尺规作图等分任意角和构造正十边形.docx

尺规作图等分任意角和构造正十边形.docx

《尺规作图等分任意角和构造正十边形.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《尺规作图等分任意角和构造正十边形.docx（26页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

尺规作图等分任意角和构造正十边形

尺规作图三等分任意和构造正十七边形

饶剑明

摘要：

将角的等分问题转化为线段的等分问题，从而实现尺规作图的任意等分任意角。

对线段的任意等分是很容易做到的，就是根据平行线间线段对应成比例。

只要将角的等分转换成线段的段分问题就自然解决了，我们知道，角和线的关系在圆中可以实现，在一个圆中等角对应的弦长相等。

从而实现角的三等分和正十七边形的尺规作法。

关键词：

三等分角平分线圆弧正十七边形

一、任意角的三等分

设角为

，作角

的平分线。

半径为

的圆弧，

所对的弦长为

角所对的弦长

角所对的弦长为

。

由于当

很小时有

，即有

。

当

取不同值时

，

和

的近似值如下：

可以看出利用

会比

更为精确，但在操作上

会更为方便。

从数据上可以看出，锐角用

就足够用了，在操作上也得到同样的结果。

但角度大于

是就最好使用

了。

由于尺规作图本身在操作上就存在误差，所以这样的误差是允许的。

利用几何画板完全按尺规作图的步骤可以看到当角为锐角时有

，即两个点完全重合。

操作步骤如下：

1.对角

平分

2.取上作图时

角所对的弦长AB

3.对线段AB三等分

4.取线段AB的

长线段AC

4.以线段AB为半径，在圆弧

等分

这样就对弧进行了三等分，标记三等分点，然后与顶点O连接就对角

三等分了。

除去多余的痕迹

用这样的方法可以对任意角任意等分。

当角

为锐角就一次性完成了操作。

当角

是钝角是，就要用四分角去作图了，且从理论上要比

稍微少一点，尤其是当

接近平角时。

当角

大于

时，就平分其补角然后反向延长。

当一次实现不了的时候可以在

和

之间取值，每次折中而逼近，一般最多在两到三个循环操作能完成。

另外一个解决方案就是当角很大时（接近

），可以对角六等分，基数值8或4，这样相当于在锐角中作三等分。

这样就可以一次性完成操作而没有必要用逼近的方法试取。

要更为精确的可以是12等分，24等分……一直当认为为小角为止。

二、正十七变形的作法

利用相同的原理可以作出正十七边形，确切的说是任意正多边形。

十六分一个周角后得到的是

，半径为

的圆对应的弦长为

，

可以看成是一个小角，则有十七分所对的弦长

步骤如下：

1.作圆

2.对圆O进行16等分

3.取

所对的弦长AB

4.对线段AB进行17等分

5.取线段AB的

的长度线段AC

以AC为弦长等分圆O

除去多余的痕迹，顺次连接交点就得到了正17边形

这样就得到了一个正十七边形。

当这个正十七边形很大，误差可能会大一点，要更为精确，可以对其三十四等分，取基数32，这样做结果就很精确了，因为

和

都是很小的角且两角度相似，误差差不多，这样两个的实际误差会更小，从而达到近似精确的结果。

用这样的方法得到的正多边形变数越多越标准，且使用的基数是

中与要作边数最接近的一个。

例如，17我选16，31我选32.但是为了方便不一定取那么多。

如果为了精确，17也可以选32。