于是由（//,•）构成群，可知（ayeHf从而（O畑,于是/*（/化H
由加的选择（最小性）必须有cO,所以ak=（ayf这说明（H,）=,因而（//,•）循环群。
4.6.若H是G的子群，x和y是G的元素，试证xHcyH或为空，或xH=yHo［证］.对任何xjgG,若xHnyH=0,则问题已证。
否则若H/cyH^0,则必至少有一元素gcHcyH,从而
x（）exHcyH
=>xoexHaxoGyH
zz>x（）=x-hiax（）=y-/?
2（这里h\,h2^H）
=>x・b=y-/?
2
=>x=y・1ay=x・h\・h『（*）
下而我们來证:
xH=yH.为此，要分证:
（DxH^yH;
⑵yH—H；
我们只证⑴;
（2）同理可证;
对任何元素G,
aExH=>a=xhf=>a=y・/?
2•力1^>a=yhn=>tieyH
（这里hUH）
（山（*）：
x=yhrhi1）
（由H的封闭性:
hf,=hrhi］-hfEH）
所以xHcyH：
所以，由包含关系的反对称性，我们得到xH=yHo
4.7•若H是G的子群,，试证：
bcHI=k
其屮xeGo
［证］.建立自然映射f:
HtxH，使得对任何/隹乩。
于是⑴后者唯一：
由•运算的结果唯一性可得；
⑵满射：
对任何bwxH,有a=hwH,使得b=x・h。
于是，有f（a）=f（h）=x-h=b:
（3）单射：
/（/“）=心2）
=>xh|=X-/?
2
=>/?
］二力2（群的消去律）o
所以，/是从丹到的双射，因此\xH\=\H\=ko
4.8•有限祥G的阶为弘H是G的子群，则丹的阶必除尽G的阶。
［证］.这即是箸名的拉格郎U（Lagrange法国著名数学家、力学家1736-1814）定理。
设G的子群H={匕/片，，…‘力，-|}o
于是令aH={a•e=a,a•h^a•h2^-,a•hr_{},这里aeG,并且我们定义R是G上的二元关系，即AcGxG
V兀，ywG,xRy:
:
=（BbeG）（xgaHAyeaH）。
从而R是G上的等价关系，英等价块的形式为aH,设其代衣元为4，勺,…，色，则ci'H^H,…，gH是所有的等价块，构成对G的一个划分（参见习题46）。
即
G=alH^a2H+-^akH
根据习题4.7.可得\a}H\=\a2H\=…=\akH\=\H\=ro
因此\G\=k\H\=kr=n,所以厂必能整除小即H的阶必除尽G的阶。
4.10.若兀和y在群G作用下属于同一等价类，则x所属的等价类y所属的等价类价有
IEJ=IEVIo
［证］.设底基X={l,2,...,n}。
对任一个元素dwX,Ea={beXIBpeG,（a）p=b}0
因为已知x和y在群G作用下属于同一等价类，因此，存在zwX,使得艮，于是3php2eG,使得（z）p\=x,（z）P2=yo
我们来证：
Ex=Eyo为此，要分证：
⑴ExUEy；
（2）E、uEx；
我们只证⑴上一⑵同理可证；
aeEx
=>a=（x）p'na=（z）pi/V=>a=（y）p['pe
对任何元素aeXf
（这里p'eG）
（由（z）p\=x）
（由⑵”2=y,得（y）P2]=z（群G有逆元））（由群G的封闭性:
p"=P』'p"wG）
=>aeEy
所以Exc£vo所以，由包含关系的反对称性，我们得到Ex=EyO
4.11.有一个3x3的正方形棋盘，若用红、蓝色对这9个格进行染色，要求两个格着红色,其余染蓝色，问有多少种着色方案？
□
□
a
□
□
□
□
□
□
［解］.一个3x3的正方形棋盘，只能旋转，不能翻转，其详细的置换群为:
不动0°：
Pi=d）
（2）（3）⑷⑸（6）（7）⑻⑼
逆时针旋转90°:
P2=（5）（1793）（2486）
顺时针旋转90°:
P3=5）（1397）（2684）
旋转180°:
P4=（5）（19）（28）（37）（46）
转动群
格式
置换
循环节
不动
0°
（1r
1个
9个
中心
±90°
⑴⑷
2个
3个
中心
180°
（1）0
1个
5个
第4」1题表
将2个格着以厂色，7个格着以b色，相当于用•二种颜色对3x3的止方形棋盘进行染色。
于是根据母函数形式的P61ya定理，方案枚举：
P（b,r）=—［（fe+r）9+2（/>+r）（/?
4+r4）2+（i+r）（^2+r2）4］
4
其中方7/的系数即为所求染色方案数：
lr9!
4!
[
=—[1]
42!
7!
1!
3!
=[36+4]/4=10（种）。
4.12.试川贝恩塞特引理解决〃个人围一恻桌坐下的方案问题。
［解］.（参见ppt第四章§6•例467.）目标集:
n个坐位;图象集：
n!
个着色方案（排坐）。
转动群的2n个置换（参见第7题（第二版），即第4.17题（第三版）），只有幺元有n!
个不动点（图象）,其他2n-l个置换没有不动点（因为没有两个坐位坐同一人），即
Ci（e）=C|（P|）=n!
C|（P2）=C|（P3）=...=C|（P2n）=0o
故由Burnside引理有
7=［ci（e）］/2n=n!
/2n=（n-l）!
/2
个方案。
4.13.对正六角形的6个顶点川5种颜色进行染色，试问有多少种不同的方案？
旋转使之重合作为相同处理。
I解］.见第4.13题图，使之重合的刚体运动群，它含有关于止六角形中心轴旋转±60。
±120。
180。
的置换，绕过2个对和的轴翻转180°的置换，以及绕过2个对凹的轴翻转180°的置撫
转动群
格式
置换
循环节
所求方案数
不动0°
（1）“
1个
6个
56
旋转±60°
（6）1
2个
1个
2-51
旋转±120°
（3）2
2个
2个
2-52
旋转180°
（2）3
1个
3个
53
翻转（角-角）180°
（1）W
3个
4个
3-54
翻转（凹-凹）180°
⑵'
3个
3个
3・5‘
第4」3题表
丁-是根据P61ya定理，可得不同的染色方案数为:
/=—[56+2-5'+2-52+53+3-54+3-53]12
=右（15625+10+50+125+1875+375）
I
=——18060
12
=1505（种）。
4.25.若G和G是两个群
GxG2{（g,0）lgwG,0wG'},
（g2,g‘2）全（glg2,g'lg‘2）,
GxG1的单位元素是20）。
试证GxG成群。
[证]•T封闭性:
0@1,了1）,（g2,g‘2）eGXG‘
=>（g],g2EG）/\（gl,『2WGJ
=>（gig2eG）a（g[g，2eG）（群G和G的封闭性）=>（gig2,0ig‘2）WGxG'
=>（gi,g'i）（g2,g‘2）eGxG‘
因而封闭性成立。
2。
结合律：
X/（gl,g'l）,（g2,g‘2）,（g3,g‘3）WGxG'
（（gl，g'l）（g2,g‘2））（g3,g‘3）
=（glg2,g'lg‘2）（g3,g‘3）
=（（glg2）g3,（g'lg‘2）g'3）
=（gl（g2X3）,g'l（g虫‘3））（群G和G啲结合律）
=（gl,g'l）（gN3,g‘2^3）=（gl,01）（（g2,g‘2）（g3,g‘3））
因而结合律成立。
3。
有幺元：
（学gGxG,这里£是群G的幺元，"是群G的幺元。
0（g,gjwGxG\（e,N）（g,g'）=（eg,ergf）
=（g，g‘）2沪g,e'g'=g'）
=（ge,g'H）3=ge,g'=g'e、=（g,g'）（e,e'）
因而（£,"）是幺元。
4。
有逆元:
V（g,/）wGxG'
=>（gwG）/\（g'wG‘）=>（g"wG）/\（gEwG）（群G和G有逆元）=>（g*）wGxG
使得（g,g'）（g",gE）=（gg“，g'g‘"）
=（gW）（g,g‘）
因而有逆元。
所以GxGf构成群。
4.26.若G是关TX={xi,x2,...,x„}的置换群,G是关于X’二{门,班,…，箱}的置换群,对于GxG的每一对元素
证GxG，是关于XuX的置换群。
［证］•将题中GxG中的置换的前置定义换为如下等价的后置定义:
e）（g,F）全
e）g,
e）g',
vgXz
因而GxG={（gM）lgwG,0wG}o
于是，我们可定义GxG上的二元“乘法”运算如下:
由丁•置换群G和G；也是群，爲根坯习题4.25.,可知GxG是群。
又由于GxG是X5,上置换的集合，所以GxG是关于X3C的置换群。
4.27.-个项链山7颗珠子装饰而成的，其中两颗珠子是红的，3颗是蓝的，其余两颗是绿
的，问有多少种装饰方案？
试列举Z?
3。
懈］.见第4.27题图，使Z重合的刚体运动群，令a=51-,
7
它含有关于圆环中心轴旋转土丄・360。
二土a,
7
23
±--360°=±2a,±--360°=±3a,以及绕过一个顶点及其
77
对弧中点的轴翻转180°的置换：
不动0。
：
⑴⑵⑶⑷⑸⑹（7）
旋转土a：
（1234567）,（7654321）
旋转±2a：
（1357246）,（7531642）
旋转±3a：
（1473625）,（7415263）
翻转（点-弧）180°：
（1）（27）（36）（45）,
（2）（13）（47）（56）,（3）（15）（24）（67）,⑷（17）（26）（3
5）,（5）（12）（37）（46）,（6）（12）（37）（46）,（7）（16）（25）（34）。
转动群
格式
置换
循环节
不动
0°
（l）7
1个
7个
旋转
±a
（7）1
2个
1个
旋转
±2a
（7）*
2个
1个
旋转
±3a
（7）i
2个
1个
翻转（点-弧）
180°
（Dl
（2）3
7个
4个
第4.27题表
将2颗厂色,2颗g色,3颗b色的珠子装饰在圆环的7个等分点上的问题，相当于用b,小厂三种颜色对正七边型进行染色。
于是根据母函数形式的P61ya定理，染色方案枚举:
P（b,g,g丄[@+計尸）7+60+/+/）1+7@+計厂）\b2+g2+P）3]
14
其中聞的系数即为所求项链串珠方案数：
1
=—•252
14
=18（种）。
所求18种项链串珠方案枚举如下:
4・28.—个正八而体,用红、蓝两色对6个顶点进行着色；用黄、绿两种颜色对8个而进行染色，试求其中4个顶点为红，两个顶点为蓝，黄和绿的面各四血的方案数。
注.正八面体可以看作是正方体的对偶，每一面用中心代表一个顶点，相交于一个顶点的3个面对应过3个中心的三角形，由此构成的6个顶点，8个面的几何图形。
［解］.（参见第二版第17题）本题相当于把止八血休的6个顶点、8个面合并起来作为目标集;6个顶点、8个而，共14个元索的置换群。
转动群
格式
置换
循环节
不动
0°
（1）6-
（1）8
1个
14个
面心-面
±90°
（lfy4）l-（4）2
6个
5个
面心-面心
180°
（1）2⑵2■⑵4
3个
8个
顶点-顶点
±120°
（3）2■⑴$⑶？
8个
6个
棱中-棱中
180°
⑵二⑵4
6个
7个
第17题图
第4.28题图
于是根据母函数形式的P61ya定理，染色方案枚举:
P（r,b,y,g）二丄[（r+fr）6（y+^）8+6（r+Z?
）2（r4+Z?
4）,（y4+^4）2+3（r+/?
）2（r2+fe2）2（y2+^2）4
24
+8（八猗2（），+g）2（b+g3）2+6（/+b2）3（y2+g2）4]
其中rVyY的系数即为所求项链串珠方案数：
J_
1
24
[15x704-6x2+3x（2+1）x6+6x3x6]
=±[1050+12+54+108]
=—•1224
24
=51（种）。
详细的点-血混合的置换群为：
不动0。
:
⑴⑵⑶（4）（5）（6）-
（1）⑵⑶⑷⑸（6）（7）⑻
绕外接正方体
面心■面心轴旋转90°:
（1）（2345）（6）-（1234）（5678）
（2）（1563）（4）-（1485）（2376）
（3）（1264）（5）-（1562）（3487）-90°:
（1）（5432）（6）-（4321）（8765）
（2）（3651）（4）-（5841）（6732）
（3）（4621）（5）-（2651）（7843）
180°:
（1）（24）（35）（6）-（13）（24）（57）（68）
（2）（16）（35）（4）-（18）（45）（27）（36）
（3）（16）（24"5）-（16）（25）（38）（47）
绕外接止方体
棱中•棱中轴旋转180°:
（16X25）（34）-（17）（26）（35）（48）
（16）（23）（45）-（15）（28）（37）（46）
（24）（15）（36）-（17）（28）（34X56）
（24）（13）（56）-（12）（35）（46）（78）
（35）（12）（46）■（⑷（28）（35）（67）
（35）（14）（26）-（17）（23）（46X58）绕外接止方体
顶■顶轴旋转120。
:
（123）（456）・
（1）（245）（386）（7）
（134）（265）-
（2）（163）（457）（8）
（145）（236）-（3）（168）（274）（5）
（152）（346）-（4）（138）（275）（6）
-120°:
（321）（654）-（1>（542）（683）（7）
（431）（562）-
（2）（631）（754）（8）
（541）（632）-（3）（861）（472）（5）
（251）（643）-（4）（831）（572）（6）。
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