高三数学1122圆锥曲线专题复习.docx

1、高三数学1122圆锥曲线专题复习第二章专题讲解：（一）知识专题讲解专题一、利用圆锥曲线的定义求解： 专题详解:利用圆锥曲线的定义可以解 决一大类的题目，所用的公式主要有：（1）椭圆：PAPB2a( 2a2c )；（2 ）双曲线:PAPB2a( 2a2c )；（3）抛物线dPF（d为点P到抛物线的准线的距离）。22【例椭圆25专1上一点M到PFJ PF?PF1F1F2由得(PF1PF2)2 36，PF1PF2PF1 PF236PF1 PF232焦点Fl的距离是2，N时MF1的中点。 求ON的长（0是坐标原点）。图2-3-19在直角形 PF1F2PF1 gPF2F1F1 gy32，所以y解:程知，

2、a由椭圆方5,b3，因为MF1mf210（F2为另一个焦点坐标），又因为MF12，所以mf28入双曲线的方程得：x王勺，即点p的5坐标是（亠勺，兰），再根据双曲线的对称5 5性得点p的坐标还可以是（王勺，！6）ON是三角形MF1F2的中位线，所以1ON 一 MF2 42 2即ON的长是4。点拨：本题用到椭圆的定义和三角形的 中位线的性质，解答本题的关键是求出点 M 到另一个焦点的距离。2 2【例2】双曲线 1 1的两个焦点9 16为F1,F2，点P在双曲线上，若PF1 PF2，求点P的坐标。解：由双曲线的方程知：a 3,b 4,c 5，不妨设点P在第一象限，点拨：本题除了应用双曲线的定义解题，

3、用到的数学思想方法还有（ 1）整体思PF1 PF2 32这一个 整体未知数的 值;（2 ）利用三角形的面积公式解题。【例3】点P是抛物线y2 8x上的任 意一点，F是抛物线的焦点，点 M的坐标 是（2, 3），求PM PF的最小值，并求出此时点P的坐标。解：抛物线y 8x的准线方程是x 2，那么点P到焦点F的距离等于到准 线x 2的距离，作PD 准线x 2 , 垂足为D,那么PM PF PM PD MP PD，所以当点M, P, D三点共线时，PM PF 的值最小，即用点M的横坐标减去准线方程 的数值得：2 （ 2） 4，所以PM PF的最小值是4。此时点P的纵坐标为3,所9以横坐标是9 8x

4、，x ，即点P的坐标8是（9,3）。8点拨：若设点P的坐标，列出两个距离的和，则是一个含有两个根号的式子，再变形求解则很困难。本题的解法就是用抛物线 的定义将 PF转化为点P到准线的距离，进AFAi AAiF，又因为AA/ x轴，所以AFK AAiF， AFAi AiFK，同理可证 BFBi BiFK，所以 AFB AFA BFBi 22 椭圆的焦点坐标是 F （2，0）和F2 （2，0），过Fi作PQ x轴，交椭圆于P，Q两点，且 PQF2是等边三角形， 求此椭圆的标准方程。2 2解:冬 乂 i2 8点拨：本题根据椭圆的定义和等边三角形的性质解答。由椭圆的定义得：PFi PF2 2a，又因为

5、PQF2是等边三而再转化为点M到准线上的任意一点的距离 的最小值，即点到直线的距离。专题1强化练习题： .如图2-3-19，过抛物线的焦点 F的 若A，B在抛Ai，B，则角形，所以FiF223pQ、.3 PFi，即1直线与抛物线交于两点 A，B, 物线的准线I上的射影分别是.3 PFi 2c4, PFi43AFB!等于（PF2 2 PFi8.33D.-4解：E点拨：利用抛 物线的定义和平 面几何的知识解 题。设准线I与x轴 的交点为K，图 2-3-19所以2a4.3，所以b2那么,AF AAi ,所以PFi的标准方程是PF24332.3，i2i22y_83.已知双曲线的方程是所求的椭圆2 27

6、6 I i，点P在双曲线上，且到其中一个焦点 Fi的【例1】设直线 y 2x b与抛物线距离为10,点N是PFi的中点，求ON的 大小(O为坐标原点)。解：ON是三角形PF1F2的中位线，所1以 QN| 2IPF2I，因为 PF1 PF2 8， PF1 10y2 4x交于A, B两点，已知弦长 AB3 5，点C为抛物线上一点，三角形的面 积为30，求点C的坐标。解:设 A(X1,yJ, B(X2,y2),C(Xo,y)，1所以 PF2 2或 18，ON -IPF2 1 或92点拨：焦点 F1的位置不确定，所以有 两解：点 P与焦点F1在同一支上和不同支 上。拓展：(1)若将PF1 10的条件改

7、为PF1 8呢，其它条件不变，此时就只有一解了。(2)还可以求出点 P的坐标，并得出 点P的个数。专题2 直线与圆锥曲线的位置关系：详解：选修1-1只对直线与抛物线的位 置关系作要求，因此重点掌握直线与抛物线 的位置关系。以y2 2 px( p 0)为例。2(1)过抛物线y 2px(p 0)的焦点(卫,0 )的直线，设直线与抛物线交于 A， 2B两点。那么：当斜率不存在时，直线方程是 x卫，2与抛物线的交点 AB，贝y AB 2p ；当斜率存在时，设为 k，则直线方程是y k(x )，设 A(X1, yj， B(X2, y2)， 那么AB 山k2|x x2 1 k2 (为X2)2 4x1X2，

8、由抛物线的定义得：AB (x1 x2) p。解方程组y2 2X b 得:y2 4x4x2 4(b 1)x b2 0所以X-I x21 b, x-i x2因为AB 75JCXX2)24x1x2、5“1 b)2 b2 、5一1 2b 3 5所以b 4，1又因为 Sv ABC 3.5h 302所以h 5，h为点C到直线y 2x b的距离，所以12x0 y。b522 y。y。2y0 2y0 8 40， y0 8 或 645y 8 时，X0 16 ; y 6 时，X0 9所以点C的坐标是(16,8)或(9, 6)。点拨：交点坐标转化为方程组的解，其 中用到了根与系数的关系来表示两点间的 距离公式；注意在

9、解析几何中的三角形面积 的计算方法，高可以找到点的坐标表示，也 可以用点到直线的距离公式求出； 底边通常是在坐标轴上找到一条边，或用弦长的公式求出来一一两点间的距离公式。2 7【例2】点A为抛物线y2 x上一22. ( 2020，天津，14分)抛物线C的方2程为y ax (a 0),过抛物线 C上一点P(X0,y)(x0 0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线 C 于两点A(X1,yJ, B(X2,y2)(三点 P, A, B互不相同)，且满足k2 k1 0 ( 0且 1)(1)求抛物线 C的焦点坐标和准线方程；(2 )设直线AB上一点M,满足uuuu uuurBM MA证明线段PM的中

10、点在y轴上；(3)当 1时，若点P的坐标为(1, 1), 求 PAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取 值范围。1 解:(1 )设 pg ydQg y2),AF14-,求过点F且与8OA垂直的直线I的方程。点，F为焦点,解：设点A的坐标是(x, y), 2 p所以F(Xi-,0),又因为AF8147 , X1 14 , y1 7 ,8所以所以所以所以A(Kda14,7)或(14, 7),1 12 或 koA ，因为 1 oa ,直线I的方程是y 2(x -),8即所求直线I的方程是：8x 4y 7 0 或 8x 4y 7 0。M(x, y)，且捲 0, y10, y2 0 ,设切点拨：本题的方法主

11、要是用抛物线的定 义将弦长转化为点到准线的距离。专题2强化练习题：1 . (2020，福建，14分)如图 2-3-20 ,1 2P是抛物线C: y x上一点，直线l过点2P且与抛物线C交于另一点Q.(1)若直线I与过点P的P抛物线的切线垂 直，求线段PQ中点M的轨迹方程；(2)若直线I不过原点且与线的斜率为k，贝U y所以 x2 2kx 2kx1个相等的实根,2所以 (2 k)y12X14(2 kx1x轴交于点 S,2 2k 2kx-i x1k(x xj，即0,此方程有两2、 cX1 ) 0，即与 y轴交于T,试求3|sP同的取值范SQx1(x1 0)，所以围。直线I的斜率为 y xj2kI-

12、，直线I的方程X1xj ,方法一、与抛物线方程联立，消去y得:x2 x x12 2 0，因为M为PQ的中X!XX1X212X ,点，所以，消去X11 21 “y。X1(X0X1)2X1得: y X02121(X00)，2X0所以PQ的中点M的轨迹方程是:2 2所以 y y2 2( k b), y2 b方法STSQ2 1y x2 2 1(x 0)。2x2方法二、由 1xi2，y2 1x22，STSP的取值范围是(2,方法X0 Xl 2 X2，所以y y2 |x2 22 如 x2)(x x2)y2%2k2(y2%x(Xi X2)，则 x 迫y2 kix-i X21X12 bk.2(T q s s2

13、kb21所以X ，将上式代入直线l方程得:X。y。X02 二 1(X0 0)2X0当b 0时，層團叮又因为方程(3 )有两个相异实根，所以 4(k2 b)2 4b2所以PQ的中点M的轨迹方程是:2 24k (k 2b) 0,0)。所以 4k2 2b 0 ,即 k2 2b(2)设直线l的方程是y kx b，则k 0,b 0,则 T(0, b)。分别作 PA xST ST 2(k2 b)SP SQ b2( 2b b)bST|st|OTOT|b |b|SP|sq|APBQy1 Ml轴，QB y轴，垂足分别是A，B,则:2k当b 0时， 可取一切正数。b综上可知，ST ST的取值范围是1 2y x解方程组 y 2 得：y kx by2 2(k2 b) y b2 0 (3)(2,)。方法三、由P，Q T三点共线得：kTQ kTP即生空X2yi bXi组：y y02y axk2(xXo)4的解所以 x( y2 bx1 x2y1 bx2