第十一章全等三角形全章教案.docx
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第十一章全等三角形全章教案
第11章全等三角形
11.1全等三角形
教案目标
①通过实例理解全等形的概念和特征,并能识别图形的全等.
②知道全等三角形的有关概念,能正确地找出对应顶点、对应边、对应角;掌握全等三角形对应边相等,对应角相等的性质.
③能运用性质进行简单的推理和计算,解决一些实际问题.
④通过两个重合的三角形变换其中一个的位置,使它们呈现各种不同位置的活动,让学生从中了解并体会图形变换的思想,逐步培养学生动态的研究几何图形的意识.
教案重点与难点
重点:
全等三角形的有关概念和性质.
难点:
理解全等三角形边、角之间的对应关系.
教案准备
复写纸、剪刀、半透明的纸、多媒体课件(几个重要片断中使用)等.
教案设计
问题情境
1.展现生活中的大量图片或录像片断.
片断1:
图案.
注:
丰富的图形容易引起学生的注意,使他们能很快地投入到学习的情境中.
片断2:
一幅漂亮的山水倒影画,一幅用七巧板拼成的美丽图案.
片断3:
教科书第90页的3幅图案.
2.学生讨论:
(1)从上面的片断中你有什么感受?
(2)你能再举出生活中的一些类似例子吗?
注:
它反映了现实生活中存在着大量的全等图形.
图片的收集与制作
1.收集学生讨论中的图片.
2.讨论(或介绍)用复写纸、手撕、剪纸、扎针眼等制作类似图形的方法.
注:
对学生进行操作技能的培训与指导.
学生分组讨论、思考探究
1.上面这些图形有什么共同的特征?
2.有人用“全等形”一词描述上面的图形,你认为这个词是什么含义?
注:
对学生的不同回答,只要合理,就给予认可.
教师明晰。
建立模型
1.给出“全等形”、“全等三角形”的定义.
2.列举反例,强调定义的条件.
3.提出问题“你能构造一对全等三角形”吗?
你是如何构造的,与同伴交流.
4.全等三角形的对应元素及性质:
教师结合手中的教具说明(学生运用自制学具理解)对应元素(顶点、边、角)的含义,并引导学生观察全等三角形中对应元素的关系,发现对应边相等,对应角相等(教师启发学生根据“重合”来说明道理).
注:
通过构图,为学生理解全等三角形的有关概念奠定基础.
解读、应用与拓广
1.学生用半透明的纸描绘教科书91页图13.1-1中的△ABC,然后按“思考题”要求在三个图中依次操作.(或播放相应的课件)体验“平移、翻折、旋转前后的两个图形全等”.
2.以图13.1-1中的两个三角形为例,介绍对应边、对应角以及两个三角形全等的符号表示、读法、写法,并说出图13.1—2、图13.1—3的对应顶点、对应边、对应角,写出相等的边和角(解释“≌”的含义和读法,并强调对应顶点写在对应位置上).
善于对基本三角形变换出各种图形,观察它们的对应边、对应角的变化,体会当公共边、公共角完全或部分重叠时,如何快速寻找.
注:
培养学生的动手操作能力.
3.总结寻找全等三角形对应元素的方法,渗透全等变换的思想.
4.学生运用自制的两块全等三角形模板,用平移、翻折、旋转等方法,先独立拼出教科书92~93页中的5个图形,说出它们的对应顶点、对应边、对应角,再与同伴交流,你还能拼出其他图形吗?
拓展与延伸
1.议一议:
右图是一个等边三角形,你能把它分成两个全等的三角形吗?
你能把它分成三个、四个全等的三角形吗?
2.例1已知△ABC≌△DFE,∠A=96°,∠B=25°,DF=10cm.求∠E的度数及AB的长.
注:
目的是使学生在操作的过程中理解全等三角形的概念,发展空间观念.鼓励学生根据全等三角形的概念和性质,通过观察、尝试找到分割的方法,并可用分出来的图形是否重合来验证所得的结论.
随堂练习
注:
检查学生对本节课的掌握情况.
1.全等用符号__表示.读作__.
2.△ABC全等于三角形△DEF,用式子表示为__.
3.△ABC≌△DEF,∠A的对应角是∠D,∠B的对应角∠E,则∠C与__是对应角;AB与__是对应边,BC与__是对应边,AC与__是对应边.
4.判断题:
(1)全等三角形的对应边相等,对应角相等.()
(2)全等三角形的周长相等.()
(3)面积相等的三角形是全等三角形.()
(4)全等三角形的面积相等.()
5.找出由七巧板拼成的图案中的全等三角形.
小结提高
1.回忆这节课:
在自己动手实际操作中,得到了全等三角形的哪些知识?
注:
对于学生的发言,教师要给予肯定的评价.
2.找全等三角形对应元素的方法,注意挖掘图形中隐含的条件,如公共元素、对顶角等,但公共顶点不一定是对应顶点;
3.在运用全等三角形的定义和性质时应注意规范书写格式.
布置作业
1.必做题:
教科书92页习题13.1第1题,第2题,第3题.
2.选做题:
教科书92页习题13.1第4题.
3.备选题:
(1)如下图,一栅栏顶部是由全等的三角形组成的,其中AC=0.15m,BC=2AC,求BD的长.
第
(1)题第
(2)题第(3)题
(2)如图,将ΔABC绕其顶点A顺时针旋转20°后得ΔADE,问:
ΔABC与ΔADE关系如何?
你能求出∠BAD的度数吗?
(3)如图,ΔACF与ΔDBE全等,∠E=∠F,若AD=11,BC=7,求线段AB的长。
设计思想
1.本设计通过学生在做模型、画图、动手操作等活动中亲身体验,完成对三角形全等的实验,加深对“三角形全等”“对应”含义的理解,既培养学生的画图、识图能力,又提高了逻辑思维能力.
2.“构造一对全等三角形”这样一个开放性问题的设计,学生可以采用复写纸、手撕、剪纸、扎针眼、描图等方式获得,这往往因不同学生所拥有的生活经验而有所不同.显然,不同的学生从不同的生活背景和生活阅历出发,都能得到全等三角形,彼此之间的交流可以实现他们对全等三角形关键特征的理解和认识,同时,大家在交流中都能获得理解,分享成功的快乐!
3.在整个教案过程中,学生在自主探索和合作交流中,经历了观察、实验、归纳、类比、直觉、数据处理等思维过程,而这样的过程能够促进学生对数学的真正理解和把握,从中不仅获得了数学知识、技能,而且经历了数学活动的过程,体验了数学活动的方法,同时,情感、态度、价值观都能得到很好的发展.
11.2三角形全等的条件
(1)
教案目标
①经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.
②掌握三角形全等的“边边边”条件,了解三角形的稳定性.
③通过对问题的共同探讨,培养学生的协作精神.
教案重点与难点
重点:
指导学生分析问题,寻找判定三角形全等的条件.
难点:
三角形全等条件的探索过程.
教案设计
复习过程,引入新知
多媒体显示,带领学生复习全等三角形的定义及其性质,从而得出结论:
全等三角形三条边对应相等,三个角分别对应相等.反之,这六个元素分别相等,这样的两个三角形一定全等.
注:
在教师引导下回忆前面知识,为探究新知识作好准备.
创设情境,提出问题
根据上面的结论,提出问题:
两个三角形全等,是否一定需要六个条件呢?
如果只满足上述六个条件中的一部分,是否也能保证两个三角形全等呢?
注:
问题的提出使学生产生浓厚的兴趣,激发他们的探究欲望.
组织学生进行讨论交流,经过学生逐步分析,各种情况逐渐明朗,进行交流予以汇总归纳.
注:
对学生提出的解决问题的不同策略,要给予肯定和鼓励,以满足多样化的学生需要,发展学生的个性思维.
建立模型,探索发现
出示探究1,先任意画一个△ABC,再画一个△A'B'C',使△ABC与△A'B'C'满足上述条件中的一个或两个.你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗?
注:
学生动手操作,通过实践、自主探索、交流,获得新知,同时也渗透了分类的思想.
让学生按照下面给出的条件作出三角形.
(1)三角形的两个角分别是30°、50°.
(2)三角形的两条边分别是4cm,6cm.
(3)三角形的一个角为30°,一条边为3cm.
再通过画一画,剪一剪,比一比的方式,得出结论:
只给出一个或两个条件时,都不能保证所画出的三角形一定全等.
出示探究2,先任意画出一个△A'B'C',使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'=CA,把画好的△A'B'C'剪下,放到△ABC
上,它们全等吗?
让学生充分交流后,在教师的引导下作出△A'B'C',并通过比较得出结论:
三边对应相等的两个三角形全等.学生模仿上面的研究方法,在教师的引导下完成操作过程,
通过交流,归纳得出结论,同时也明确判定三角形全等需要三个条件.
应用新知,体验成功
实物演示:
由三根木条钉成的一个三角形的框架,它的大小和形状是固定不变的.
让学生通过实物来理解三角形的稳定性.鼓励学生举出生活中的实例.
注:
让学生体验数学在生活中应用的广泛性.
给出例1,如图△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架,求证△ABD≌△ACD.
让学生独立思考后口头表达理由,由教师板演推理过程.
注:
检测学生对知识的掌握情况及应用能力,让学生初步体验成功的喜悦,同时也明确一下书写过程.
巩固练习
教科书第96页的思考及练习.
注:
让学生巩固对三角形全等的判定条件的认识,同时也让学生尝试书写推理过程.
反思小结
回顾反思本节课对知识的研究探索过程、小结方法及结论,提炼数学思想,掌握数学规律.
再次渗透分类的数学思想,体会分析问题的方法,积累数学活动的经验.
作业
1.必做题:
教科书第103页习题13.2中的第1、2题.
2.选做题:
教科书第104页第9题.
3.备选题:
(1)如图是用圆规和直尺画已知角的平分线的示意图,作法如下:
①以A为圆心画弧,分别交角的两边于点B和点C;
②分别以点B、C为圆心,相同长度为半径画两条弧,两弧交于点D;
③画射线AD.
AD就是∠BAC的平分线.你能说明该画法正确的理由吗?
(2)如图四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,你能把四边形ABCD分成两个相互全等的三角形吗?
你有几种方法?
你能证明你的方法吗?
试一试.
注:
培养学生良好的学习习惯,巩固所学的知识,作业2是让学生对所学知识进行延伸和应用,满足不同层次学生的不同要求.
设计思想
对于全等三角形的研究,实际是平面几何中对封闭的两个图形关系研究的第一步,它是两个三角形间最简单、最常见的关系.它不仅是学习后面知识的基础,并且是证明线段相等,角相等以及两线互相垂直、平行的重要依据.因此在本课时的教案设计中,充分利用教科书提供的素材和活动,鼓励学生通过画图、比较、推理、交流等过程,在条件由少到多的过程中逐步探索出最后的结论.在这个过程中,学生不仅得到了两个三角形全等的条件,同时体会了分析问题的一种方法,积累了数学活动的经验.
学生通过前面的学习已了解了图形的全等的概念及特征,掌握了全等图形的对应边、对应角的关系,这为探究三角形全等的条件做好了知识上的准备.因此为了使学生更好地掌握这一部分内容,遵循启发式教案原则,用设问形式创设问题情境,设计一系列的活动,引导学生经历从现实世界抽象出几何模型和运用所学内容,解决实际问题的过程,真正把学生放到主体位置,同时培养学生有条理的思考、表达和交流的能力.并且在直观操作的基础上,将直观与简单推理相结合,注意学生推理意识的建立和对推理过程的理解,能运用自己的方式有条理的表达推理过程,为以后的证明打下基础.
11.2三角形全等的条件
(2)
教案目标
①经历探索三角形全等条件的过程,培养学生观察分析图形能力、动手能力.
②在探索三角形全等条件及其运用的过程中,能够进行有条理的思考并进行简单的推理.
③通过对问题的共同探讨,培养学生的协作精神.
教案重点与难点
重点:
应用“边角边”证明两个三角形全等,进而得出线段或角相等.
难点:
指导学生分析问题,寻找判定三角形全等的条件.
教案设计
创设情境,引入课题
多媒体出示探究3:
已知任意△ABC,画△A'B'C',使A'B'=AB,A'C'=AC,∠A'=∠A.
教师点拨,学生边学边画图,再让学生把画好的ΔA'B'C'剪下,放在ΔABC上,观察这两个三角形是否全等.
注:
让学生动手操作具有“一般性”的实验,增加学生的现实感受,同时也培养学生的动手操作能力,使学生可以非常直观地获得结果.
交流对话,探求新知
根据前面的操作,鼓励学生用自己的语言来总结规律:
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(SAS)
注:
培养学生的概括能力和语言表达能力.
补充强调:
角必须是两条相等的对应边的夹角,边必须是夹相等角的两对边.
注:
归纳、分析得到的规律,使学生有更深刻的认识和理解.
应用新知,体验成功
出示例2,如图,有一池塘,要测池塘两端A、B的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到E,使CE=CB.连接DE,那么量出DE的长就是A、B的距离,为什么?
通过测量池塘两端的距离这样一个实际问题,让学生综合运用了三角形全等的判定和性质,体验数学来源于实践,又服务于实践的思想,同时使学生进一步熟悉推理论证的模式,进一步完善学生的证明书写.
让学生充分思考后,书写推理过程,并说明每一步的依据.
(若学生不能顺利得到证明思路,教师也可作如下分析:
要想证AB=DE,只需证△ABC≌△DEC,△ABC与△DEC全等的条件现有……还需要……)
注:
明确证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题,常常通过证明这两个三角形全等来解决.
再次探究,释解疑惑
出示探究4,我们知道,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?
为什么?
让学生模仿前面的探究方法,得出结论:
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.
注:
让学生思考、交流、探讨,通过学生之间的交流、探讨活动,培养学生的协作精神,同时也释解心中的疑惑.
教师演示:
方法
(一)教科书98页图13.2-7.
方法
(二)通过画图,让学生更直观地获得结论.
巩固练习
教科书第99页,练习
(1)
(2).
注:
教给学生寻找全等条件的方法,完善学生全等的证明书写.
小结
1.判定三角形全等的方法;
2.证明线段、角相等常见的方法有哪些?
让学生自由表述,其他学生补充,让学生自己将知识系统化,以自己的方式进行建构.
注:
通过课堂小结,归纳整理本节课学习的内容,帮学生完善认知结构,形成解题经验.
作业
1.必做题:
教科书第104页,习题13.2第3、4题.
注:
让学生巩固所学知识,注意学生能力的发展.
2.选做题:
教科书第105页第10题.
3.备选题:
(1)小明做了一个如图所示的风筝,测得DE=DF,EH=FH,你能发现哪些结论?
并说明理由.
(2)如图,∠1=∠2,AB=AD,AE=AC,
求证BC=DE.
设计思想
八年级学生年龄、生理及心理特征还不具备独立系统地推理论证几何问题的能力,思维有局限,考虑问题还不够全面.因此在本课时设计时,充分发挥了教师的主导作用,适时点拨、引导,尽可能调动所有学生的积极性,主动参与到合作探讨中来,使学生在与他人的合作交流中获取新知,并使个性思维得以发展.
首先对于本节课的引入,仍然是采用了探究的形式,引导学生通过操作、观察、探索、交流、发现、思维,得出判定三角形全等的又一条件.同时利用一个联系实际生活的问题——测量池塘两端的距离,对得到的知识加以运用,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.最后再同样通过探究让学生认识到“两边及其中一边的对角对应相等”的条件不能判定两个三角形全等,培养学生的独立思考与发散思维的能力.
在教案过程中让学生逐步学会用观察、探索、猜想来发现新知识的能力,论证、归纳等方法以及分析、化归等数学思想.同时注意与学生的情感沟通,营造亲切、和谐、活跃的课堂气氛,以激发学生积极思维,促进认知发展.
11.2三角形全等的条件(3)
教案目标
①探索并掌握两个三角形全等的条件:
“ASA”“AAS”,并能应用它们判别两个三角形是否全等.
②经历作图、比较、证明等探究过程,提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力;并通过对知识方法的总结,培养反思的习惯,培养理性思维.
③敢于面对教案活动中的困难,能通过合作交流解决遇到的困难.
教案重点与难点
重点:
理解、掌握三角形全等的条件:
“ASA”“AAS”.
难点:
探究出“ASA”“AAS”以及它们的应用.
教案设计
创设情境
1.复习(用课件演示)
(1)作线段AB等于已知线段a,
(2)作∠ABC,等于已知∠α
(课件出示题目,让学生回顾作图方法,用课件演示.)
注:
复习旧知,为探究“ASA”中的作△A'B'C'作好知识铺垫,让学生在知识上做好衔接.
2.引人
师:
我们已经知道,三角形全等的判定条件有哪些?
生:
“SSS”“SAS”
师:
那除了这两个条件,满足另一些条件的两个三角形是否也可能全等呢?
今天我们就来探究三角形全等的另一些条件.
注:
复习判别两个三角形全等的两个条件,提出判别全等的新问题,激发学生探究的欲望,提高学习的积极性.
探究新知
1.师:
我们先来探究第一种情况.(课件出示“探究5……”)
(1)探究5
先任意画出一个△ABC,再画一个△A'B'C',使A'B'=AB,∠A'=∠A,∠B'=∠B(即使两角和它们的夹边对应相等).把画好的△A'B'C'剪下,放到△ABC上,它们全等吗?
师:
怎样画出△A'B'C'?
先自己独立思考,动手画一画.
注:
让学生独立尝试画ΔA'B'C',目的是给学生独立思考、自主探究的时间,培养独立面对问题的勇气.并在独立作图过程中,提高分析、作图能力,获得“ASA”的初步感知.
保证作图的正确性,这是探究出正确规律的前提.
在画的过程中若遇到不能解决的问题,可小组合作交流解决.
生:
独立探究,试着画△A'B'C'(有问题的,可以小组内交流解决……)……
(2)全班讨论交流
师:
画好之后,我们看这儿有一种画法:
(课件出示画法,出现一步,画一步)
你是这样画的吗?
师:
把画好的△A'B'C'剪下,放到△ABC上,看看它们是否全等.
生:
(剪△A'B'C',与△ABC作比较……)
师:
全等吗?
生:
全等.
师:
这个探究结果反映了什么规律?
试着说说你的发现.
生1:
我发现……
生2:
……
生3:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
注:
不同的学生,表达语言也不同,不管是否严密,我们都应积极鼓励,加以引导,逐步严密化.
师:
这条件可以简写成“角边角”或“ASA”.至此,我们又增加了一种判别三角形全等的方法.特别应注意,“边”必须是“两角的夹边”.
2.探究6
师:
我们再看看下面的条件:
在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,△ABC与△DEF全等吗?
能利用角边角条件证明你的结论吗?
师:
看已知条件,能否用“角边角”条件证明.
生独立思考,探究……再小组合作完成.
注:
留给学生充分思考的时间.
师:
你是怎么证明的?
(让小组派代表上台汇报)
小组1:
……
小组2:
……投影仪展示学生证明过程
(根据学生的不同探究结果,进行不同的引导)
注:
让学生上台汇报,创设学生展示自己探究成果的机会,获得成功的体验,激发再次探究的热情.
师:
从这可以看出,从这些已知条件中能得出两个三角形全等.这又反映了一个什么规律?
生1:
两个角和其中一条边对应相等的两个三角形全等.
生2:
在"ASA”中,“边”必须是“两角的夹边”,而这里,“边”可以是“其中一个角的对边”.
强调“AAS”中的边是“其中一个角的对边”.
师:
非常好,这里的“边”是“其中一个角的对边”.那怎样更完整的表述这一规律?
生1:
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.
多让几个学生描述,进一步培养归纳、表达的能力.
师:
生1很好,这条件我们可以简写成“角角边”或“AAS",又增加了判定两个三角形全等的一个条件.
3.例3
师:
下面我们看用“ASA”、“AAS”能否解决一些问题.
(课件出示例3)让学生自己看题、审题.
师:
根据已知条件,能得出什么?
又联系所求证的,该如何证明?
(先独立探究,再与同桌或四人小组交换意见,再全班交流)
注:
留给学生较充分的独立思考、探究的时间,在探究过程中,提高逻辑推理能力.
师:
说说你的证明方法.(让学生上台讲解)
生1:
……
生2:
……
根据学生的回答,教师板书(注意,条件的书写顺序)……
与学生一起回顾证明方法,逐步培养反思的习惯,形成理性思维.
师:
从这道例题中,我们又得出了证明线段相等的又一方法,先证两线段所在的三角形全等,这样,对应边也就相等了.
4.探究7:
(1)三角对应相等的两个三角形全等吗?
(课件出示题目)
师:
想想,怎样来探究这个问题?
生1:
……
生2:
……
引导学生通过“画两个三角对应相等的三角形”,看是否一定全等,或“用两个同一形状但大小不同的三角板”等等方法来探究说明.
注:
引导学生先确定探究的思路与方法,进一步培养理性思维.也为学生提供创新的空间与可能.
生1:
……
生2:
三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
(2)师:
说得非常好.现在我们来小结一下:
判定两个三角形全等我们已有了哪些方法?
生:
SSSSASASAAAS
注:
一个良好的知识建构是以后知识有效迁移的有力的保证.
小结
师:
这节课通过对两个三角形全等条件的进一步探究,你有什么收获?
让学生各抒己见,积极地在知识、学习方法、习惯等方面加以小结,以培养反思的习
惯,培养理性思维.
巩固练习
教科书第101页,练习1、2.
作业
1.必做题:
教科书第103页习题13.2第5题.
2.选做题:
教科书第105页第11、12题.
3.备选题:
(1)图中的两个三角形有几对相等的角?
这两个三角形全等吗?
为什么?
(2)如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为两块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具呢?
如果可以,带哪块去合适?
为什么?
设计思想
1.在几个探究中,设计了“自主探究——合作交流”的主体形式,目的是先给学生独立思考的时间,提供给学生创新的空间与可能,再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会,让自己的观点与别人的观点相互碰撞与补充,共同解决一些困难,从而培养学生独立探究的能力、创新能力、相互交流与合作的能力.
2.经历探究、发现规律之后,均安排了学生用自己的语言归纳与表达的环节.这是因为学生的归纳整理、表达能力的提高并非是一蹴而就的,而是一个循序渐进的过程.因此,我们在每堂课中都应予以重视,并积极鼓励,让学生大胆表达.
3.在探究出新知识,或解决了一个问题后,引导学生及时对知识或方法进行回顾总结.目的是让学生及时把新知识纳入已有的知识结构,从而构建更完整、更有效的知识体系,并可以逐步培养学生反思的习惯,获得更好的学习方法,也养成理性的思维习惯.
11.2三角形全等的条件(4)
教案目标
①探索出直角三角形全等的条件——HL,并掌握,能进行简单的应用.
②经历作图、比较、证明等探究过程,提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理能力.
③通过探究与交流,解决一些问题,获得成功的体验,进一步激发探究的积极性.
教案重点与难点
重点:
掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法——HL.
难点:
熟练选择判定方法,判定两个直角三角形全等.
教案设计
创设情境,引入新课
师:
我们知道,判定两个三角形全等的条件有哪些?
生:
SSS、SAS、AAS、ASA
师:
根据这些条件,对于两个直角三角形,除了直角相等的条件,还要满足几个条件,这两个直角三角形就