华师版《证明》教材详解.docx

华师版《证明》教材详解.docx

《华师版《证明》教材详解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《华师版《证明》教材详解.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

华师版《证明》教材详解

第27章证明

27﹒1证明的再认识

{情景感知}

这是一个直角三角形，∠A、∠B、∠C是它的三个内角，平时，它们三兄弟非常团结。

可是，有一天∠A突然不高兴了，发起脾气来，它指着∠B说：

“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！

”“不行啊，老弟。

”∠B说：

“不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？

”∠A很纳闷。

你们知道其中的道理吗？

（如图27-1-1）

1、三角形内角和为180°，以前是通过观察得到的，为了精确无误，请你用本节所学数学知识加以证明。

2、想知道三兄弟间还有什么特殊关系吗？

那就认真学习吧！

{教材全解}

知识点一：

逻辑推理的原始依据（公理）

请记住如下公理：

⑴一条直线截两条平行直线所得的同位角相等。

用符号语言表示：

已知直线a，直线b，且a∥b，直线c,且c分别与a,b相交于A、B，如图

27－1－2所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8。

⑵两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

说明：

两条直线被第三条直线所截，明确哪些角是同位角，是理解此公理的关键。

用符号语言表示，已知直线a、b、c，且直线c与直线a,b分别相交于A,B如图27－1－2所示，如果∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6或∠7＝∠8，那么a∥b.

⑶如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别对应相等，那么这两个三角形全等。

用符号语言表示，已知如图27－1－3所示，△ABC和△DEF,∠B=∠E,AB=DE,∠A=∠D,

结论：

△ABC≌△DEF（ASA）

已知如图27－1－4所示，△ABC和△DEF，AB=DE,AC=DF,BC=EF,结论：

△ABC≌△DEF

（SSS）

⑷全等三角形的对应边、对应角分别相等。

用符号语言表示：

已知如图27－1－5所示：

△ABC≌△DEF

结论：

AB=DE,AC=DF,BC=EF,∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F

说明：

在给定的条件下，找准对应边和对应角是使用此公理的关键。

知识点二：

三角形的内角和定理及其证明

三角形内角和等于180°

分析：

要证明这一结论，就要利用化归思想，考虑一下前面学过的与180°相关的结论：

①平角②邻补角③两直线平行同旁内角互补。

故可以从三个方向考虑。

①构造平角

证法一：

如图27-1-6,过点A作直线MN∥BC,

∴∠1=∠B∠2＝∠C

又∵∠1＋∠BAC＋∠2＝∠MAN＝180°

∴∠BAC＋∠B＋∠C＝180°

②邻补角

证法二：

如图27-1-7，过BC上一点，D作DF∥AC交AB于点F,作DE∥AB交AC于E,则∠1＝∠C，∠2＝∠B,∠3＝∠4＝∠A,

∴∠A＋∠B＋∠C＝∠1＋∠2＋∠3＝180°

③两直线平行同旁内角互补

证法三：

如图27-1-8过C点作射线CD∥AB,

∴∠1＝∠A，∠B＋∠BCA＋∠1＝180°

∴∠B＋∠BCA＋∠A＝180°

由“三角形内角和”定理，还可得到以下结论：

⑴n边形的内角和等于（n－2）×180°；任意多边形的外角和等于360°

⑵三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

⑶直角三角形的两个锐角互余。

例1、用下列方法探索n边形内角和如图27－1－9所示：

当n＝4时，内角和为：

3×180°－180°＝（3－1）×180°＝（4－2）×180°；

当n＝5时，内角和为：

4×180°－180°＝（4－1）×180°＝（5－2）×180°；

当n＝5时，内角和为：

5×180°－180°＝（5－1）×180°＝（6－2）×180°；

当n＝6时，内角和为：

＝＝（7－2）×180°；

…

当边数为n时，内角和为；

求当n＝100时，内角和为。

解：

本题是三角形内角和定理的一个应用，体现了化归思想在解题过程中的重要作用；它从一条边上的顶点出发与不相邻的顶点相连，将多边形分成（n－1）个三角形，总内角和为180（n—1）。

由于在180（n－1）中还有一平角不是多边形的内角，所以内角和为180（n－1）－180°＝180（n－2），详细过程为：

当n＝6时，六边形被分成了n－1＝5个三角形，总度数为5×180°

∴内角和为5×180°－180°＝（5－1）×180°＝（6－2）180°

当边数为n时，多边形被分成了（n－1）个三角形总度数为（n－1）180°

∴内角和为（n－1）×180°－180°＝（n－1－1）×180°＝（n－2）180°

当n＝100时，内角和为98×180°＝17640°

答案：

⑴当n＝6时，内角和为5×180°－180°＝（6－2）×180°

⑵当n＝n时内角和为（n－1）×180°－180°＝（n－1－1）×180°＝（n－2）180°

当n＝100时，内角和为17640°

点拨：

在这一类寻找规律的问题中，要弄明白的是分点在何处，多边形被分成了多少个不重叠的三角形，哪个度数不是多边形的内角和。

例如本题分点在一条边上，多边形被分成了（n—1）个三角形，有一个平角不属于多边形的内角和，再如在图27－1－10中

分点O在图形内部，共将四边形分成了4个三角形，其中有一周角不属于内角和，所以四边形的内角和为4×180°－360°＝360°

【误区警示】n边形的内角和可有许多证明方法，但每种证明方法都需要将多边形分割，利用三角形内角和证明，这就要求我们一定要查明白能分成几个三角形。

这些三角形公共顶点在何处，这样才能万无一失。

【能力提高】

1、易错易混题

从近几年中考命题看出现易混易错的题原因主要有以下几个方面：

①基础知识掌握不扎实（如例2）。

②题目理解不透彻。

（如例3）。

③没有注意题目答案不唯一。

（如例4）等面对2006年中考应加强这些方面的研究，注意象三角形三边关系、内角和定理、角的互余与互补、平行线的判定定理等一系列简单的基础知识的学习。

例2：

（2004青海）如图直线AB,CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE,

∠1=15°30′,则下列结论中不正确的是（）

A.∠2=45°B.∠1=∠3.C.∠AOD与∠1互为补角D．∠1的余角是75°30′

解：

①∵OE⊥AB

∴∠2=45°（A正确）

②∵∠1与∠3对顶角

∴∠1＝∠3（B正确）

③从图上易得∠AOD与∠1互为补角。

（C正确）

④∠1的余角是65°30′（D错误）

答案：

D

点拨：

做题过程中往往忽略最基本的知识，如将互余想成是和为100°，

或将75°30′＋15°30′，计算成90°等，都是常见错误。

例3．（2003河北）一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（）

A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°

B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°

C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130°

D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°。

解：

本题创设了一个真实的问题，要使经过两次拐弯后，汽车行驶的方向原来的方向相同，就得保证原来、现在的行驶方向是两条平行线，且方向一致。

本题旨在考查平行线的判定与空间观念，解题时可根据选项中两次拐弯的角度画出汽车行驶的方向，再判定其是否相同，应选A.

答：

A。

点拨：

这类题除了要对平行线的判定熟知外还要求我们有一定的空间观念，知道这个度数是前进方向和拐弯方向的夹角，否则，选B、C、D的可能性也是有的。

例4：

已知∠ABC的边BA、BC分别与∠DEF的边ED、EF垂直，垂足分别为M、N,若∠ABC=50°,求∠DEF的度数。

分析根据题意正确地画出图形是解决本题的关键，符合条件的图形可画出两种。

解：

⑴如图27－1－12①

∵DE⊥AB,EF⊥BC,

∴∠EMB=∠ENB=90°

∵∠EMB+∠B+∠DEF=360°,

又∵∠B=50°

∴∠DEF=360°-90°-90°-50°=130°

（2）27－1－12②

∵DE⊥AB,EF⊥BC,

∴∠EMB=∠ENB=90°

∵∠DEO+∠EMB+∠EOM=180°,∠BNO+∠B+∠BON=180°

∴∠DEO+∠EMB+∠EOM=∠BNO+∠B+∠BON

又∵∠EOM＝∠BON,∴∠B=∠E

而∠B＝50°∴∠DEF=50°

答案：

∠DEF＝130°或50°

点拨：

⑴没有给出图形的题目，首先一定要根据题意正确地画出图形，再解答。

⑵此题中符合条件的图形有两种，要考虑周全，不能漏解。

这也是这类题目常出错的关键所在。

⑶由此题可知，一个角的两边与另一个角的两边互相垂直，则两角相等或互补。

2、综合创新题

本部分的综合创新主要表现在①多个知识点的综合应用（如三角形与四边形的结合、与圆的结合、与折叠、对称等等的结合等）。

②与邻近学科的有机结合（如在物理上、化学上的应用等）。

③题目呈现方式的新款多样。

我们在以后的学习中要注意知识的这种前后联系，不要孤立地学习。

例5：

例6：

（2004年荆州市中考题）如图27－1－13所示：

D是△ABC的边上一点，DF交AC于点E且AE=CE,FC∥AB,求证：

CD=AF.

证法一：

∵FC∥AB,

∴∠DAE=∠FCE,∠ADE=∠CFE.

又∵AE=EC,

∴△ADE≌△CFE,

∴DE=FE

在△AEF与△CED中，

∵AE=CE

∠AED=∠CEF

DE=FE

∴△AEF≌△CED

∴AF=CD

证法二：

∵FC∥AB,∴∠DAE=∠FCE.

又AE=CE,∠AED=∠CEF,

∴△ADE≌△CFE,

∴AD=CF

又AD∥CF

∴四边形ADCF为平行四边形，

∴CD=AF

点拨：

在几何证明题中，应根据题设条件选择较简的方法，但是平时的学习和解题应学会一题多解，以开拓思路方法，增强解题的灵活性。

例6：

如图27－1－14,有三块平面镜，∠A=110°一光线照射到O点后发生了一系列反射，若∠1＝60°，则

①∠α＋∠β＝______

②∠θ＝__________.。

【解析】这是平面镜对光的反射与多边形的内角和定的一个简单应用。

首先值得注意的就是光的反射规律：

入射角等于反射角虽然有些角不是入射角也不是反射角但我们可容易得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠θ。

这样解题就容易多了。

解：

易知∠α＝180°－2∠4，∠β＝180°－2∠5，

∴∠α＋∠β＝360°－2（∠4＋∠5）＝180°

又∵∠4＋∠5＝180°-∠A＝180°－110°＝70°

∴∠α＋∠β=360°－2×70°＝220°-

∠θ＝∠7＝360°－∠2－（∠α＋∠β）＝360°－60°－220°

点拨：

跨学科综合题是近几年的一个新生事物，它往往借助物理、化学、生物、地理等学科的一些初步知识结合深厚的数学基本功来解题。

我们应该明白的是①以考察数学知识为主，其他学科为辅；②这个辅往往很简单，因此要树立我一定行的想法努力解决。

但同时我们应该看到这类题目尽管现在较少较简单，但绝对要看到它的迅猛发展，这就需要我们在学习上的全面发展。

例7：

一个零件的形状如图27－1－15所示，零件要求∠A必须等于90°，∠B和∠C分别为45°和35°，检验工人量得∠BDC＝159°，就断定这个零件不合格，你知道为什么吗？

能否运用三角形的有关知识说明不合格的理由。

解：

连结AD并延长到F，则∠CDF=∠C+∠CAD,∠FDB=∠B+∠CAB

∵∠C=35°,∠B=45°,∠CAB=90°

∴∠CDB=∠CDF+∠FDB=∠B+∠C+∠CAB=170°

而量得∠CDB=159°,故零件不合格。

点拨：

⑴通过作辅助线将多边形转化为三角形，是解决多边形问题的最重要的方法之一。

⑵把多边形转化为三角形，常用的方法是连对角线，或延长某一边。

3、探究开放题：

这类题往往是没给出结果或空缺部分条件或结果条件的不确定性。

这需要我们在以后的学习中将知识学深、学透，平时多练习一下知识的应用。

例8：

一块三角形玻璃损坏后，只剩下如图27－1－16所示的残片，你对图中作哪些数据测量后，就可到玻璃店割取符合规格的三角形玻璃，并说明其中的道理。

解：

由于判定两个全等（两块玻璃完全重合）有多种方法：

SAS、ASA、SSS.由已知图形，我们很容易想到用ASA，就可以了，即测量两角的度数及它们的夹边就可以去玻璃店割取玻璃了。

解：

测量∠A、∠B的度数和线段AB的长度

作∠A′=∠A,∠B=∠B′,A′B′=AB,

则△A′B′C′≌△ABC

所以能作出和原三角形一样的玻璃，可以去玻璃店割取符合规格

的玻璃。

点拨：

数学知识在实际中应用，实质上就是一种创新，而用实际生

活中的问题去检验学生对数学知识的掌握情况，也同样是一种创新。

例9：

例5如图27－1－17，⑴⑵⑶中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值有无变化？

请证明你结论的正确性。

分析：

由图⑴易得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°（利用三角形外角和和内角和来解。

如利用△AHG）,图⑵中注意到∠BAC,∠EAD分别是△AECAHE和△ABD的外角连同∠A正好组成一个平角180°也易证。

而图⑶就不是很容易了，这需要辅助线，可将AB双向延长或连结CD均可。

答:

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数不发生变化，永远等于180°

证明：

在图⑴中易知∠AHE是△CHE的外角

∴∠CHE=∠C+∠E

同理：

∠AGB=∠B+∠D

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠A=（∠B+∠D）+（∠C+∠E）

=∠A+∠CHE+∠AGB=180°

在图⑵中同理可得

∠BAC=∠E+∠C,∠EAD=∠D+∠B

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+（∠E+∠C）+（∠D+∠B）=

∠A+∠BAC+∠EAD=180°

在图⑶中，将AB双向延长交ED于H，交EC于G

同理∠EHB=∠D+∠B,∠EGA=∠A+∠C

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°

图⑶证法二：

连结CD由三角形内角和定理易知：

∠A+∠B=∠ACD+BDC

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠ACD+BDC+∠C+∠D+∠E

＝∠EDC+∠ECD+∠E=180°

点拨：

在几何证明中，如果推证两个结论的思路方法完全一致，只有图形对应的字母不同，那么在推出第一个结论成立后，便可用：

“同理可证”得出第二个结论。

例10：

（2004年海口试验区）（试卷中对本题的要求：

第

（1）小题为必答题，满分为5分，第

（2），（3）小题为选答题，其中第

（2）小题满分3分，第（3）小题满分6分请从中任选一题作答。

如两题都答，以第

（2）小题评分。

）

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：

①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：

DE=AD-BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？

请写出这个等量关系，并加以证明.

证明：

⑴①∵∠ADC=∠ACB=90°

∴∠CAD+∠ACD=90°

∵∠BCE+∠ACD=90°

∴∠CAD=∠BCE

∵AC=BC,∠ADC=∠CEB=90°

∴△ADC≌△CEB

②∵△ADC≌△CEB

∴CE=AD,CD=BE

∴DE=CE+CD=AD+BE

⑵∵∠ACB=∠CEB=90°

∴∠ACD+∠BCE=∠CBE+BCE=90°

∴∠ACD=∠CBE

又∵AC=BC,∠ADC=∠CEB=90°

∴△ACD≌△CBE

∴CE=AD,CD=BE

∴DE=CE-CD=AD-BE

⑶三者的关系是DE=BE-AD

证明：

∵∠ACB=∠CEB=90°

∴∠AMD+∠ECB=90°

∴∠AMD=∠CBE

又∵AC=BC

∴△CAD≌△BCE

∴DE=CD-CE=BE-AD

点拨：

这类题在近一两年才崭露头角：

不仅在问号上可作为一个开放题，而且题目的要求更是可圈可点，这对于适应了数学要求一成不变的同学们提出了很高的要求。

教材解答部分：

一、一、教材中的“？

”解答。

P30解答：

①例如图27－1－19的

（1）∵AB=AC,BD=CD

∴AD⊥BC

②如图27－1－19的

（2）：

AB的中垂线PO

∴P点到A、B的距离相等。

二、习题解答：

课本第33页

练习

1、已知如图27－1－20所示，Rt△ACB，∠C=90°.求证：

∠A+∠B=90°

证明：

∵∠A+∠B+∠C=180°,∠C=90°

∴∠A+∠B=90°

图27－1－20

∴直角三角形的两个锐角互余（本题也可以用文字叙述证明过程）

2、

已知如图27－1－21所示，四边形ABCD，求证∠A+∠B+∠C+∠D=360°

证明：

连结AC将四边形ABCD分成两个三角形△ABC和△ADC

在△ABC中，∠B+∠BAC+∠ACB=180°（三角形内角和定理）

在△ADC中，∠D+∠CAD+∠DCA=180°（三角形内角和定理）

图27－1－21

A+∠B+∠C+∠D＝∠B+∠BAC+∠ACB＋∠D+∠CAD+∠DCA＝360°（本题还可以用n边形内角和等于（n-2）×180°来推导说明）

已知如图27－1－22所示，五边形ABCDE，求证∠A+∠B+∠C+∠D＋∠E=540°

证明：

连结AC,AD,将五边形分成三个三角形，即△ABC,△ACD,△ADE,

在△ABC中，∠BAC+∠B+∠BCA=180°（三角形内角和定理）

在△ACD中，∠CAD+∠ACD+∠ADC=180°（三角形内角和定理）

在△ADE中，∠DAE+∠ADE+∠E=180°（三角形内角和定理）

又∵∠BAE=∠BAC+∠CAD+∠DAE,

∴∠BCD=∠BCA+∠ACD,∠CDE=∠CDA+∠ADE.

∴∠BAE+∠B+∠BCD+∠CDE+∠E=

（∠BAC+∠CAD+∠DAE）+（∠BCA+∠ACD）+∠B

+（∠CDA+∠ADE）.+∠E

∴五边形的内角和为（∠BAC+∠CAD+∠DAE）+（∠BCA+∠ACD）+∠B+（∠CDA+∠ADE）.+∠E＝3×180°＝540°

（本题还可以用n边形内角和等于（n-2）×180°来推导说明）

3、解：

设这个多边形的边数为n，（n-2）×180°=1080°（多边形内角和定理）

解得n=8，

这个多边形的边数为8。

习题27。

1

1、解：

因为n边形的内角和等于（n-2）×180°，又∵n边形有n个内角，同时又有n个外角，且每个内角与每个对应外角互补，所以n边形有n对互补角

外角和＝n×180°-（n-2）×180°=360°.

2解：

设这个多边形的边数为x，根据题意得（x-2）×180°＝2×360°

解得x=6。

3、已知如图27－1－23所示，△ABC和△A′B′C′，且∠A=∠A′

∠B=∠B′,BC=B′C′,求证：

△ABC≌△A′B′C′

证明：

在△ABC中，

∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）

∴∠C=180°-（∠A+∠B）（等量代换）

同理可证：

∠C′=180°-（∠A′+∠B′）A′

又∵∠A=∠A′∠B=∠B′

∴∠C＝∠C′（等量代换）

在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′∠B=∠B′,BC=B′C′

∴△ABC≌△A′B′C′

∴有两个角及其中一角的对边分别对应相等的两个三角形全等。

4、

证法1：

本题利用上题结论：

∠A=∠A

在△ABD和△ACE中，∠B=∠C

AD=AE

∴△ABD≌△ACE（A.A.S）

证法2：

在△ABD中，∠A+∠B+∠ADB=180°（三角形内角和定理）

∴∠ADB＝180°－（∠A+∠B）（等量代换）

同理可证：

∠AEC＝180°－（∠A+∠C）

又∵∠A=∠A，∠B=∠C

∴∠A+∠B＝∠A+∠C

∴∠ADB=∠AEC（等量代换）

在△ABD和△ACE中，

∠ADB=∠AEC（已证）

∠A=∠A（已知）

AD=AE（已知）

∴△ABD≌△ACE（A.S.A）

{学习自评}

1、∠C＝90°，∠A＝30°，则∠B＝度。

2、一个五边形的内角和为。

3、、一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形是边形。

4、（2004贵阳）如图27-1-24，直线a∥b，则∠ACB=_______.

5、如图27－1－25，∠BDC＝142°，∠B＝34°，∠C＝28°，则∠A＝度。

6、（2004年湖北宜昌试验区）如图27-1-26，AB∥CD，那么∠A+∠C+∠AEC＝（）

A．360°B．270°C．200°D．180°

7、图27－1－27所示，AD⊥BC，D为BC的中点，那么有：

①△ABD≌△ACD②∠B=∠C③AD是平分线

④△ABC为等边三角形，其中正确的是（）

A、1个B、2个C、3个D、4个

8、（探究开放题）（2003年北京海淀）如图27－1－28所示，把△ABC纸片沿着DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1＋∠2之间有有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是：

（）

A、∠A=∠1+∠2B、2∠A=∠1+∠2

C、3∠A=2∠1+∠2D、3∠A=2（∠1+∠2）

9、（易错题）如图27-1-29：

点E、F在BC上，BE=CF,AB=DC,∠B=∠C

求证：

AF=DE

10、（综合题）如图27-1-30，已知四边形ABCD是等腰梯形，AB=DC，AD∥BC，PB=PC．求证：

PA=PD．

11、（2004年四省区课改试验区）如图27-1-31，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF交CD于点G，∠1=50，求∠2的度数。

12、（2004年四省区课改试验区）如图27-1-32，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F。

（1）写出图中每一对你认为全等的三角形；

（2）选择

（1）中的任意一对进行证明。

13、（开放题）已知如图所示27－1－33所示，α，β，γ表示图中三个角，l1∥l2,你能否找到，α，β，γ的代数式，使得这个代数式等于一个常数，若存在，请写出你的结论并证明，若不存在，请说明你的理由。

14、（探究题）你会画45°角吗？

小明想了一个办法：

在平面直角坐标系中的x轴、y轴上，分别各找一点A、B，作出∠YBA的平分线和∠BAO的平分线，两平分线相交于C，小明说∠C＝45°，你相信吗？

说出理由。