全等三角形综合练习初一几何压轴题.docx
《全等三角形综合练习初一几何压轴题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全等三角形综合练习初一几何压轴题.docx（36页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
全等三角形综合练习初一几何压轴题
全等三角形综合练习1
姓名：
____________
一．解答题（共26小题）
1．问题情境：
如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC度数．
小明的解题思路是：
如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠
APC=50°+60°=110°．
问题迁移：
（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．试判断∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？
请说明理由；
（2）在
（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O
三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
2．已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，点P是直线l3上一动点
（1）如图1，当点P在线段CD上运动时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间存在什么数量关系？
请你猜想结论并说明理由．
（2）当点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合，如图2和图3），上述
（1）中的结论是否还成立？
若不成立，请直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD
之间的数量关系，不必写理由．
3．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第1页（共44页）
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为
E1，
第二次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为
E，
1
1
2
第三次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为
E，⋯，
2
2
3
第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．
（1）如图①，求证：
∠BEC=∠ABE+∠DCE；
（2）如图②，求证：
∠BEC=∠BEC；
2
（3）猜想：
若∠En=α度，那∠BEC等于多少度？
（直接写出结论）．
4．阅读下面的材料，并完成后面提出的问题．
（1）如图1中，AC∥DB，请你探究一下∠M，∠A与∠B的数量有何关系，并说明理由
（2）如图2中，当点M向左移动到图2所示的位置时，∠M、∠A与∠B又有怎样的数量关系呢？
（3）如图3中，当点M向上移动到图2所示的位置时，∠M、∠A与∠B又有怎样的数量关系呢？
（4）如图4中，当点M向下移动到图2所示的位置时，∠M、∠A与∠B又有怎样的数量关系呢？
写出对应图形的数量关系，并选其中的一个图形加以证明
5．已知：
如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图
1的
图形称之为“8字形”，试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系
；
（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，利用
（1）的结论，试求∠P的度数；
第2页（共44页）
（3）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B
之间存在着怎样的数量关系？
并说明理由．
6．将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，
∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．
（1）求证：
AF+EF=DE；
（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它
条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在
（1）中猜想的结论是否仍然成立；
（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为
（1）中猜想的结论还成立吗？
若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．
7．（本题有3小题，第
（1）小题为必答题，满分5分；第
（2）、（3）小题为选答题，其中，第
（2）小题满分3分，第（3）小题满分6分，请从中任选1小题作答，如两题都答，以第
（2）小题评分．）
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥
MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
第3页（共44页）
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：
DE=AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？
请写出这个等量关系，并加以证明．
注意：
第
（2）、（3）小题你选答的是第2小题．
8．已知△ABC中，∠A=30°．
（1）如图①，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC=°．
（2）如图②，∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于O1、O2，则∠BO2C=°．
（3）如图③，∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2⋯On﹣1（内部有n
﹣1个点），求∠BOn﹣1C（用n的代数式表示）．
（4）如图③，已知∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2⋯On﹣1，若∠BOn﹣1C=60°，求n的值．
9．已知：
∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．
（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是；
第4页（共44页）
②当∠BAD=∠ABD时，x=；当∠BAD=∠BDA时，x=．
（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？
若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
10．如图，已△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明；
②点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ？
（2）若点Q以②的运动速度从点C出发点P以原来运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC的三边运动，求多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
11．已知：
如图，AB⊥AC，且AB=AC，AD=AE，BD=CE．求证：
AD⊥AE．
12．如图，已知△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM⊥AE于点M，连结BE．
（1）请判断线段AD、BE之间的数量关系，并说明理由；
（2）求证：
AM=CM+BE．
第5页（共44页）
13．如图①②，点E、F分别是线段AB、线段CD的中点，过点E作AB的垂线，
过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD=∠BGC．
（1）线段AD和线段BC有怎样的数量关系？
请说明理由；
（2）当DG⊥GC时，试判断直线AD和直线BC的位置关系，并说明理由．
14．如图，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=8厘米，BC=6厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）．
（1）用的代数式表示PC的长度；
（2）若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．
15．如图①，AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由A向B运动．同时点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为ts．
第6页（共44页）
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等？
请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系．
（2）如图②，将“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”，其他条件不变，设点
Q运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？
若存在，求
出相应x，t的值；若不存在，说明理由．
16．如图，已知AB⊥AD，AC⊥AE，AB=AD，AC=AE，BC分别交AD、DE于点G、
F，AC与DE交于点H．
求证：
（1）△ABC≌△ADE；
（2）BC⊥DE．
17．如图，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF=10cm，AC=14cm，
动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A
点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．
（1）求证：
在运动过程中，不管t取何值，都有S△AED=2S△DGC．
（2）当t取何值时，△DFE与△DMG全等．
第7页（共44页）
18．如图所示，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，CE与BD相交于点
M，BD与AC交于点N，试猜想BD与CE有何关系？
说明理由．
19．如图，长方形ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，点E是CD的中点，动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，那么当x为何值时，△APE的面积等于32cm2？
（提醒：
同学们，要分类讨论哦！
）
20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，若点P从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设P、Q分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts．
（1）用含t的式子表示线段AP、AQ的长；
（2）当t为何值时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形？
（3）当t为何值时，PQ∥BC？
21．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA=115°时，∠EDC=°，∠DEC=°；点D从B向C运动时，∠
BDA逐渐变（填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？
若可以，请直
第8页（共44页）
接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
22．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=50°，点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=50°，DE交线段AC于E．
（1）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？
若可以，请求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
（2）若DC=2，求证：
△ABD≌△DCE．
23．如图，长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF，将∠BEF对折，点B落在直线EF上的B′处，得到折痕EC，将点A落在直线EF上的点A′处，得到折痕EN．
（1）若∠BEB′=110，°则∠BEC=°，∠AEN=°，∠BEC+∠AEN=°．
（2）若∠BEB′=m，°则
（1）中∠BEC+∠AEN的值是否改变？
请说明你的理由．
（3）将∠ECF对折，点E刚好落在F处，且折痕与B′C重合，求∠DNA′．
24．如图，△ABC中，AB=AC=18cm，BC=16cm，点D是AB的中点．有一点E在BC上从点B向点C运动，速度为2cm/s，同时有一点F在AC上从点C向点A运
动，其中一点停止运动另一点也随之停止运动．问当点F的运动速度是多少时，
△DBE和△EFC全等？
第9页（共44页）
25．已知：
如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点
P、Q同时从A、B两
点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是
1cm/s，当点P到达点
B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s）．
（1）当动点P、Q同时运动2s时，则BP=
cm，BQ=
cm．
（2）当动点P、Q同时运动t（s）时，分别用含有t的式子表示；BP=
cm，
BQ=cm．
（3）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
26．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当
点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？
如存在，请求出此时M、N运动的时间．
第10页（共44页）
全等三角形综合练习1答案
一．解答题（共26小题）
1．问题情境：
如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC度数．
小明的解题思路是：
如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠
APC=50°+60°=110°．
问题迁移：
（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．试判断∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？
请说明理由；
（2）在
（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O
三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
【解答】解：
（1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
第11页（共44页）
（2）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β﹣∠α；理由：
如图4，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE﹣∠DPE=∠β﹣∠α；
当P在AB延长线时，∠CPD=∠α﹣∠β．理由：
如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE﹣∠CPE=∠α﹣∠β．
第12页（共44页）
2．已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，点P是直线l3上一动点
（1）如图1，当点P在线段CD上运动时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间存在什么数量关系？
请你猜想结论并说明理由．
（2）当点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合，如图2和图3），上述
（1）中的结论是否还成立？
若不成立，请直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD
之间的数量关系，不必写理由．
【解答】解：
（1）∠APB=∠PAC+∠PBD，
如图1，过点P作PE∥l1，
∴∠APE=∠PAC，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2，
∴∠BPE=∠PBD，
∴∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD，∴∠APB=∠PAC+∠PBD；
第13页（共44页）
（2）不成立，
如图2：
∠PAC=∠APB+∠PBD，
理由：
过点P作PE∥l1，
∴∠APE=∠PAC，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2，
∴∠BPE=∠PBD，
∵∠APB=∠APE﹣∠BPE=∠PAC﹣∠PBD，∴∠PAC=∠APB+∠PBD；
如图3：
∠PBD=∠PAC+∠APB，
理由：
过点P作PE∥l1，
∴∠APE=∠PAC，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2，
∴∠BPE=∠PBD，
∵APB=∠BPE﹣∠APE=∠PBD﹣∠PAC，∴∠PBD=∠PAC+∠APB．
3．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，
第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，
第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，⋯，
第14页（共44页）
第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．
（1）如图①，求证：
∠BEC=∠ABE+∠DCE；
（2）如图②，求证：
∠BEC=∠BEC；
2
（3）猜想：
若∠En=α度，那∠BEC等于多少度？
（直接写出结论）．【解答】解：
（1）如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠1，∠C=∠2，
∵∠BEC=∠1+∠2，∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；
（2）如图2，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴由
（1）可得，
∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC；
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴由
（1）可得，
∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；
（3）如图2，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=∠ABE2+∠DCE2=∠CE2B=∠BEC；
⋯
以此类推，∠En=∠BEC，
∴当∠En=α度时，∠BEC等于2nα度．
第15页（共44页）
4．阅读下面的材料，并完成后面提出的问题．
（1）如图1中，AC∥DB，请你探究一下∠M，∠A与∠B的数量有何关系，并说明理由
（2）如图2中，当点M向左移动到图2所示的位置时，∠M、∠A与∠B又有怎样的数量关系呢？
（3）如图3中，当点M向上移动到图2所示的位置时，∠M、∠A与∠B又有怎样的数量关系呢？
（4）如图4中，当点M向下移动到图2所示的位置时，∠M、∠A与∠B又有怎样的数量关系呢？
写出对应图形的数量关系，并选其中的一个图形加以证明
【解答】解：
（1）∠AMB=∠A+∠B．
理由：
如图1，过点M作ME∥AC，
∵AC∥DB，
∴AC∥ME∥DB，
∴∠A=∠AME，∠B=∠BME，
∴∠A+∠B=∠AME+∠BME=∠AMB；
（2）∠AMB+∠A+∠B=360°．
第16页（共44页）
理由：
如图2，过点M作MF∥AC，
∵AC∥DB，
∴AC∥MF∥DB，
∴∠A+∠AMF=180°，∠B+∠BMF=180°，
∴∠AMB+∠A+∠B=∠A+∠AMF+∠B+∠BMF=360°；
（3）∠A﹣∠B=∠AMB．
理由：
如图3，过点M作MG∥AC，
∵AC∥DB，
∴AC∥MG∥DB，
∴∠A=∠AMG，∠B=∠BMG，
∴∠A﹣∠B=∠AMG﹣∠BMG=∠AMB；
（4）∠B﹣∠A=∠AMB．
理由：
如图4，过点M作MH∥AC，
∵AC∥DB，
∴AC∥MH∥DB，
∴∠A=∠AMH，∠B=∠BMH，
∴∠B﹣∠A=∠BMH﹣∠AMH=∠AMB．
第17页（共44页）
5．已知：
如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的
图形称之为“8字形”，试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系∠A+∠D=
∠C+∠B；；
（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，利用
（1）的结论，试求∠P的度数；
（3）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B
之间存在着怎样的数量关系？
并说明理由．
【解答】解：
（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等，可得结论：
∠A+∠D=∠C+∠B；
故答案为：
∠A+∠D=∠C+∠B；
（2）由
（1）可知，∠1+∠D=∠P+∠3，①∠4+∠B=∠2+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠1=∠2，∠3=∠4，
由①+②得：
∠1+∠D+∠4+∠B=∠P+∠3+∠2+∠P，即2∠P=∠D+∠B，
又∵∠D=40°，∠B=36°，∴2∠P=40°+36°=76°，∴∠P=38°；
第18页（共44页）
（3）∠P与∠D、∠B之间存在的关系为2∠P=∠D+∠B．∵∠1+∠D=∠P+∠3，①
∠4+∠B=∠2+
升级会员 