数学中的恒成立与有解问题.docx
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数学中的恒成立与有解问题
数学中的恒成立与有解问题
、恒成立问题
若不等式
fx
A在区间
D上恒成立
，则等价于在区间
D上fxmin
A
若不等式
fx
B在区间
D上恒成立
，则等价于在区间
D上fxmax
B
常用方法
1、分离变量法；
2、数形结合法；3、
利用函数的性质；
4、变更主元等；
1、由二次函数的性质求参数的取值范围
2
例题1.若关于X的不等式ax2x20在R上恒成立，求实数a的取值范围.
解题思路：
结合二次函数的图象求解
解析：
当a0时,不等式2x20解集不为
0不满足题意；
a
当a0时,要使原不等式解集为R,只需„
22
2a
，解得a-
02
1
综上，所求实数a的取值范围为（一，）
2
2、转化为二次函数的最值求参数的取值范围
例题2:
已知二次函数满足f（0）1，而且f（x
1）
f（x）2x，请解决下列问题
求二次函数的解析式。
若f（x）2xm在区间［1,1］上恒成立，求m的取值范围
解题思路：
先分离系数，再由二次函数最值确定取值范围.
2
解析：
⑴设f（x）ax
bx
c（a
0）
.由f（0）
1得c
2
1,故f（x）axbx1
•••f（x1）f（x）2x
a（x
1）2
b（x1）
1（ax
2
bx1）2x
即2axab2x,所以
2a
2,a
b
0,解得a
1,b
1二f（x）xx1
令g（x）x23x1（x3）2
2
5,则g（x）在［1,1］上单调递减.所以g（x）在［1,1］上的最小值为g
（1）
4
所以m的取值范围是（，1）.
规律总结：
mf（x）对一切xR恒成立，则m［f（x）］min;mf（x）对一切xR恒成立，则m［f（x）］max；注意参
数的端点值能否取到需检验。
二、有解问题
3、方程的有解问题
例题3:
题干与例题2相同同例题2.
（2）若f（x）2xm在区间［1,1］上恒成立，求m的取值范围
解题思路：
先分离系数，再由二次函数值域确定取值范围.
解析：
⑴解法同例题2
22
⑵由⑴知xx12xm在［1,1］恒成立，即mx3x1在［1,1］恒成立.
2325
令g（x）x23x1（x-）2-，则g（x）在［1,1］上单调递减.所以g（x）在［1,1］上的最大值为
24
g
（1）5，最小值为g
（1）1，所以m的取值范围是1,5。
规律总结：
若方程mf（x）在某个区间上有解只需求岀f（x）在区间上的值域A使mA。
4、不等式的有解问题
例题4题干与例题2相同
同例题2.
若f（x）2xm在区间［1,1］上有解，求m的取值范围。
解题思路：
先分离系数，再由二次函数最值确定取值范围.
解析：
⑴解法同例题2
22
⑵由⑴知xx12xm在［1,1］有解，即mx3x1在［1,1］有解
2325
令g（x）x3x1（x-）-,则g（x）在［1,1］上单调递减.所以g（x）在［1,1］上的最大值为
24
g
（1）5.所以m的取值范围是（，5）。
.
规律总结：
mf（x）在区间a,b内有解，则mf（x）max；mf（x）在区间a,b内有解，则mf（x）min；注
意参数的端点值能否取到需检验。
一、确定"主元”思想
常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量.
例1.对于满足0p4的一切实数p，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围.
分析：
习惯上把x当作自变量，记函数y=x2+（p-4）x+3-p,于是问题转化为当p0,4时y>0恒成立，求x的范围.解
决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的•若把x与p两个量互换一下角色，
即p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为在［0,4］内关于p的一次函数大于0恒成立的问题.
解：
设f（p）=（x-1）p+x2-4x+3，当x=1时显然不满足题意.
由题设知当0p4时f（p）>0恒成立，二f（0）>0,f（4）>0即x2-4x+3>0且x2-1>0，
解得x>3或x<-1.•••x的取值范围为x>3或x<-1.
二、分离变量
对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量
和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。
-x1a恒成立，求a的取值范围.
3
四、分类讨论
当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处理，分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件。
三、数形结合
对于含参数的不等式问题，当不等式两边的函数图象形状明显，我们可以作岀它们的图象，来达到解决问题的目
的.
例3•设x[4,0]，若不等式.x（4x）
分析与解：
若设函数yi,x（4x），则
22
（x2）Y!
4（Y!
0），其图象为上半圆.
4
设函数y2x1a，其图象为直线.
3
在同一坐标系内作岀函数图象如图，
得a（；,I2）
（二2,©）.•••a的取值范围是a（
24
23
y,;
依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心（2,0）到
若不等式|3x
b|4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围是
.（5,7）
已知函数的单调性求参数范围问题
方法：
转化为不等式的恒成立问题：
即“若函数单调递增，则f（x）0;若函数单调递减则
f（x）0”来求解.
例：
若函数f（x）x3ax21在［1,2］上单调递减，求实数a的取值范围.
思路点拨：
先求岀导函数，再利用导数与单调性的关系或转化为恒成立问题求解
2
f（x）3x2axx（3x2a）
2
解析：
方法一：
由f（x）在［1,2］上单调递减知f（X）0，即3x2ax0在［1,2］上恒成立，
即a|x在［1,2］上恒成立.故只需a（|x）max,故a3.
综上可知，a的取值范围是［3,+出）.
［1,2］上单调递减不符，舍去.
a0时，由f（x）0得a33
f（x）在［1,2］上单调递减不符，舍去.
综上可知，a的取值范围是［3,+）.
练习
1
解析■/x=—2，-是方程ax2+bx—2=0的两根，二
4
7
4,
a=4，b=7.二ab=28.
答案C
设函数f（x）
|x4||x1|，贝Uf（x）的最小值是二，若f（x）5，则x的取值范围
.[0,5]
2
9.不等式|x3||x11a3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（B）
D.（,1][2,）
A.（,2][5,）B.（,1][4,）C.[1,2]
10.不等式ax2+2ax+1》O寸一切x€R恒成立，则实数a的取值范围为解析当a=0时，不等式为1》0亘成立;
a>0,a>0,
当a^O寸，须即。
△WQ4a2—4aw0.
0vaw］综上0Wjw1.
答案［0,1］
ax1、1
12.已知关于x的不等式v0的解集是（，1）U（,）.则a.
x12
1
【解析】由不等式判断可得且不等式等价于a（x1）（x丄）0
a
11
由解集特点可得a0且11a2
a2
答案：
-2
14.已知不等式ax2+4x+a>1—2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围.
a>0,
［审题视点］化为标准形式ax2+bx+c>0后分a=0与a工0讨论.当a工0寸，有2,n
△=b2—4acv0.
a=—2时，解集不是R,因此a斗2,
解原不等式等价于（a+2）^+4x+a—1>0对一切实数恒成立，显然
a+2>0,
从而有△=42—4a+2a—1v0,
整理，得
a>—2,
a—2
a>—2,
所以
a+3>0,av—3或a>2,
所以a>2.
故a的取值范围是（2,+g）.
工仝不等式ax2+bx+c>0的解是全体实数（或恒成立）的条件是当a=0时，b=0,c>0;当a工0寸,
a>0,
不等式ax2+bx+cv0的解是全体实数（或恒成立）的条件是当a=0时，b=0,cv0；当a工0寸,
△v0;
av0,
△v0.
【训练2】当x€（1,2）时，不等式x2+mx+4<0恒成立，则m的取值范围是
解析法一当x€（1,2）时，不等式x2+mx+4<0可化为：
m<—x+4,
x
4
又函数f（x）=—x+-在（1,2）上递增，
入
则f（x）>—5,
则mw-5.
法二设g（x）=x2+mx+4
当一，即mA3时，g（x）vg
（2）=8+2m,
当一m>2，即即mv—3时，
g（x）vg
（1）=5+m
由已知条件可得：
m~^一3,mv一3,
或
8+2m<05+mW0.
解得m5
答案（一a,—5]
15.若a€[1,3]时，不等式ax2+（a-2）x-2>0恒成立，求实数x的取值范围
15.【解析】设f（a）=a（x2+x）-2x-2，则当a€[1,3]时f（a）>0恒成立.
f
（1）x2x20
f（3）3x2x20’
x2或x1
x2或x1，
3
得x>2或x<-1.
实数x的取值范围是x>2或x<-1.
1.（不等式选做题）若关于x的不等式|aI…X1||x2|存在实数解，贝U实数a的取值范围是
a能取到此范围内的值即可.
【分析】先确定|x1||x2|的取值范围，再使得
2
[解析]:
不等式ax4x
2
a12x对一切xR恒成立,
【答案】（，3]U[3,
2=0,显然不成立
3、若不等式2x1
m（x2
1）对满足m
2的所有m都成立，则x的取值范围
471
（答:
（
J1
））;
2
0,则a
2
5、若不等式x2mx2m10对0
x1的所有实数x都成立，求m的取值范围.（答:
1
1.已知y=-x3+bx2+（b+2）x+3是R上的单调增函数，则b的取值范围是（）
3
A.bv—1或b>2B.b◎2或b>2C.—1vbv2D•—1电<2
解析D由题意，得y'=x2+2bx+b+2>0在R上恒成立，二A=4b2—4（b+2）解得—1住<2.
11
2.函数f（x）=；x3+2（2—a）x2—2ax+5在区间［—1,1］上不单调，则a的取值范围是.
32
解析f'x）=x2+（2—a）x—2a=（x+2）（x—a）=0的两根为X1=—2，X2=a.若f（x）在［—1,1］上不单
调，则一13.已知a>0，函数f（x）=x3—ax在［1，+^）上是单调增函数，则a的最大值是.
解析由题意知，f'x）=3x2—a在［1，+X）上有3x2—a》0恒成立，二a<（32）min，而（3x2）min=3,
…a<3.
4•已知f（x）=ex—ax—1.若f（x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围.
解析■/f（x）=ex—ax—1，•••f'x）=ex—a.：
f（x）在R上单调递增，
/.f'x）=ex—a恒成立，即a•/x€R时，ex€（0,+x），•a<0.即a的取值范围为（一^,0］.
5.函数f（x）=4x—mx+5在区间［—2,+^）上是增函数，则f
（1）的取值范围是
m解析由题意知8W—2,—mW—16,—f
（1）=9—m》25.
6.已知函数f（x）ax33x2x1在R上是减函数，求实数a的取值范围.
av0，
解得a<—3.
△=36+12aW0
解由题意得f'x）=3ax2+6x—1•若f（x）在R上是减函数，
贝Uf（x）0（x€R）恒成立，
故实数a的取值范围是（—8，
_32
7.已知函数f（x）xaxx1在（—^，1］上是增函数，试求实数a的取值范围.
解析•/f，x）=3x2+2ax+1，由于函数f（x）在（—^，1］上是增函数，
•••当x€（—8，1］时，f（x）0（在个别点f'x（可以为0）恒成立，
即3x2+2ax+1>0在xWl时恒成立•令g（x）=3乂+2ax+1，
g
（1）0a>-2，
•△=4a2—12W0或0，即a2W3或a2>3，
2aa<—3.
1
6
•a2<3即—也WaW3.故a的取值范围是[—弋，^3].
2a
1已知函数fxx（x0,aR）若fx在区间2,是增函数，求实数a的取值范围。
x
a
解：
f'x2x—，要使fx在区间2,是增函数，只需当x2时，f'x0恒成立,
x
则a2x316,恒成立，故当a16时，fx在区间2,是增函数。
392
3.（2009江西卷文）设函数f（x）x9x6xa.
（1）
对于任意实数
x，f（x）
m恒成立，求
m的最大值;
（2）
若方程f（x）
0有且仅有
•个实根，
求
a的取值范围.
解析:
（1）f'（x）
3x29x6
3（x
1）（x
2）,
5.若
A.[
解析
由于
因为x
（,
）,f
'（x）
m,即
3x2
所以
81
12（6
m）
0,得m
3
4
⑵因为
当x
1时，
f'（x）
0;当1
x
所以
当x
1时，f
（x）取极大值
f
（1）
9x（6m）0恒成立,
，即m的最大值为3
4
2时,f（x）
5
2a；
0;当x2时,f（x）0；
当x2时,f（x）取极小值f
（2）2a;
故当f
（2）0或f
（1）0时，方程f（x）0仅有一个实根.解得a2或a-.
2
12f（x）xbln（x2）在（-1,+）上是减函数，则b的取值范围是（）
2
1,）B.（1,）C.（,1]D.（,1）
题意可知f（X）
（1,
）上恒成立，即bx（x2）在x（1,
）上恒成立,
x1，所以b
1，故c为正确答案.
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