初等数论第四章同余式.docx

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初等数论第四章同余式

第四章同余式

§1基本概念及一次同余式

同余式的解法

1、代入法（适用于模较小时）

2、公式法（适用于模较小时）

3、变换系数法

4、换模法

5、辗转相除法

§2孙子定理

本节讨论同余式组

的求解问题。

定理1之所以称为“孙子定理”，因为在我国古代的数学著作《孙子算经》（纪元前后）中已经提出了这种形式的问题，并且很好地解决了它。

孙子定理在国外文献和教科书中均称为“中国剩余定理”，并且在代数学中被推广成非常一般的形式。

《孙子算经》中所提出的问题之一如下：

今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何答曰：

二十三。

用现在的记号，上述问题相当于求解同余式组

。

《孙子算经》中所用的方法可以列表如下：

除数

余数

最小公倍数

衍数

乘率

各总

答数

最小答数

3

2

3×5

×7=105

5×7

2

35×2×2

140+63

+30=233

233-

105×2=23

5

3

7×3

1

21×1×3

7

2

3×5

1

15×1×2

程大位在《算法统宗》（1593）中将这一问题的算法总结成如下歌诀：

三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆半个月，除百零五便得知。

推广为一般的列表算法：

除数

余数

最小公倍数

衍数

乘率

各总

答数

m1

b1

m=m1m2…mk

M1

M1’

M1M1’b1

m2

b2

M2

M2’

M2M2’b2

…

…

…

…

…

mk

bk

Mk

Mk’

MkMk’bk

§3质数模的同余式

质数模同余式

的具体解法：

1、简化同余式，一般考虑以下简化方法：

（1）若f（x）的系数中有大于p的数，则可将其化到小于p；

（2）若

，则可用

去除f（x），则可得到一个次数较低的与原同余式等价的同余式；

（3）若f（x）关于模p有一个或几个因式，则也可将原同余式的次数降低；

（4）若f（x）已知有一解或几解，则可析出因式将次数降低。

2、将模的完全剩余系中的数逐一代入同余式，检验即可得解。

§4高次同余式的解法