方案设计型问题.docx

1、方案设计型问题中考二轮复习方案设计型问题第一部分 讲解部分一专题诠释方案设计型问题，是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，确定出最佳方案的一类数学问题。随着新课程改革的不断深入，一些新颖、灵活、密切联系实际的方案设计问题正越来越受到中考命题人员的喜爱，这些问题主要考查学生动手操作能力和创新能力，这也是新课程所要求的核心内容之一。二解题策略和解法精讲方案设计型问题涉及生产生活的方方面面，如：测量、购物、生产配料、汽车调配、图形拼接等。所用到的数学知识有方程、不等式、函数、解直角三角形、概率和统计等知识。这类问题的应用性非常突出，题目一般较长，

2、做题之前要认真读题，理解题意，选择和构造合适的数学模型，通过数学求解，最终解决问题。解答此类问题必须具有扎实的基础知识和灵活运用知识的能力，另外，解题时还要注重综合运用转化思想、数形结合的思想、方程函数思想及分类讨论等各种数学思想。三考点精讲考点1：设计测量方案问题这类问题主要包括物体高度的测量和地面宽度的测量。所用到的数学知识主要有相似、全等、三角形中位线、投影、解直角三角形等。例1（2009年济宁市）坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋（公元1112年），为砖彻八角形十三层楼阁式建筑.数学活动小组开展课外实践活动，在一个阳光明媚的上午，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具

3、有：测角仪、皮尺、小镜子.（1）小华利用测角仪和皮尺测量塔高. 图1为小华测量塔高的示意图.她先在塔前的平地上选择一点，用测角仪测出看塔顶的仰角，在点和塔之间选择一点，测出看塔顶的仰角，然后用皮尺量出、两点的距离为m,自身的高度为m.请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度（，结果保留整数）.（2）如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影的长为m（如图2）,你能否利用这一数据设计一个测量方案？如果能，请回答下列问题： 在你设计的测量方案中，选用的测量工具是: ； 要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据？ .【分析】（1）要求MN的长，先求ME的长，因为ME所在的直角三角形，没有一个边已知

4、，所以不好直接求。于是设长为， 根据直角三角形的边角关系列方程求解。（2）答案不唯一，可以考虑相似法，也可以考虑用锐角三角函数法等。【答案】解:（1）设的延长线交于点，长为，则.,.,解得.太子灵踪塔的高度为.(2) 测角仪、皮尺； 站在P点看塔顶的仰角、自身的高度.（或者木杆、皮尺； 木杆自身的高度和当时的影长）【评注】不好直接求，可以考虑用方程法求解；不同的方案，所用的数学原理不同，所选用的测量工具、测量数据也不同。2设计搭配方案问题这类问题不仅在中考中经常出现，大家在平时的练习中也会经常碰到。它一般给出两种元素，利用这两种元素搭配出不同的新事物，设计出方案，使获利最大或成本最低。解题时要

5、根据题中蕴含的不等关系，列出不等式（组），通过不等式组的整数解来确定方案。例2.（2010莱芜）为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本（1）问符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明在（1）中哪种方案费用最低？最低费用是多少元？【分析】（1）设组建中型图书角x个，则组建小型图书角为（30-x），然后分别把所需要的科技类

6、书籍和人文类书籍表示出来，再根据题中的不等关系列出不等式组，求出其整数解；（2）分别求出每种方案的费用，进行比较，就可以求出最低费用。【答案】解：（1）设组建中型图书角x个，则组建小型图书角为（30-x）个 由题意得 解这个不等式组得18x20由于x只能取整数，x的取值是18，19，20 当x=18时，30-x=12；当x=19时，30-x=11；当x=20时，30-x=10故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个 （2）方法一：由于组建一个中型图书角的费用大于组建一个小型图

7、书角的费用，因此组建中型图书角的数量越少，费用就越低，故方案一费用最低，最低费用是86018+57012=22320（元） 方法二：方案一的费用是：86018+57012=22320（元）；方案二的费用是：86019+57011=22610（元）；方案三的费用是：86020+57010=22900（元）故方案一费用最低，最低费用是22320元 【评注】本题主要考查学生运用不等式组解决实际问题的能力，属于中等难度的试题，具有一定的区分度注意分类讨论在解答此类问题的应用。另外，本题也可以用一次函数表示出需要总费用，然后根据一次函数的性质求出其最小值。3设计销售方案问题在商品买卖中，更多蕴含着数学的

8、学问。在形形色色的让利、打折、买一赠一、摸奖等促销活动中，大家不能被表象所迷惑，需要理智的分析。通过计算不同的销售方案盈利情况，可以帮助我们明白更多的道理。近来还出现运用概率统计知识进行设计的问题。例3.（2010年南京）某厂为新型号电视机上市举办促销活动，顾客每购买一台该型号电视机，可获得一次抽奖机会，该厂拟按10%设大奖，其余90%为小奖 厂家设计的抽奖方案是：在一个不透明的盒子中，放入10个黄球和90个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到黄球的顾客获得大奖，摸到白球的顾客获得小奖（1）厂家请教了一位数学老师，他设计的抽奖方案是：在一个不透明的盒子中，放入2个黄球和3

9、个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出2个球，摸到的2个球都是黄球的顾客获得大奖，其余的顾客获得小奖该抽奖文案符合厂家的设奖要求吗？请说明理由；（2）下图是一个可以自由转动的转盘，请你将转盘分为2个扇形区域，分别涂上黄、白两种颜色，并设计抽奖方案，使其符合厂家的设奖要求（友情提醒：1在转盘上用文字注明颜色和扇形圆心角的度数2结合转盘简述获奖方式，不需说明理由）【分析】（1）用树状图或列表法表示所有等可能的结果，也可以用枚举法表示所有等可能的结果；（2）由于按10%设大奖，其余90%为小奖，所以可以把转盘分成两部分，其中大奖部分的圆心角为10%360=36。【答案】解：（1）该抽奖方案

10、符合厂家的设奖要求。分别用黄1、黄2、白1、白2、白3表示这5个球。从中任意摸出2个球，可能出现的结果有：(黄1，黄2)、(黄1，白1)、(黄1，白2)、(黄1，白3)、(黄2，白1)、(黄2，白2)、(黄2，白3)、(白1，白2)、（白1，白3)、（白2，白3)。共有10种，它们出现的可能性相同。所有的结果中，满足摸到的2个球都是黄球（记为事件A）的结果有1种，即(黄1，黄2)，所以P（A）=，即顾客获得大奖的概率为10%，获得小奖的概率为90%。（2）本题答案不惟一，下列解法供参考。如果，匀转盘圆心角为36的扇形区域涂上黄色，其余的区域涂上白色。顾客每购买一台该型号电视机，可获得一次转动转

11、盘的机会，任意转动这个转盘，当转盘停止时，指针指向黄色区域获得大奖，指向白色区域获得小奖。 【评注】本题主要考查概率的计算，以及利用概率设计实验的能力。题目不难，但文字表达要清楚，符合题意。4设计图形剪拼方案问题图形的分割、拼接问题是考查动手操作能力与空间想能力的一类重要问题，在各地的中考试题中经常出现。这类问题大多具有一定的开放性，要求学生多角度、多层次的探索，以展示思维的灵活性、发散性、创新性。例4.（2010四川达州）在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案.(1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符

12、合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由. (2)你还有其他的设计方案吗？请在图9-3中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明.【分析】（1）小芳方案中四周小路宽度为1m,则得花园面积是（161）（121）165，因此小芳的方案是不符合的；可设小路宽度均为m，计算得x1，从而用方程的方法了说明小芳的方案是不符合的（2）可以考虑设计图中阴影面积等于原面积的一半，也可以考虑设计图中空白部分面积等于原面积的一半。【答案】解：（1）不符合 设小路宽度均为m，根据题意得：, 解这个方程得： 但不符合题意，应舍去, 小芳的方案不符合条件，小路的宽度均为2m

13、.（2）答案不唯一.例如：【评注】本题考查了学生把数学知识运用于生活实际，论证生活中的设计可行性问题，能很好的培养学生对知识的应用意识和运用能力设计尽量简便可操作，而且要标上适当的数据，或附上文字说明。四真题演练1.（2010安徽）上海世博会门票价格如下表所示：某旅行社准备了1300元，全部用来购买指定日普通票和平日优惠票，且每种至少买一张（1）有多少种购票方案？列举所有可能结果；（2）如果从上述方案中任意选中一种方案购票，求恰好选到11张门票的概率门票价格一览表指定日普通票200元平日优惠票100元2.（2010青海西宁）八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图）设计了如下方案：

14、 （）AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PMPN，过角尺顶点P的射线OP就是AOB的平分线（）AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OMON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PMPN，过角尺顶点P的射线OP就是AOB的平分线（1）方案（）、方案（）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由（2）在方案（）PMPN的情况下，继续移动角尺，同时使PMOA，PNOB此方案是否可行？请说明理由 3.（2010河北）某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方

15、案中选择一种进行销售若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y x150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润销售额成本广告费）若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10a40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2元的附加费，设月利润为w外（元）（利润销售额成本附加费）（1）当x1000时，y 元/件，w内 元；（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利

16、润的最大值相同，求a的值；（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？参考公式：抛物线的顶点坐标是真题演练答案1.（1）解：有6种购票方案：购票方案指定日普通票张数平日优惠票张数一111二29三37四45五53六61（2）解：由（1）知，共有6种购票方案，且选到每种方案的可能性相等，而恰好选到11张门票的方案只有1种，因此恰好选到11张门票的概率是2.（1）方案（）不可行，因为当OM和ON不相等时，射线OP不是AOB的平分线方案（）可行理由：在OMP和ONP中，所以OMPONP（SSS）所以AOPBOP所以射线OP是AOB的

17、平分线（2）此方案可行理由：在RtOMP和RtONP中，所以RtOMPRtONP（HL）所以AOPBOP所以射线OP是AOB的平分线3.解：（1）140 57500；（2）w内x（y20）62500 x2130 x，w外 x2（150）x（3）当x6500时，w内最大；由题意得， 解得a130，a2270（不合题意，舍去）所以 a30 （4）当x 5000时，w内 337500， w外 若w内 w外，则a32.5；若w内 w外，则a32.5；若w内 w外，则a32.5所以，当10a32.5时，选择在国外销售；当a32.5时，在国外和国内销售都一样；当32.5a40时，选择在国内销售 第二部分

18、练习部分1.（2010年鄂尔多斯市）某移动通讯公司提供了、两种方案的通讯费用（元）与通话时间（分）之间的关系，如图所示，则以下说法错误的是（ ）A若通话时间少于120分，则方案比方案便宜20元B若通话时间超过200分，则方案比方案便宜C若通讯费用为60元，则方案比方案的通话时间多D若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分2.（2010年桂林市改编）某蔬菜公司收购到某种蔬菜104吨，准备加工后上市销售. 该公司加工该种蔬菜的能力是：每天可以精加工4吨或粗加工8吨. 现计划用16天正好完成加工任务，则该公司应安排_天精加工，_天粗加工.3.（2010山东泰安改编）某电视机厂要印

19、制产品宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收1元印刷费，另收1000元制版费；乙厂提出：每份材料收2元印制费，不收制版费.（1）分别写出两厂的收费y(元)与印制数量x（份）之间的函数关系式甲厂：_；乙厂：_。（2）电视机厂拟拿出3000元用于印制宣传材料，找_厂印制的宣传材料能多一些。（3）印刷数量_时，在甲厂的印制合算。4.（2010湖北襄樊）为了扶持农民发展农业生产，国家对购买农机的农户给予农机售价13%的政府补贴某市农机公司筹集到资金130万元，用于一次性购进A、B两种型号的收割机共30台根据市场需求，这些收割机可以全部销售，全部销售后利润不少于15万元其中，收割机的进价和售价见下表：A型收

20、割机B型收割机进价（万元/台）5.33.6售价（万元/台）64设公司计划购进A型收割机x台，收割机全部销售后公司获得的利润为y万元（1）试写出y与x的函数关系式；（2）市农机公司有哪几种购进收割机的方案可供选择？（3）选择哪种购进收割机的方案，农机公司获利最大？最大利润是多少？此种情况下，购买这30台收割机的所有农户获得的政府补贴总额W为多少万元？5.(2009年达州)阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学去操场上测量旗杆的高度，他们带了以下测量工具：皮具、三角尺、标杆、小平面镜等.首先，小明说：“我们用皮尺和三角尺（含30角）来测量”.于是大家一起动手，测得小明与旗杆的距离AC为15，小明的眼睛

21、与地面的距离为1.6，如图9（甲）所示.然后，小红和小强提出了自己的想法.小红说：“我用皮尺和标杆能测出旗杆的高度.”小强说：“我用皮尺和小平面镜也能测出旗杆的高度！”根据以上情景，解答下列问题：（1）利用图9（甲），请你帮助小明求出旗杆AB的高度（结果保留整数.参考数据：，）；（2）你认为小红和小强提出的方案可行吗？如果可行，请选择一中方案在图9（乙）中画出测量示意图，并简述测量步骤.6. （2009年北京市）阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片绕AB的中点O旋转至三角形

22、纸片处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG.请你参考小明的做法解决下列问题：（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形.要求：在图3中画出并 指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画图并直接写出结果）. 练习部分答案1.D2.6，103.解：（1）y = x + 1000，y = 2x（2）甲（3）大于1

23、000份时。4.解：（1）y=(65.3)x+(43.6)(30x)=0.3x+12（2）依题意，有即10x12x为整数，x=10，11，12即农机公司有三种购进收割机的方案可供选择：方案1：购A型收割机10台，购B型收割机20台；方案2：购A型收割机11台，购B型收割机19台；方案3：购A型收割机12台，购B型收割机18台（3）0.30，一次函数y随x的增大而增大即当x=12时，y有最大值，y最大=0.312+12=15.6（万元）此时，W=613%12+413%18=18.72（万元）5.解：（1）过点D作DEAB于点E， 在RtBDE中，DE=AC=15m，BDE=30BE=DEtan301 50 58=8 70(m) AB=BE+AE=8 70m+1 6m=10 3m10m （2）小红和小强提出的方案都是可行的小红的方案：利用皮尺和标杆：（1）测量旗杆的影长AG（2）测量标杆EF的长度（3）测量同一时刻标杆影长FH 小强的方案：把小平面镜放在适当的位置（如图点P处），使得小强可以在镜中看到旗杆AB的顶端步骤：（1）测出AP的长度（2）测出NP的长度（3）测出小强眼睛离地面的高度MN 6.解： （1）拼接成的平行四边形是ABCD（如图3）；（2）正确图形（如图4）2011-3-29