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方案设计型问题
中考二轮复习——方案设计型问题
第一部分讲解部分
一．专题诠释
方案设计型问题，是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，确定出最佳方案的一类数学问题。
随着新课程改革的不断深入，一些新颖、灵活、密切联系实际的方案设计问题正越来越受到中考命题人员的喜爱，这些问题主要考查学生动手操作能力和创新能力，这也是新课程所要求的核心内容之一。
二．解题策略和解法精讲
方案设计型问题涉及生产生活的方方面面，如：
测量、购物、生产配料、汽车调配、图形拼接等。
所用到的数学知识有方程、不等式、函数、解直角三角形、概率和统计等知识。
这类问题的应用性非常突出，题目一般较长，做题之前要认真读题，理解题意，选择和构造合适的数学模型，通过数学求解，最终解决问题。
解答此类问题必须具有扎实的基础知识和灵活运用知识的能力，另外，解题时还要注重综合运用转化思想、数形结合的思想、方程函数思想及分类讨论等各种数学思想。
三．考点精讲
考点1：
设计测量方案问题
这类问题主要包括物体高度的测量和地面宽度的测量。
所用到的数学知识主要有相似、全等、三角形中位线、投影、解直角三角形等。
例1．（2009年济宁市）坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋（公元1112年），为砖彻八角形十三层楼阁式建筑.数学活动小组开展课外实践活动，在一个阳光明媚的上午，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：
测角仪、皮尺、小镜子.
（1）小华利用测角仪和皮尺测量塔高.图1为小华测量塔高的示意图.她先在塔前的平地上选择一点
，用测角仪测出看塔顶
的仰角
，在
点和塔之间选择一点
，测出看塔顶
的仰角
，然后用皮尺量出
、
两点的距离为
m,自身的高度为
m.请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度（
，结果保留整数）.
（2）如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影
的长为
m（如图2）,你能否利用这一数据设计一个测量方案？
如果能，请回答下列问题：
①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是:
；
②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据？
.
【分析】
（1）要求MN的长，先求ME的长，因为ME所在的直角三角形，没有一个边已知，所以不好直接求。
于是设
长为
，根据直角三角形的边角关系列方程求解。
（2）答案不唯一，可以考虑相似法，也可以考虑用锐角三角函数法等。
【答案】解:
（1）设
的延长线交
于
点，
长为
，则
.
∵
∴
.∴
.
∵
∴
解得
.
∴太子灵踪塔
的高度为
.
（2）①测角仪、皮尺；②站在P点看塔顶的仰角、自身的高度.
（或者①木杆、皮尺；②木杆自身的高度和当时的影长）
【评注】①不好直接求，可以考虑用方程法求解；②不同的方案，所用的数学原理不同，所选用的测量工具、测量数据也不同。
2．设计搭配方案问题
这类问题不仅在中考中经常出现，大家在平时的练习中也会经常碰到。
它一般给出两种元素，利用这两种元素搭配出不同的新事物，设计出方案，使获利最大或成本最低。
解题时要根据题中蕴含的不等关系，列出不等式（组），通过不等式组的整数解来确定方案。
例2.（2010莱芜）为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．
（1）问符合题意的组建方案有几种？
请你帮学校设计出来；
（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明在
（1）中哪种方案费用最低？
最低费用是多少元？
【分析】
（1）设组建中型图书角x个，则组建小型图书角为（30-x），然后分别把所需要的科技类书籍和人文类书籍表示出来，再根据题中的不等关系列出不等式组，求出其整数解；
（2）分别求出每种方案的费用，进行比较，就可以求出最低费用。
【答案】解：
（1）设组建中型图书角x个，则组建小型图书角为（30-x）个．
由题意得
解这个不等式组得18≤x≤20．
由于x只能取整数，∴x的取值是18，19，20．
当x=18时，30-x=12；当x=19时，30-x=11；当x=20时，30-x=10．
故有三种组建方案：
方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个．
（2）方法一：
由于组建一个中型图书角的费用大于组建一个小型图书角的费用，因此组建中型图书角的数量越少，费用就越低，故方案一费用最低，
最低费用是860×18+570×12=22320（元）．
方法二：
①方案一的费用是：
860×18+570×12=22320（元）；
②方案二的费用是：
860×19+570×11=22610（元）；
③方案三的费用是：
860×20+570×10=22900（元）
故方案一费用最低，最低费用是22320元．
【评注】本题主要考查学生运用不等式组解决实际问题的能力，属于中等难度的试题，具有一定的区分度．注意分类讨论在解答此类问题的应用。
另外，本题也可以用一次函数表示出需要总费用，然后根据一次函数的性质求出其最小值。
3．设计销售方案问题
在商品买卖中，更多蕴含着数学的学问。
在形形色色的让利、打折、买一赠一、摸奖等促销活动中，大家不能被表象所迷惑，需要理智的分析。
通过计算不同的销售方案盈利情况，可以帮助我们明白更多的道理。
近来还出现运用概率统计知识进行设计的问题。
例3.（2010年南京）某厂为新型号电视机上市举办促销活动，顾客每购买一台该型号电视机，可获得一次抽奖机会，该厂拟按10%设大奖，其余90%为小奖．
厂家设计的抽奖方案是：
在一个不透明的盒子中，放入10个黄球和90个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到黄球的顾客获得大奖，摸到白球的顾客获得小奖．
（1）厂家请教了一位数学老师，他设计的抽奖方案是：
在一个不透明的盒子中，放入2个黄球和3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出2个球，摸到的2个球都是黄球的顾客获得大奖，其余的顾客获得小奖．该抽奖文案符合厂家的设奖要求吗？
请说明理由；
（2）下图是一个可以自由转动的转盘，请你将转盘分为2个扇形区域，分别涂上黄、白两种颜色，并设计抽奖方案，使其符合厂家的设奖要求．（友情提醒：
1．在转盘上用文字注明颜色和扇形圆心角的度数．2．结合转盘简述获奖方式，不需说明理由．）
【分析】
（1）用树状图或列表法表示所有等可能的结果，也可以用枚举法表示所有等可能的结果；
（2）由于按10%设大奖，其余90%为小奖，所以可以把转盘分成两部分，其中大奖部分的圆心角为10%×360°=36°。
【答案】解：
（1）该抽奖方案符合厂家的设奖要求。
分别用黄1、黄2、白1、白2、白3表示这5个球。
从中任意摸出2个球，可能出现的结果有：
（黄1，黄2）、（黄1，白1）、（黄1，白2）、（黄1，白3）、（黄2，白1）、（黄2，白2）、（黄2，白3）、（白1，白2）、（白1，白3）、（白2，白3）。
共有10种，它们出现的可能性相同。
所有的结果中，满足摸到的2个球都是黄球（记为事件A）的结果有1种，即（黄1，黄2），所以P（A）=
，即顾客获得大奖的概率为10%，获得小奖的概率为90%。
（2）本题答案不惟一，下列解法供参考。
如果，匀转盘圆心角为36°的扇形区域涂上黄色，其余的区域涂上白色。
顾客每购买一台该型号电视机，可获得一次转动转盘的机会，任意转动这个转盘，当转盘停止时，指针指向黄色区域获得大奖，指向白色区域获得小奖。
【评注】本题主要考查概率的计算，以及利用概率设计实验的能力。
题目不难，但文字表达要清楚，符合题意。
4．设计图形剪拼方案问题
图形的分割、拼接问题是考查动手操作能力与空间想能力的一类重要问题，在各地的中考试题中经常出现。
这类问题大多具有一定的开放性，要求学生多角度、多层次的探索，以展示思维的灵活性、发散性、创新性。
例4.（2010四川达州）在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案.
（1）同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？
若不符合，请用方程的方法说明理由.
（2）你还有其他的设计方案吗？
请在图9-3中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明.
【分析】
（1）小芳方案中四周小路宽度为1m,则得花园面积是（16－1）×（12－1）＝165≠
，因此小芳的方案是不符合的；可设小路宽度均为
m，计算得x≠1，从而用方程的方法了说明小芳的方案是不符合的．
（2）可以考虑设计图中阴影面积等于原面积的一半，也可以考虑设计图中空白部分面积等于原面积的一半。
【答案】解：
（1）不符合
设小路宽度均为
m，根据题意得：
解这个方程得：
但
不符合题意，应舍去,∴
∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度均为2m.
（2）答案不唯一.
例如：
【评注】本题考查了学生把数学知识运用于生活实际，论证生活中的设计可行性问题，能很好的培养学生对知识的应用意识和运用能力．设计尽量简便可操作，而且要标上适当的数据，或附上文字说明。
四．真题演练
1.（2010安徽）上海世博会门票价格如下表所示：
某旅行社准备了1300元，全部用来购买指定日普通票和平日优惠票，且每种至少买一张．
（1）有多少种购票方案？
列举所有可能结果；
（2）如果从上述方案中任意选中一种方案购票，求恰好选到11张门票的概率．
门票价格一览表
指定日普通票
200元
平日优惠票
100元
……
……
2.（2010青海西宁）八
（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图）．设计了如下方案：
（Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM＝PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．
（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM＝PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．
（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？
若可行，请证明；若不可行，请说明理由．
（2）在方案（Ⅰ）PM＝PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB．此方案是否可行？
请说明理由．
3.（2010河北）某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y＝
x＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润 ＝ 销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳
x2 元的附加费，设月利润为w外（元）（利润 ＝ 销售额－成本－附加费）．
（1）当x ＝ 1000时，y ＝元/件，w内 ＝元；
（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；
（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？
若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；
（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？
参考公式：
抛物线
的顶点坐标是
．
真题演练答案
1.
（1）解：
有6种购票方案：
购票方案
指定日普通票张数
平日优惠票张数
一
1
11
二
2
9
三
3
7
四
4
5
五
5
3
六
6
1
（2）解：
由
（1）知，共有6种购票方案，且选到每种方案的可能性相等，而恰好选到11张门票的方案只有1种，因此恰好选到11张门票的概率是
．
2.
（1）方案（Ⅰ）不可行，因为当OM和ON不相等时，射线OP不是∠AOB的平分线．
方案（Ⅱ）可行
理由：
在△OMP和△ONP中，
所以△OMP≌△ONP（SSS）．
所以∠AOP＝∠BOP．
所以射线OP是∠AOB的平分线．
（2）此方案可行
理由：
在Rt△OMP和Rt△ONP中，
所以Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）．
所以∠AOP＝∠BOP．
所以射线OP是∠AOB的平分线．
3.解：
（1）14057500；
（2）w内 ＝ x（y －20）－ 62500＝
x2＋130x
，
w外＝
x2＋（150
）x．
（3）当x ＝
＝ 6500时，w内最大；
由题意得
，
解得a1 ＝ 30，a2 ＝ 270（不合题意，舍去）．所以a ＝ 30．
（4）当x ＝ 5000时，w内＝337500，w外＝
．
若w内＜w外，则a＜32.5；
若w内＝w外，则a ＝ 32.5；
若w内＞w外，则a＞32.5．
所以，当10≤ a ＜32.5时，选择在国外销售；
当a ＝ 32.5时，在国外和国内销售都一样；
当32.5＜ a ≤40时，选择在国内销售．
第二部分练习部分
1.（2010年鄂尔多斯市）
某移动通讯公司提供了
、
两种方案的通讯费用
（元）与通话时间
（分）之间的关系，如图所示，则以下说法错误的是（）．
A．若通话时间少于120分，则
方案比
方案便宜20元
B．若通话时间超过200分，则
方案比
方案便宜
C．若通讯费用为60元，则
方案比
方案的通话时间多
D．若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分
2.（2010年桂林市改编）某蔬菜公司收购到某种蔬菜104吨，准备加工后上市销售.该公司加工该种蔬菜的能力是：
每天可以精加工4吨或粗加工8吨.现计划用16天正好完成加工任务，则该公司应安排________天精加工，________天粗加工.
3.（2010山东泰安改编）某电视机厂要印制产品宣传材料，甲印刷厂提出：
每份材料收1元印刷费，另收1000元制版费；乙厂提出：
每份材料收2元印制费，不收制版费.
（1）分别写出两厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的函数关系式
甲厂：
_________________；乙厂：
_______________。
（2）电视机厂拟拿出3000元用于印制宣传材料，找____________厂印制的宣传材料能多一些。
（3）印刷数量______________时，在甲厂的印制合算。
4.（2010湖北襄樊）为了扶持农民发展农业生产，国家对购买农机的农户给予农机售价13%的政府补贴．某市农机公司筹集到资金130万元，用于一次性购进A、B两种型号的收割机共30台．根据市场需求，这些收割机可以全部销售，全部销售后利润不少于15万元．其中，收割机的进价和售价见下表：
A型收割机
B型收割机
进价（万元/台）
5.3
3.6
售价（万元/台）
6
4
设公司计划购进A型收割机x台，收割机全部销售后公司获得的利润为y万元．
（1）试写出y与x的函数关系式；
（2）市农机公司有哪几种购进收割机的方案可供选择？
（3）选择哪种购进收割机的方案，农机公司获利最大？
最大利润是多少？
此种情况下，购买这30台收割机的所有农户获得的政府补贴总额W为多少万元？
5.（2009年达州）阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学去操场上测量旗杆的高度，他们带了以下测量工具：
皮具、三角尺、标杆、小平面镜等.
首先，小明说：
“我们用皮尺和三角尺（含30
角）来测量”.于是大家一起动手，测得小明与旗杆的距离AC为15㎝，小明的眼睛与地面的距离为1.6㎝，如图9（甲）所示.
然后，小红和小强提出了自己的想法.
小红说：
“我用皮尺和标杆能测出旗杆的高度.”
小强说：
“我用皮尺和小平面镜也能测出旗杆的高度！
”
根据以上情景，解答下列问题：
（1）利用图9（甲），请你帮助小明求出旗杆AB的高度（结果保留整数.参考数据：
，
，
，
）；
（2）你认为小红和小强提出的方案可行吗？
如果可行，请选择一中方案在图9（乙）中画出测量示意图，并简述测量步骤.
6.（2009年北京市）阅读下列材料：
小明遇到一个问题：
5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是：
按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG.请你参考小明的做法解决下列问题：
（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形.要求：
在图3中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；
（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画图并直接写出结果）.
练习部分答案
1.D
2.6，10
3.解：
（1）y=x+1000，y=2x
（2）甲
（3）大于1000份时。
4.解：
（1）y=（6－5.3）x+（4－3.6）（30－x）=0.3x+12．
（2）依题意，有
即
∴10≤x≤12
．
∵x为整数，∴x=10，11，12．
即农机公司有三种购进收割机的方案可供选择：
方案1：
购A型收割机10台，购B型收割机20台；
方案2：
购A型收割机11台，购B型收割机19台；
方案3：
购A型收割机12台，购B型收割机18台．
（3）∵0.3＞0，∴一次函数y随x的增大而增大．
即当x=12时，y有最大值，y最大=0.3×12+12=15.6（万元）．
此时，W=6×13%×12+4×13%×18=18.72（万元）．
5.解：
（1）过点D作DE⊥AB于点E，
在Rt△BDE中，DE=AC=15m，∠BDE=30°
∴BE=DE·tan30°≈15×058=870（m）
∴AB=BE+AE=870m+16m=103m≈10m
（2）小红和小强提出的方案都是可行的
小红的方案：
利用皮尺和标杆：
（1）测量旗杆的影长AG
（2）测量标杆EF的长度
（3）测量同一时刻标杆影长FH
小强的方案：
把小平面镜放在适当的位置（如图点P处），使得小强可以在镜中看到旗杆AB的顶端
步骤：
（1）测出AP的长度
（2）测出NP的长度
（3）测出小强眼睛离地面的高度MN
6.解：
（1）拼接成的平行四边形是□ABCD（如图3）；
（2）正确图形（如图4）
2011-3-29
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