最新八年级下册数学三角形证明总复习知识点教案学案练习4优秀名师资料.docx
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最新八年级下册数学三角形证明总复习知识点教案学案练习4优秀名师资料
八年级下册数学三角形证明总复习知识点教案学案练习4
1宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来
4专题《三角形证明总复习》
学员姓名科目:
数学年级:
课题三角形证明总复习
教学1、巩固三角形的基础知识，并提升考查
目标2、培养分析问题的能力，解决问题的能力
重点1、重点是全等三角形、等腰三角形、直角三角形等相关提升难点2、难点是分析实际问题考查的知识点，进而猜想辅助线的能力考点3、考查基础性质、定理、概念、计算、变形、证明等实际运用
2宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来
知识核心
1、全等三角形与等腰三角形知识回顾——复习
1、等腰?
ABC中，已知一个角为30?
，则其他两个角的度数是2、等腰三角形的一个角为100?
，则它的底角为（）
A.100?
B.40?
C.100?
或40?
D.不能确定
3、下列推理中，错误的是（）
A（?
?
A,?
B,?
C，?
?
ABC是等边三角形B（?
AB,AC，且?
B,?
C，?
?
ABC是等边三角形
C（?
?
A,60?
，?
B,60?
，?
?
ABC是等边三角形D（?
AB,AC，?
B,60?
，?
?
ABC是等边三角形4、已知，如图ΔABC中，AB,AC,D点在BC上，且BD,AD，DC,AC.将图中的等腰三角形全都写出来.并求?
B的度数.A
知识要点BCD知识点一:
与三角形全等相关的公理与推论
（1）与三角形全等相关的公理
?
对应相等的两个三角形全等（（SSS）
?
对应相等的两个三角形形全等（（SAS）
?
对应相等的两个三角形全等（（ASA）
?
全等三角形的相等、相等（
（2）与三角形全等相关的推论:
对应相等的两个三角形全等（（AAs）“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”是判定三角形全等的条件，
特别提示:
判定三角形全等的各组条件描述的都是一个三角形中的三个元素，处在特定位置时，与另一个三角形对应的三个元素相等时，才能判定这两个三角形全等，并且各组条件中至少有一个是边相等的条件。
知识点二:
等腰三角形
1、等腰三角形的性质定理
（1）定理:
等腰三角形的两个相等，可简述为“等边对等角”（
（2）推论:
等腰三角形顶角的、底边上的、底边上的互相重合，
可简述为“三线合一”（
特别提示:
（1）“等边对等角”为证明两角相等提供了一条证题途径，注意两角需在同一三角形中。
（2）等腰三角形“三线合一”定理包含三项，只要其中一项成立，其余两项都成立，例如，若知某线段为等腰三角形顶角的平分线，则该线段一定是这个等腰三角形底边上的中线与高，“三线合一”常用来证明两个角相等、线段相等或线段垂直。
2、等腰三角形的判定定理
定理:
有相等的三角形是等腰三角形，可以简述为“等角对等边”（特别提示:
（1）只有在同一个三角形中，才有“等角对等边”。
（2）“等角对等边”既可以判定等腰三角形，又可以为证线段相等的方法之一知识点三:
等边三角形
性质定理:
等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于度。
判定定理:
有一个角是等边三角形（
3宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来
特别提示:
（1）等边三角形具有特殊的轴对称性，三边的垂直平分线都是其对称轴，三边上都有“三线合一”的性质。
（2）判定一个三角形为等边三角形的方法有三个?
三边都相等的三角形是等边三角形;
?
三个角都相等的三角形是等边三角形;
?
有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形。
要根据题目条件、特征、灵活选择判定方法。
知识点四:
反证法
1、定义:
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结论，从而证明命题的结论成立，这种证明方法称为反证法。
2、反证法的一般步骤为:
先假高命题的结论不成立，然后从假设出发，用正确的推论方法，得出矛盾，从而肯定命题的结论成立。
特别提示:
（1）用反证法证题时，由于假设命题的结论不成立，就必须考虑结论的反面所有可能出现的情况。
（2）反证法是一种很重要的证明方法，当我们直接证明一个命题成立有困难时，就可以用反证法证明。
经典例题
类型一:
全等三角形
例1、（09深圳）如图9，四边形ABCD是正方形，BE?
BF，BE=BF，EF与BC交于点G。
DA
（1）求证:
?
ABE?
?
CBF;
（2）若?
ABE=50º，求?
EGC的大小。
E
GCB
F
图9变式:
（湖南长沙）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED（
（1）求证:
?
BEC?
?
DEC;
（2）延长BE交AD于F，当?
BED=120?
时，求?
EFD的度数（
例2、（10深圳）如图8，?
AOB和?
COD均为等腰直角三角形，
?
AOB,?
COD,90º，D在AB上（
（1）求证:
?
AOC?
?
BOD;
（2）若AD,1，BD,2，求CD的长（
A
D
C
BO
图8
类型二:
等腰、等边三角形
4宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来
例1、下列命题正确的是（）.
（A）等腰三角形是锐角三角形（B）两个等腰直角三角形全等（C）真命题的逆命题一定是真命题（D）等腰三角形两腰上的高相等变式1:
设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示他们之间关系的是（）
变式2:
具有下列条件的两个等腰三角形，不能判断它们全等的是（）
A.顶角、一腰对应相等B.底边、一腰对应相等
C.两腰对应相等D.一底角、底边对应相等
例2、如果等腰三角形的一个角是80?
，那么另外两个角是____________度。
变式1:
等腰三角形底角15?
，则等腰三角形的顶角、腰上的高与底边的夹角分别是____变式2:
?
ABC中，AB=AC，CD为AB上的高，?
ADC为等腰三角形，?
BCD为（）.（A）67.5?
（B）22.5?
（C）45?
（D）67.5?
或22.5?
变式3:
（深圳2010）9（如图1，?
ABC中，AC,AD,BD，
?
DAC,80º，则?
B的度数是（）
A（40ºB（35ºC（25ºD（20º
例3、如图1-C-6，在?
ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且DB=EC，求证:
?
BAD=?
CAE.
例4、如图，在?
ABC中，AD是中线，BF交AD、AC于点E、F，且AF=EF。
求证:
BE=AC.
例5、（安徽中考）已知;点O到?
ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC。
（1）如图
（1），若点O在边BC上，求证:
AB=AC;
（2）如图
（2），若点O在?
ABC的内部，求证:
AB=AC;
（3）若点O在?
ABC的外部，AB=AC成立吗,请画图表示。
例7、如图1，点C为线段AB上一点，?
ACM，?
CBN是等边三角形，直线AN，MB
5宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来
交于点F。
（1）求证:
AN=BM;
（2）求证:
?
CEF为等边三角形;（3）将?
ACM绕点C按逆时针方向旋转90?
，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第
（1）、
（2）两小题的结论是否仍然成立。
2、直角三角形与线段垂直平分线、角平分线知识回顾——复习
1、不能确定两个三角形全等的条件是（）
A、三条边对应相等B、两角和一条边对应相等
C、两条边及其夹角对应相等D、两条边和一条边所对的角对应相等2、某校计划修建一座既是中心对称又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、菱形等四种图案，你认为符合条件的是（）
A等腰三角形B等边三角形C等腰梯形D菱形3、用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60?
时，假设“
”，则与“”矛盾，所以原命题正确（
4、已知直角?
ABC中，AC=4，BC=2，则BC=。
5、常见勾股数有。
6、直角?
ABC中，?
A=90?
，?
B:
?
C=4:
6，则?
B=，?
C=。
7、如图，在?
ABC中，?
ACB=900，AB=5，BC=3，CD?
AB于点D，求CD的长。
知识要点
知识点一:
直角三角形
3、勾股定理及其逆定理定理:
直角三角形的的平方和等于的平方。
逆定理:
如果，那么这个三角形是直角三角形。
4、命题包括已知和结论两部分;逆命题是将命题的已知和结论交换;正确的逆命题就是逆定理。
5、直角三角形全等的判定定理
定理:
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。
（4）定理:
在直角三角形中，如果有一个角等于30?
，那么它所对的直角边等于的一半。
知识点二:
线段垂直平分线
（1）线段垂直平分线的性质及判定
性质:
线段垂直平分线上的点到的距离相等。
判定:
到一条线段距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
6宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来
（2）三角形三边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到的距离相等。
（外心）（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N;作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。
知识点三:
角平分线
（4）角平分线的性质及判定定理
性质:
角平分线上的点到的距离相等;
距离相等的点，在这个角的平分线上。
判定:
在一个角的内部，且到
（5）三角形三条角平分线的性质定理
性质:
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到的距离相等。
（内心）（3）如何用尺规作图法作出角平分线（略）
经典例题
类型一:
直角三角形
例1、下列条件中，
（1）一边及一锐角对应相等
（2）两锐角对应相等
（3）一条边对应相等（4）两条边对应相等能够证明两个直角三角形全等的条件有变式:
能确定两个三角形全等的条件是（）
A、三个角对应相等B、两角和一条边对应相等
C、两条边及一角对应相等D、两条边和一条边所对的角对应相等例2、如图1，?
ABC中，?
C=90?
，E为AB的中点,DE?
AB于E，?
CAD:
?
DAB=2:
5，则?
B=。
变式:
?
ABC中，?
C=90?
，?
A=30?
，BD平分?
B且交于AC于点D,AC=1，则AD=.例3、已知:
如图3，?
ABC是边长为2cm的等边三角形，延长CB到D，使BD=BC，延长BC至E使CE=BC，则C?
ADE=。
变式1:
如图2，?
ABC中，?
ACB=90?
，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF?
AE于F，过B作BD?
BC交CF的延长线于D,若AB=12cm,则BD=cm.变式2:
已知等腰三角形的腰长为10cm，一腰上的高为5cm，则这个等腰三角形的顶角为.例4、图1-C-21,折叠矩形ABCD,使点D与BC边上的点F重合,已知矩形的长为10,宽为6,则BF=.DE=.
变式:
如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知:
AB=8cm，BC=10cm，则?
EFC的周长=____________cm。
7宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来
例4变式
例5、已知:
在四边形ABCD中，?
D=90?
，DC=3cm，AD=4cm，AB=12cm，BC=13cm.求四边形ABCD的面积.D34
AC
1213
BC00变式:
如图，，AB=AD=8，，四边形的周长为32，求BC和CD的长。
，A,60，D,150D
AB
ABCABCAB,10cm例6、如图，?
是等边三角形中，.求高的长和?
的面积.AD
变式:
在Rt?
ABC中,?
C=90?
D是BC边上一点,且BD=AD=10,?
ADC=60?
求?
ABC的面积.
类型二:
线段垂直平分线与角平分线
例1
（1）如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）
A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定
（2）已知，如图，在?
ABC中，OB和OC分别平分?
ABC和?
ACB，过O作DE?
BC分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE,5，则线段DE的长为（）
A.5B.6C.7D.8（3）如图所示，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A、AB、BC两边高线的交点处B、AC、BC两边中线的交点处C、AC、BC两边垂直平分线的交点处D、?
A、?
B的平分线交点处
（2）（3）变式1变式:
如图所示，?
ABC中，?
C=90?
，DE是AB的中垂线，AB=2AC，BC=18cm，则BE的长度为.
例2、如图，?
ACB=90?
，BC=1，?
A=30?
，D为AB中点，DE?
AC于E，求?
CED的周长。
8宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来
变式2:
如图，在?
ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，?
ABC和?
DBC的周长分别是60cm和38cm，求AB、BC。
例3、三角形中到三边的距离相等的点是（）C
D（3）三条边的垂直平分线的交点B.三条高的交点
BA（4）C.三条中线的交点D.三条角平分线的交点
变式:
如图,在Rt?
ABC中,?
C=90?
AD的平分?
BAC,?
BAD=20?
则?
B的度数为（）A.40?
B.30?
C.60?
D.50?
例4、已知:
如图，CE?
AB，BF?
AC，CE与BF相交于D，且BD=CD.求证:
D在?
BAC的平分线上.
00例5、如图，在?
ABC中，?
BAC=40，?
C=80，BE是?
ABC的一条角平分线，DE?
BC,求?
BEC的度数。
A
DE
BC
O变式:
如图，AE是?
ABC的角平分线，?
B=?
BAC，?
C=30，求?
BAE的度数。
A
BCE类型二:
综合题型
例1、如图1-C-27，?
ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE，求证:
AH=2BD。
1.正切：
0例2、如图1-C-29，OC是?
AOB的平分线，点P为OC上一点，若?
PDO+?
PEO=180，试判断PD和PE的大小关系，并说明理由。
（2）交点式：
y=a（x-x1）（x-x2）9宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来
培优操练
2.点与圆的位置关系及其数量特征：
简单思索、已知:
如图，D是?
ABC中BC边上一点，EB=EC，?
ABE=?
ACE，
（1）一般式：
求证:
?
BAE=?
CAE.
证明:
在?
AEB和?
AEC中，
⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。
EB,EC,,，ABE,，ACE,
推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.,AE,AE,
?
?
AEB?
?
AEC（第一步）
?
?
BAE=?
CAE（第二步）
问:
上面证明过程是否正确,若正确，请写出每一步推理根据;若不正确，请指出错在哪一步,如图，在Rt?
ABC中，AB,AC，AD?
BC，垂足为D（E、F分别是CD、AD上的点，且CE,AF（如果?
AED,62º，
7.三角形的外接圆、三角形的外心。
求?
DBF的度数。
如图,?
ABC的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13,将?
ABC沿AD折叠，使AC落在AB上.与E点重合。
（1）试判断?
ABC的形状，并说明理由.
（2）求折痕AD的长.
二次方程的两个实数根如图1，已知?
ABC中，AB,BC,1，?
ABC,90?
，把一块含30?
角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.
（1）在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N.?
说明DM,DN;?
在这一过程中，直角三角板DEF与?
ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化,若发生变化，请说明是如何变化的,若不发生变化，求出其面积.
（2）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM,DN是否仍然成立,若成立，请给出理由;若不成立，请说明理由.
13.1—3.4入学教育1加与减
（一）1P2-3（3）继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM,DN是否仍然成立,若成立，请给出结论，不用说明理由.
10宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来
AAF
DDMNABCECEBDNMMFE图2CBN图1图3F
③弓形：
弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。
11宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来
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