初二奥数辅导分式方程的解法.docx

1、初二奥数辅导分式方程的解法奥数辅导分式方程(组)的解法分母中含有未知数的方程叫分式方程.解分式方程的基本思想是转化为整式方程 求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行 有效的变形变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根.例1解方程解令y=X + 2x-8，那么原方程为111, + _ * = ay + 9y y y 亠 15k去分母得y(y-15x) + (y+9x)(y-15x) + y(y + 9x)=0，y2-4xy-45x 2=0,(y+5x)(y-9x)=0 ，所以 y=9x 或 y=-5x .由 y=9x 得 x2+2x-8=9x，即 x

2、2-7x-8=0，所以 Xi=-1 ,X2=8;由 y=-5x，得 x2+2x-8=-5x， 即 x2+ 7x-8=0，所以 X3=-8，X4=1.经检验，它们都是原方程的根.例2解方程x2 + 72x 72+ _ -18 = 0 X2 + 4x解设厂则原方費化为 *18 = 02y-18y+72=0,所以 yi=6 或 y2=12.此方程无实数根.当y = 12吋， =12 x2 +4x = 12x -12,故x -12x -8x+12=0, 所以Xi=2或X2=6.经检验，Xi=2, X2=6是原方程的实数根.例3解方程+ 6 3x2 + 10x +4 2x + 1x + 1 x2 +3x

3、 + 2 x + 2整理得 3 茎一2黑十！ x + 2 x2 + 3x + 2去分母、整理得x + 9=0, x=-9 .经检验知，x=-9是原方程的根.例4解方程 x + 1 X +6 x + 2 x +5 + = + 黑 + 2 x + 7 x + 3 x + 6分析与解方程中各项的分子与分母之差都是1，根据这一特点把每个分式 化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简.原方程化为1 1 1 x + 6 x + 7 x + 2 x + 3(x + 6)(x + 7) (x + 2)(x + 3 所以 (x+6)(x+7)=(x+2)(x+3)解昴一?经检验汁律是原方程的根.例5解方程1 1

4、 1 11x(x - 1) x(x + 1) (x + 9) (x + 10) 12 分析与解注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1,故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化 简原方程变形为1111 1 1 11 + + * + = *x_ 1 x x x +1 x + 9 x +10 12整理得1 1 _ 11x3?- x + 10 12 f去分母得x2 + 9x-22 = 0,解得 xi=2, X2=-11.经检验知，Xi=2, X2=-11是原方程的根.例6解方程2x3 + 3赛十 2 + 32xa -3x-2 _ 2x2 +5-3赫掃f 5一次项与常

5、数项符号相反，故可考虑用合比定理化简.原方程变形为所以 x=0 或 2x2-3x-2=2x 2+5x-3 .解得 宜如,经检验，x = 0,孟二!都是原方程的根.O例7解方程3x2 + 4k - 1 x2 + 4x + 13x2 - 4x - 1 x2 -4k + 1分析与解形式与上例相似.本题中分子与分母只是一次项的符号相反， 故可考虑用合分比定理化简原方程变形为(3x2 + 4x 1) + (3x2 -4x -1) (x2 + + 1) + (x2 - 4x + 1)(3xa +4x- l) -(3x2 4x -l) (x2 +4x + 1) -(x2 -4x + l)an 6/ - 2

6、2+2即 _* .: : 当x工0时，解得x= 1.经检验，x= 1是原方程的根，且x=0也是原方程的根.说明使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验.像x + l = a + lg类持殊类型的方程可以化成一元二次方程，因而x a至多有两个根.显然日护1时，引-乜与知二2就是所求的根*例如*方a程瓦+丄=詁， 即免+丄=3+ , 所仏严 3, x3 = |.x 3 x 3 3例8解方程x2 + z + 1 2x2 + x + 2 19X2 + 1 + X2 + X + 1 6解将原方程变形为M2 + K + 1 办卡1 2 3 Hl- = I- 宀1 宀幻3 2X2 + X

7、+ 1 设丫= 2 1 ，処原方程变为X + 11 2 34 = + -.-375y 3 2业梵+號+ 1 当=評其当丁亍飞皓X=1 经检验蛊=及x =三逅均是原方程的根.例9解关于x的方程解设y =戶，则原方程变为 b + x由 一 -2,得X! = a -2bj 由一,得xa =b-2a. b + s b + x将xi=a-2b或X2=b-2a代入分母b+x，得a-b或2(b-a)，所以，当ab时，xi=a-2b及X2=b-2a都是原方程的根.当a=b时，原方程无解.例10如果方程x x - 2 2x + a + + = 0盜 a 2 x 2)只有一个实数根，求a的值及对应的原方程的根.分

8、析与解将原方程变形，转化为整式方程后得22x -2x+(a+4)=0 .原方程只有一个实数根，因此，方程的根的情况只能是： (1)方程有两个相等的实数根，即 =4-4?2(a+4)=0 .7 亠 1解得包=巧此时方程的两个相等的根是Xj =xa =-.(2)方程有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程 有一个根为0或2.因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的 a的值分别是7 1-*-8,其对应的原方程的根依次为1,练习一1.填空：(1)方程x+= io的个根是io*则另一个根是 *x -8 2 g pjv m - 1(2)如果方程一 有尊值异号旳根，那么m二ax - c m

9、+ 1 (3)如果关于x的方程 k-5 _ k-1X2 - X x2 X2 -1有增根x=1,则k= .(4)方程十一 的根是x _ 1 x + 1 3 2.解方程抵 5x 3x + + x x3 + 2k2 - 5x 23.解方程Xs +2 X32 + 二 2 熟4.解方程K-2 X-3 3 2 4 = + .5 解方程m討pi2-48fx3 -411 X - 1/ 1龙十 lj1宀】丿6 解方程x x 9 x + 1 x 8 + 十 . x 2 x - 7 x 1 x 67. m是什么数值时，方程3 6 x +in+ 32 塞-1 5S（X - 1）有根?(i) 当x=0时，代入式得a+4=0,即a=-4 .这时方程的另一个根是 x=1(因为 2x(i) 2-2x=0，x(x-1)=0 ，Xi=O 或 X2= 1.而 Xi = 0 是增根).它不使 分母为零，确是原方程的唯一根.(ii)当x=2时，代入式，得2X4-2 X 2+ (a+4)=0，即a=-8 .这时方程的另一个根是 x=-1(因为2x2-2x-4=0 . (x-2)(x+1)=0 ， 所以xi=2(增根)，X2=-1).它不使分母为零，确是原方程的唯一根.