初二奥数辅导分式方程的解法.docx
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初二奥数辅导分式方程的解法
奥数辅导分式方程（组）的解法
分母中含有未知数的方程叫分式方程.解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形•变形时可能会扩大（或缩小）未知数的取值范围，故必须验根.
例1解方程
解令y=X+2x-8，那么原方程为
111,
+_*=a
y+9yyy亠15k
去分母得
y（y-15x）+（y+9x）（y-15x）+y（y+9x）=0，
y2-4xy-45x2=0,
（y+5x）（y-9x）=0，
所以y=9x或y=-5x.
由y=9x得x2+2x-8=9x，即x2-7x-8=0，所以Xi=-1,X2=8;由y=-5x，得x2+2x-8=-5x，即x2+7x-8=0，所以X3=-8，X4=1.
经检验，它们都是原方程的根.
例2解方程
x2+72x~72
——+_-18=0・'
X2+4x
解设厂则原方費化为
—*18=0
2
y-18y+72=0,
所以yi=6或y2=12.
此方程无实数根.
当y=12吋，=12・x2+4x=12x-12,故
x-1
2
x-8x+12=0,所以Xi=2或X2=6.
经检验，Xi=2,X2=6是原方程的实数根.
例3解方程
+63x2+10x+42x+1
x+1x2+3x+2x+2
整理得
\3茎一2
黑十！
x+2x2+3x+2
去分母、整理得
x+9=0,x=-9.
经检验知，x=-9是原方程的根.
例4解方程x+1X+6x+2x+5
+=+
黑+2x+7x+3x+6
分析与解方程中各项的分子与分母之差都是1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简.原方程化为
111
x+6x+7x+2x+3
（x+6）（x+7）（x+2）（x+3}所以（（x+6）（x+7）=（x+2）（x+3）
解昴一?
经检验汁律是原方程的根.
£
例5解方程
11111
x（x-1）x（x+1）（x+9）（x+10）12分析与解注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数
1,故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简•原方程变形为
11111111
+——+■**+=—*
x_1xxx+1x+9x+1012
整理得
11_11
x3?
-x+10"12f
去分母得
x2+9x-22=0,
解得xi=2,X2=-11.
经检验知，Xi=2,X2=-11是原方程的根.
例6解方程
2x3+3赛十2+3
2xa-3x-2_2x2+5^-3
赫掃f5一次项
与常数项符号相反，故可考虑用合比定理化简.原方程变形为
所以x=0或2x2-3x-2=2x2+5x-3.
解得宜"如,
经检验，x=0,孟二!
都是原方程的根.
O
例7解方程
3x2+4k-1x2+4x+1
3x2-4x-1x2-4k+1
分析与解形式与上例相似.本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故
可考虑用合分比定理化简•原方程变形为
（3x2+4x~1）+（3x2-4x-1）（x2++1）+（x2-4x+1）
（3xa+4x-l）-（3x2^4x-l）~（x2+4x+1）-（x2-4x+l）
an6/-22^+2
即——_*.
:
:
:
:
当x工0时，解得x=±1.
经检验，x=±1是原方程的根，且x=0也是原方程的根.
说明使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验.
像x+l=a+lg类持殊类型的方程可以化成一元二次方程，因而
xa
至多有两个根.显然日护1时，引-乜与知二2就是所求的根*例如*方
a
程瓦+丄=詁，即免+丄=3+^,所仏严3,x3=|.
x3x33
例8解方程
x2+z+12x2+x+219
X2+1+X2+X+16’
解将原方程变形为
M2+K+1办卡123
Hl-=——I-—宀1宀幻32'
X2+X+1设丫='21，処原方程变为
X+1
123
4~—=+-~~-.
-3±75
y32
业梵+號+1当=評'其
当丁亍飞皓X=1经检验蛊=［及x=三逅均是原方程的根.
例9解关于x的方程
解设y=戶，则原方程变为b+x
由一-2,得X!
=a-2bj由一,得xa=b-2a.b+sb+x
将xi=a-2b或X2=b-2a代入分母b+x，得a-b或2（b-a），所以，当a^b
时，xi=a-2b及X2=b-2a都是原方程的根.当a=b时，原方程无解.
例10如果方程
xx-22x+a
++=0
盜a2x—2）
只有一个实数根，求a的值及对应的原方程的根.
分析与解将原方程变形，转化为整式方程后得
2
2x-2x+（a+4）=0.①
原方程只有一个实数根，因此，方程①的根的情况只能是：
（1）方程①有
两个相等的实数根，即
△=4-4?
2（a+4）=0.
7亠1
解得包=巧•此时方程①的两个相等的根是Xj=xa=-.
（2）方程①有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程①有一个根为0或2.
因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是
71
■-*-8,其对应的原方程的根依次为1,
练习一
1.填空：
（1）方程x+—=io^的~个根是io*则另一个根是*
x-82
g—pjvm—-1
（2）如果方程■一有尊值异号旳根，那么m二
ax-cm+1
（3）如果关于x的方程
]k-5_k-1
X2-Xx2X2-1
有增根x=1,则k=.
（4）方程十一的根是
x_1x+13
2.解方程
抵5x3
x++xx3+2k2-5x2
3.解方程
Xs+2X3'2
+二~2熟
4.解方程
K-2X-332
4=+.
5•解方程
m討pi
2
-48
fx3-41
1X-1/1龙十lj
1宀】丿
6•解方程
xx~9x+1x8
+十.x2x-7x~1x~6
7.m是什么数值时，方程
36x+in
—+—
32塞-15S（X-1）
有根?
（i）当x=0时，代入①式得a+4=0,即a=-4.这时方程①的另一个根是x=1（因为2x（i）2-2x=0，x（x-1）=0，Xi=O或X2=1.而Xi=0是增根）.它不使分母为零，确是原方程的唯一根.
（ii）当x=2时，代入①式，得
2X4-2X2+（a+4）=0，
即a=-8.这时方程①的另一个根是x=-1（因为2x2-2x-4=0.（x-2）（x+1）=0，所以xi=2（增根），X2=-1）.它不使分母为零，确是原方程的唯一根.
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