24x1x2

、5“1b）2b2、5一12b35

所以b4，

1

又因为SvABC—3.5h30

2

所以h<5，

h为点C到直线y2xb的距离，所以

12x0y。

b

5

2

2y。

y。

2

y02y0840，y08或6

45

y8时，X016;y6时，X09

所以点C的坐标是（16,8）或（9,6）。

点拨：

交点坐标转化为方程组的解，其中用到了根与系数的关系来表示两点间的距离公式；注意在解析几何中的三角形面积的计算方法，高可以找到点的坐标表示，也可以用点到直线的距离公式求出；底边通常

是在坐标轴上找到一条边，或用弦长的公式

求出来一一两点间的距离公式。

27

【例2】点A为抛物线y2x上一

2

2.（2020，天津，14分）抛物线C的方

2

程为yax（a0）,过抛物线C上一点

P（X0,y°）（x00）作斜率为k1,k2的两条直

线分别交抛物线C于两点

A（X1,yJ,B（X2,y2）（三点P,A,B互不相

同），且满足k2k10（0且1）

（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方

程；

（2）设直线AB上一点M,满足

uuuuuuur

BMMA证明线段PM的中点在y轴上；

（3）当1时，若点P的坐标为（1,—1）,求PAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围。

1•解:

（1）设pgydQgy2）,

AF

14-,求过点F且与

8

OA垂直的直线I的方程。

点，F为焦点,

解：

设点A的坐标是（x,y）,2p

所以

F（

Xi

-,0）,又因为AF

8

147,X114,y17,

8

所以

所以

所以

所以

A（

Kda

14,7）或（14,7）,

11

2或koA，因为1oa,

直线I的方程是y2（x-）,

8

即所求直线I的方程是：

8x4y70或8x4y70。

M（x°,y°），且捲0,y1

0,y20,设切

点拨：

本题的方法主要是用抛物线的定义将弦长转化为点到准线的距离。

专题2强化练习题：

1.（2020，福建，14分）如图2-3-20,

12

P是抛物线C:

yx上一点，直线l过点

2

P且与抛物线C交于另一点Q.

（1）若直线I与过点P的P抛物线的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；

（2）若直线I不过原点且与

线的斜率为k，贝Uy

所以x22kx2kx1

个相等的实根,

2

所以（2k）

y1

2

X1

4（2kx1

x轴交于点S,

22

k2kx-ix1

k（xxj，即

0,此方程有两

2、c

X1）0，即

与y轴交于T,试求3

|sP

同的取值范

SQ

x1（x10），所以

围。

直线I的斜率

为y^xj

2

kI

-，直线I的方程

X1

xj,

方法一、与抛物线方程联立，消去y得:

x2—xx1220，因为M为PQ的中

X!

X

X1

X2

1

2

X],

点，所以

，消去X1

12

1“

y。

X1

（X0

X1）

2

X1

得:

yX02

1

2

1（X0

0），

2X0

所以PQ的中点M的轨迹方程是:

22

所以yy22（kb）,y°2b

方法

ST

SQ

21

yx221（x0）。

2x2

方法二、由％

1xi2，y21x22，

ST

SP

的取值范围是

（2,

方法

X0Xl2X2，所以

yy2|x2\22如x2）（xx2）

y2

%

2

k

2（

y2

%

x°（XiX2），则x迫―y2ki

x-iX2

1

X1

2b

k.

2（

Tqss

2

kb

2

1

所以X，将上式代入直线l方程得:

X。

y。

X02二1（X00）

2X0

当b0时，層團叮

又因为方程（3）有两个相异实根，所

以4（k2b）24b2

所以PQ的中点M的轨迹方程是:

22

4k（k2b）0,

0）。

所以4k22b0,即k22b

（2）设直线l的方程是ykxb，则

k0,b0,则T（0,b）。

分别作PAx

STST2（k2b）

SPSQb

2（2bb）

b

ST

|st|

OT

OT

|b|b|

SP

|sq|

AP

BQ

y1Ml

轴，QBy轴，垂足分别是A，B,则:

2k

当b0时，可取一切正数。

b

综上可知，

STST的取值范围是

12

y—x

解方程组y2得：

ykxb

y22（k2b）yb20（3）

（2,）。

方法三、由P，QT三点共线得：

kTQkTP

即生空

X2

yib

Xi

组：

yy02

yax

k2（x

Xo）

4的解

⑤

所以x（y2bx1x2y1bx2