最新八年级下册数学三角形证明总复习知识点教案学案练习4优秀名师资料.docx

1、最新八年级下册数学三角形证明总复习知识点教案学案练习4优秀名师资料八年级下册数学三角形证明总复习知识点教案学案练习41 宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来 4专题三角形证明总复习 学员姓名 科目:数学 年级: 课 题 三角形证明总复习 教 学 1、巩固三角形的基础知识，并提升考查 目 标 2、培养分析问题的能力，解决问题的能力 重 点 1、重点是全等三角形、等腰三角形、直角三角形等相关提升 难 点 2、难点是分析实际问题考查的知识点，进而猜想辅助线的能力 考 点 3、考查基础性质、定理、概念、计算、变形、证明等实际运用 2 宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来 知识核心 1、全等三角形与等腰三角形 知识

2、回顾复习 1、等腰?ABC中，已知一个角为30?，则其他两个角的度数是 2、等腰三角形的一个角为100?，则它的底角为( ) A.100? B.40? C.100?或40? D.不能确定 3、下列推理中，错误的是 ( ) A(?A,?B,?C，?ABC是等边三角形 B(?AB,AC，且?B,?C，?ABC是等边三角形 C(?A,60?，?B,60?，?ABC是等边三角形 D(?AB,AC，?B,60?，?ABC是等边三角形 4、已知，如图ABC中，AB,AC,D点在BC上，且BD,AD，DC,AC.将图中的等腰 三角形全都写出来.并求?B的度数. A知识要点BCD知识点一:与三角形全等相关的公

3、理与推论 (1)与三角形全等相关的公理 ? 对应相等的两个三角形全等(SSS) ? 对应相等的两个三角形形全等(SAS) ? 对应相等的两个三角形全等(ASA) ?全等三角形的 相等、 相等( (2)与三角形全等相关的推论: 对应相等的两个三角形全等(AAs) “SSS”“SAS”“ASA”“AAS”是判定三角形全等的条件， 特别提示:判定三角形全等的各组条件描述的都是一个三角形中的三个元素，处在特定 位置时，与另一个三角形对应的三个元素相等时，才能判定这两个三角形全等，并且各 组条件中至少有一个是边相等的条件。 知识点二:等腰三角形 1、等腰三角形的性质定理 (1)定理:等腰三角形的两个 相

4、等，可简述为“等边对等角”( (2)推论:等腰三角形顶角的 、底边上的 、底边上的 互相重合， 可简述为“三线合一”( 特别提示: (1)“等边对等角”为证明两角相等提供了一条证题途径，注意两角需在同一三角形中。 (2)等腰三角形“三线合一”定理包含三项，只要其中一项成立，其余两项都成立， 例如，若知某线段为等腰三角形顶角的平分线，则该线段一定是这个等腰三角形底边上 的中线与高，“三线合一”常用来证明两个角相等、线段相等或线段垂直。 2、等腰三角形的判定定理 定理:有 相等的三角形是等腰三角形，可以简述为“等角对等边”( 特别提示:(1)只有在同一个三角形中，才有“等角对等边”。 (2)“等角

5、对等边”既可以判定等腰三角形，又可以为证线段相等的方法之一 知识点三:等边三角形 性质定理:等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 度。 判定定理:有一个角 是等边三角形( 3 宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来 特别提示: (1)等边三角形具有特殊的轴对称性，三边的垂直平分线都是其对称轴， 三边上都有“三线合一”的性质。 (2)判定一个三角形为等边三角形的方法有三个 ?三边都相等的三角形是等边三角形; ?三个角都相等的三角形是等边三角形; ?有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形。 要根据题目条件、特征、灵活选择判定方法。 知识点四:反证法 1、定义:在证明时，先假设命题的结论不成立，然

6、后推导出与定义、公理、已证定理 或已知条件相矛盾的结论，从而证明命题的结论成立，这种证明方法称为反证法。 2、反证法的一般步骤为:先假高命题的结论不成立，然后从假设出发，用正确的推论 方法，得出矛盾，从而肯定命题的结论成立。 特别提示: (1)用反证法证题时，由于假设命题的结论不成立，就必须考虑结论的反 面所有可能出现的情况。 (2)反证法是一种很重要的证明方法，当我们直接证明一个 命题成立有困难时，就可以用反证法证明。 经典例题 类型一:全等三角形 例1、(09深圳)如图9，四边形ABCD是正方形，BE?BF，BE=BF， EF与BC交于点G。 D A (1)求证:?ABE?CBF; (2)

7、若?ABE=50，求?EGC的大小。 E G C B F 图9 变式:(湖南长沙)在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED( (1)求证:?BEC?DEC; (2)延长BE交AD于F，当?BED=120?时，求?EFD的度数( 例2、(10深圳)如图8，?AOB和?COD均为等腰直角三角形， ?AOB,?COD,90，D在AB上( (1)求证:?AOC?BOD; (2)若AD,1，BD,2，求CD的长( A D C B O 图8 类型二:等腰、等边三角形 4 宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来 例1、下列命题正确的是( ). (A)等腰三角形是锐角三角形 (B)两个等腰直角

8、三角形全等 (C)真命题的逆命题一定是真命题 (D)等腰三角形两腰上的高相等 变式1:设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直 角三角形，则下列四个图中，能表示他们之间关系的是( ) 变式2:具有下列条件的两个等腰三角形，不能判断它们全等的是( ) A. 顶角、一腰对应相等 B. 底边、一腰对应相等 C. 两腰对应相等 D. 一底角、底边对应相等 例2、如果等腰三角形的一个角是80?，那么另外两个角是_ _度。 变式1:等腰三角形底角15?，则等腰三角形的顶角、腰上的高与底边的夹角分别是_ 变式2:?ABC中，AB=AC，CD为AB上的高，?ADC为等腰三角形，?B

9、CD为( ). (A)67.5? (B)22.5? (C)45? (D)67.5?或22.5? 变式3:(深圳2010)9(如图1，?ABC中，AC,AD,BD， ?DAC,80，则?B的度数是( ) A(40 B(35 C(25 D(20 例3、如图1-C-6，在?ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且DB=EC， 求证:?BAD=?CAE. 例4、如图，在?ABC中，AD是中线，BF交AD、AC于点E、F，且AF=EF。求证:BE=AC. 例5、(安徽中考)已知;点O到?ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC。 (1)如图(1)，若点O在边BC上，求证:AB=AC; (

10、2)如图(2)，若点O在?ABC的内部，求证:AB=AC; (3)若点O在?ABC的外部，AB=AC成立吗,请画图表示。 例7、如图1，点C为线段AB上一点，?ACM，?CBN是等边三角形，直线AN，MB 5 宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来 交于点F。 (1)求证:AN=BM; (2)求证:?CEF为等边三角形; (3)将?ACM绕点C按逆时针方向旋转90?，其他条件不变，在图2中补出符合要求 的图形，并判断第(1)、(2)两小题的结论是否仍然成立。 2、直角三角形与线段垂直平分线、角平分线 知识回顾复习 1、不能确定两个三角形全等的条件是 ( ) A、三条边对应相等 B、两角和一条边对应相等

11、 C、两条边及其夹角对应相等 D、两条边和一条边所对的角对应相等 2、某校计划修建一座既是中心对称又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案 有等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、菱形等四种图案，你认为符合条件的是( ) A等腰三角形 B等边三角形 C等腰梯形 D菱形 3、用反证法证明 “三角形中至少有一个角不小于60?时，假设“ ”，则与“ ”矛盾，所以原命题正确( 4、已知直角?ABC中，AC=4，BC=2，则BC= 。 5、常见勾股数有 。 6、直角?ABC中，?A=90?，?B:?C=4:6，则?B= ，?C= 。 7、如图，在?ABC中，?ACB=900 ，AB=5，BC=3，CD

12、?AB于点D，求CD的长。 知识要点知识点一:直角三角形 3、勾股定理及其逆定理 定理:直角三角形的 的平方和等于 的平方。 逆定理:如果 ，那么这个三角形是直角三角形。 4、命题包括已知和结论两部分;逆命题是将命题的已知和结论交换;正确的逆命题就是逆定理。 5、直角三角形全等的判定定理 定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。 (4)定理:在直角三角形中，如果有一个角等于30?，那么它所对的直角边等于 的一半。 知识点二:线段垂直平分线 (1)线段垂直平分线的性质及判定 性质:线段垂直平分线上的点到 的距离相等。 判定:到一条线段 距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

13、6 宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来 (2)三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到 的距离相等。(外心) (3)如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以 大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N;作直线MN，则直线MN就是线段 AB的垂直平分线。 知识点三:角平分线 (4)角平分线的性质及判定定理 性质:角平分线上的点到 的距离相等; 距离相等的点，在这个角的平分线上。 判定:在一个角的内部，且到 (5)三角形三条角平分线的性质定理 性质:三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到 的距离相等。(内心) (3)如何用尺

14、规作图法作出角平分线(略) 经典例题 类型一:直角三角形 例1、下列条件中，(1)一边及一锐角对应相等 (2)两锐角对应相等 (3)一条边对应相等 (4)两条边对应相等 能够证明两个直角三角形全等的条件有 变式:能确定两个三角形全等的条件是 ( ) A、三个角对应相等 B、两角和一条边对应相等 C、两条边及一角对应相等 D、两条边和一条边所对的角对应相等 例2、如图1，?ABC中，?C=90?，E为AB的中点,DE?AB 于E，?CAD:?DAB=2:5，则?B= 。 变式:?ABC中，?C=90?，?A=30?，BD平分?B且交于AC于点D,AC=1，则AD= . 例3、已知:如图3，?AB

15、C是边长为2cm的等边三角形，延长CB到D，使BD=BC， 延长BC至E 使CE=BC，则C?ADE= 。 变式1:如图2，?ABC中，?ACB=90?，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作 CF?AE于F，过B作BD?BC交CF的延长线于D ,若AB=12cm,则BD= cm. 变式2:已知等腰三角形的腰长为10cm，一腰上的高为5cm，则这个等腰三角形的顶角为 . 例4、图1-C-21,折叠矩形ABCD,使点D与BC边上的点F重合,已知矩形的长为 10,宽为6,则BF= . DE= . 变式:如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知:AB=8cm， BC=10cm，则?

16、EFC的周长=_cm。 7 宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来 例4变式 例5、已知:在四边形ABCD中，?D = 90?，DC = 3cm，AD = 4cm，AB = 12cm， BC = 13cm.求四边形ABCD的面积. D 3 4 A C 12 13 B C00变式:如图，AB=AD=8，四边形的周长为32，求BC和CD的长。 ，A,60，D,150DABABCABCAB,10cm例6、如图，?是等边三角形中，. 求高的长和?的面积. AD变式:在Rt?ABC中,?C=90? ,D是BC边上一点,且BD=AD=10, ?ADC=60?, 求?ABC的面积. 类型二:线段垂直平分线与角平分线

17、 例1(1)如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 (2)已知，如图，在?ABC中，OB和OC分别平分?ABC和?ACB，过O作DE?BC 分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE,5，则线段DE的长为 ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 (3)如图所示，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间建一 个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( ) A、AB、BC两边高线的交点处 B、AC、BC两边中线的交点处 C、AC、BC两边垂直平分线的交点处 D

18、、?A、?B的平分线交点处 (2) (3) 变式1 变式:如图所示，?ABC中，?C=90?，DE是AB的中垂线，AB=2AC，BC=18cm， 则BE的长度为 . 例2、如图，?ACB=90?，BC=1，?A=30?，D为AB中点，DE?AC于E， 求?CED的周长。 8 宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来 变式2:如图，在?ABC中，AB = AC，AB的垂直平分线交AC于D，?ABC和 ?DBC的周长分别是60cm和38cm，求AB、BC。 例3、三角形中到三边的距离相等的点是( ) CD(3)三条边的垂直平分线的交点 B.三条高的交点 BA(4) C.三条中线的交点 D.三条角平分线的交点

19、 变式:如图,在Rt?ABC中,?C=90?AD的平分?BAC, ?BAD=20?,则?B的度数为( ) A. 40? B. 30? C. 60? D. 50? 例4、已知:如图，CE?AB，BF?AC，CE与BF相交于D，且BD=CD.求证:D在 ?BAC的平分线上. 00例5、如图，在?ABC中，?BAC=40，?C=80，BE是?ABC的一条角平分线，DE?BC, 求?BEC的度数。 ADE BC O变式:如图，AE是?ABC的角平分线，?B=?BAC， ?C=30，求?BAE的度数。 A BCE类型二:综合题型 例1、如图1-C-27，?ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们相交于

20、点H，且AE=BE，求证:AH=2BD。 1.正切：0例2、如图1-C-29，OC是?AOB的平分线，点P为OC上一点，若?PDO+?PEO=180 ， 试判断PD和PE的大小关系，并说明理由。 （2）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)9 宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来 培优操练 2.点与圆的位置关系及其数量特征：简单思索、已知:如图，D是?ABC中BC边上一点，EB=EC，?ABE=?ACE， （1）一般式：求证:?BAE=?CAE. 证明:在?AEB和?AEC中， tanA的值越大，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，tanA的值越大。EB,EC, ，ABE,，ACE,推论1 经过圆心

21、且垂直于切线的直线必经过切点.,AE,AE,?AEB?AEC(第一步) ?BAE=?CAE(第二步) 问:上面证明过程是否正确,若正确，请写出每一步推理根据;若不正确，请指出错在哪一步, 如图，在Rt?ABC中，AB,AC，AD?BC，垂足为D(E、F分别是CD、AD上的点，且CE,AF(如果?AED,62，7.三角形的外接圆、三角形的外心。求?DBF的度数。 如图, ?ABC的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13, 将?ABC沿AD折叠，使AC落在AB上.与E点重合。 (1)试判断?ABC的形状，并说明理由.(2)求折痕AD的长. 二次方程的两个实数根如图1，已知?ABC中，AB,BC

22、,1，?ABC,90?，把一块含30?角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转. (1)在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N.?说明DM,DN;?在这一过程中，直角三角板DEF与?ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化,若发生变化，请说明是如何变化的,若不发生变化，求出其面积. (2)继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM,DN是否仍然成立,若成立，请给出理由;若不成立，请说明理由. 1 3.13.4 入学教育1 加与减（一）1 P2-3(3)继续旋转至如图3的位 置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM,DN是否仍然成立,若成立，请给出结论，不用说明理由. 10 宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来 AAFDDMNABCECEBDNMMFE图2 CBN图1 图3 F 弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。11 宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来