小升初奥数知识点汇总.docx

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小升初奥数知识点汇总

小升初奥数知识点讲解汇总

1、年龄问题的三大特征

　　年龄问题：

已知两人的年龄，求若干年前或若干年后两人年龄之间倍数关系的应用题，叫做年龄问题。

　　年龄问题的三个基本特征：

　①两个人的年龄差是不变的;②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;③两个人的年龄的倍数是发生变化的;

　　解题规律：

抓住年龄差是个不变的数（常数），而倍数却是每年都在变化的这个关键。

　　例：

父亲今年54岁，儿子今年18岁，几年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍?

　　⑴父子年龄的差是多少?

　　54–18=36（岁）

　　⑵几年前父亲年龄比儿子年龄大几倍?

　　7-1=6

　　⑶几年前儿子多少岁?

　　36÷6=6（岁）

　　⑷几年前父亲年龄是儿子年龄的7倍?

　　18–6=12（年）

　　答：

12年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍。

　　2、归一问题特点

　　归一问题的基本特点：

问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。

　　关键问题：

根据题目中的条件确定并求出单一量;复合应用题中的某些问题，解题时需先根据已知条件，求出一个单位量的数值，如单位面积的产量、单位时间的工作量、单位物品的价格、单位时间所行的距离等等，然后，再根据题中的条件和问题求出结果。

这样的应用题就叫做归一问题，这种解题方法叫做“归一法”。

有些归一问题可以采取同类数量之间进行倍数比较的方法进行解答，这种方法叫做倍比法。

　　由上所述，解答归一问题的关键是求出单位量的数值，再根据题中“照这样计算”、“用同样的速度”等句子的含义，抓准题中数量的对应关系，列出算式，求得问题的解决。

　3、植树问题总结

　　植树问题

　　基本类型：

　　在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树

　　在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树

　　在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树

　　封闭曲线上植树

　　基本公式：

　　棵数=段数+1

　　棵距×段数=总长

　　棵数=段数-1

　　棵距×段数=总长

　　棵数=段数

　　棵距×段数=总长

　　关键问题：

确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系

　　4、鸡兔同笼问题

　　基本概念：

鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来;

　　基本思路：

　　①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：

　　②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少;

　　③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因;

　　④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。

　　基本公式：

　　①把所有鸡假设成兔子：

鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）

　　②把所有兔子假设成鸡：

兔数=（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）

　　关键问题：

找出总量的差与单位量的差。

5、盈亏问题

　　基本概念：

一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：

按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量.

　　基本思路：

先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量.

　　基本题型：

　　①一次有余数，另一次不足;

　　基本公式：

总份数=（余数+不足数）÷两次每份数的差

　　②当两次都有余数;

　　基本公式：

总份数=（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差

　　③当两次都不足;

　　基本公式：

总份数=（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差

　　基本特点：

对象总量和总的组数是不变的。

　　关键问题：

确定对象总量和总的组数。

　　6、牛吃草问题

　　基本思路：

假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。

　　基本特点：

原草量和新草生长速度是不变的;

　　关键问题：

确定两个不变的量。

　　基本公式：

　　生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）;

　　总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量;

7、平均数问题

　　平均数

　　基本公式：

①平均数=总数量÷总份数

　　总数量=平均数×总份数

　　总份数=总数量÷平均数

　　②平均数=基准数+每一个数与基准数差的和÷总份数

　　基本算法：

　　①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.

　　②基准数法：

根据给出的数之间的关系，确定一个基准数;一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数;以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差;再求出所有差的和;再求出这些差的平均数;最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②

　　8、周期循环数

　　周期循环与数表规律

　　周期现象：

事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。

　　周期：

我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。

　　关键问题：

确定循环周期。

　　闰年：

一年有366天;

　　①年份能被4整除;②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除;

　　平年：

一年有365天。

　　①年份不能被4整除;②如果年份能被100整除，但不能被400整除;

9、抽屉原理

　　抽屉原则一：

如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。

　　例：

把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：

　　①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1

　　观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：

总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。

　　抽屉原则二：

如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有:

　　①k=[n/m]+1个物体：

当n不能被m整除时。

　　②k=n/m个物体：

当n能被m整除时。

　　理解知识点：

[X]表示不超过X的最大整数。

　　例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;

　　关键问题：

构造物体和抽屉。

也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。

　　10、定义新运算

　　基本概念：

定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

　　基本思路：

严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

　　关键问题：

正确理解定义的运算符号的意义。

　　注意事项：

①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

　　②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

11、数列求和

　　等差数列：

在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。

　　基本概念：

首项：

等差数列的第一个数，一般用a1表示;

　　项数：

等差数列的所有数的个数，一般用n表示;

　　公差：

数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示;

　　通项：

表示数列中每一个数的公式，一般用an表示;

　　数列的和：

这一数列全部数字的和，一般用Sn表示.

　　基本思路：

等差数列中涉及五个量：

a1,an,d,n,sn,,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个;求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。

　　基本公式：

通项公式：

an=a1+（n-1）d;

　　通项=首项+（项数一1）×公差;

　　数列和公式：

sn,=（a1+an）×n÷2;

　　数列和=（首项+末项）×项数÷2;

　　项数公式：

n=（an+a1）÷d+1;

　　项数=（末项-首项）÷公差+1;

　　公差公式：

d=（an-a1））÷（n-1）;

　　公差=（末项-首项）÷（项数-1）;

　　关键问题：

确定已知量和未知量，确定使用的公式;

　　12、二进制及其应用

　　十进制：

用0～9十个数字表示，逢10进1;不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。

所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。

　　=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100

　　注意：

N0=1;N1=N（其中N是任意自然数）

　　二进制：

用0～1两个数字表示，逢2进1;不同数位上的数字表示不同的含义。

（2）=An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7

　　+……+A3×22+A2×21+A1×20

　　注意：

An不是0就是1。

　　十进制化成二进制：

　　①根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。

　　②先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2的n次方，依此方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出。

　13、加法原理

　　加法乘法原理和几何计数

　　加法原理：

如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：

m1+m2.......+mn种不同的方法。

　　关键问题：

确定工作的分类方法。

　　基本特征：

每一种方法都可完成任务。

　　乘法原理：

如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：

m1×m2.......×mn种不同的方法。

　　关键问题：

确定工作的完成步骤。

　　基本特征：

每一步只能完成任务的一部分。

　　直线：

一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。

　　直线特点：

没有端点，没有长度。

　　线段：

直线上任意两点间的距离。

这两点叫端点。

　　线段特点：

有两个端点，有长度。

　　射线：

把直线的一端无限延长。

　　射线特点：

只有一个端点;没有长度。

　　①数线段规律：

总数=1+2+3+…+（点数一1）;

　　②数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）;

　　③数长方形规律：

个数=长的线段数×宽的线段数：

　　④数长方形规律：

个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数

　　14、质数与合数

　　质数：

一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。

　　合数：

一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。

　　质因数：

如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。

　　分解质因数：

把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

通常用短除法分解质因数。

任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。

　　分解质因数的标准表示形式：

N=，其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数，且a1

<>

　　求约数个数的公式：

P=（r1+1）×（r2+1）×（r3+1）×……×（rn+1）

　　互质数：

如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。

15、约数与倍数

　　约数和倍数：

若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

　　公约数：

几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数;其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

　　最大公约数的性质：

　　1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。

　　2、几个数的最