组合数学第四版卢开澄标准答案第四章docx.docx

1、组合数学第四版卢开澄标准答案第四章docx习题四4.1.若郡G的元素。均可表示为某一元素X的幕，即 = r,则称这个群为循环郡。若群的 元索交换律成立，W a ,b wG满足ab = b-a则称这个群为阿贝尔(Abel)群，试证明所有的循环群都是阿贝尔群。证设循环群(G,)的生成元是兀owG o于是,对任何元素a,bwG, 3m, nwN,使得*席, b= xo，从而a b = x()n Xq=xo/z，+W (指数衛=xo?，+W (数的加法交换律)=鼎霸” (指数律)=ba故运算满足交换律；即(G,)是交换群。4.2.若x是群G的一个元素，存在一个最小的正整数加，使xm=ef则称加为x的阶

2、，试证: C=ec,x2, .yN 1是G的一个子群。证.非空性CH0:因为BeeG；(2)包含性CUG：因为x gG,根据群G的封闭性，可知G,故CgG；(3)封闭性X/d , b gC= a b eC： P ci, b gC, 3k IwN (0 km, 0 Is),使 o =,b =, 从而a b = xk x1 = xk+l) nK)d meC (因为 0 S (k+l) mod m a wC： V a gC, 3k eN(0 km)f 使 a = xk ,从而a -i =丄”-k w c (|对为 0 5 n?乂 tn)。综合，可知(C,)是9, )的一个子群。4.3.若G是阶为n的

3、有限群，则G的所有元素的阶都不超过no证.对任一元素xwG,设其阶为加，并令C=ec2, 则|tl习题4.2.HT知(C,是匸,)的一个子群，故具有包含性CyG。因此有m = CG = n所以群G的所有元索的阶都不超过77。4.4.若G是阶为n的循环群，求群G的母元素的数目，即G的元素可以表示成a的幕：的元素a的数th证设(G,)是循环群，。是其一个母元素(生成元)，a的阶为几(也是G的阶),则 G =a,a2, .,an(=e) 。(1).我们来证:对任何自然数reN(0rn, (m)=l),元素化G都是G的一个母元素 (生成元)。为此，只需证/的阶为n即可。首先，设R的阶为因此有ark =

4、 (ar)k = e,山于。的阶为“，故根据引理*町得n I rk 0 已知Ow, (r,n) = 1,因此只能有n k,所以nko其次，(/)“ = /“ (指数律)(数的加法交换律)=(疔(指数律)r因而，由k是元素/的阶，具有最小性，所以kn.综合这两方曲，可得k = n.(2)根据的结论,可得,群G的母元素的数目为仅n)(欧拉函数,小于且与n互素 的数的个数)。注引理*设(G,)是群 VxgG,若x的阶为k,从而/=纟o则 /mgN,x!tl=e k I m o 证.先证n):若则必有R I加o=e故与;v的阶为h具有最小性，矛盾。次证=)： 若 k I45试证循环群G的子群仍是循环群

5、。证.设(仏)是循环群(G, )=的一个子群，则H中的元素都可表示成。的一些止方幕。设 严是H中指数最小的正方幕，我们來证(H, )=o为此只要证明H中任一元素都可表示 成屮的正方幕即可。任取H中一个元素根据带余除法，可知有非负整数q及厂，使 k=qm+r 口. 0r/n于是由(/,)构成群，可知(ayeHf从而(O畑,于是 /*(/化 H由加的选择(最小性)必须有cO,所以ak=(ayf这说明(H, )=,因而(/,)循环群。4.6.若H是G的子群，x和y是G的元素，试证xHcyH或为空，或xH =yHo 证.对任何xjgG,若xH n yH=0,则问题已证。否则若H/c yH0,则必至少有

6、一元素 gcHcyH,从而x（）e xH c yH= xoe xH a xoG yHzz x（）=x-hi ax（）=y-/?2 （这里 h, h2H）= xb =y-/?2=x =y 1 ay = x hh （*）下而我们來证:xH=yH.为此，要分证: (DxHyH ;yH H ；我们只证;(2)同理可证;对任何元素G,aE xH =a =xhf = a = y /?2力 1 a=y hn = tie yH（这里hUH）（山（*）： x = y hrhi1）（由 H 的封闭性:hf,= hrhi-hfEH）所以xH c yH：所以，由包含关系的反对称性，我们得到xH = yH o4.7若H

7、是G的子群,，试证：bcHI=k其屮xeGo证.建立自然映射f: HtxH，使得 对任何/隹乩。于是 后者唯一：由运算的结果唯一性可得；满射：对任何bwxH,有a = hwH,使得b=xh。于是，有 f(a)=f(h)= x-h =b :(3)单射：/(/“)=心 2)= xh | =X-/?2=/?二力2 (群的消去律)o所以，/是从丹到的双射，因此xH=H=k o4.8有限祥G的阶为弘H是G的子群，则丹的阶必除尽G的阶。 证.这即是箸名的拉格郎U(Lagrange法国著名数学家、力学家1736-1814)定理。设G的子群H = 匕/片，力，-| o于是令aH = a e = a,a ha

8、h2 - ,a hr_,这里aeG ,并且我们定义R是G上 的二元关系，即AcGxGV 兀，y w G , xRy := (Bb e G)(x g aH Aye aH)。从而R是G上的等价关系，英等价块的形式为aH,设其代衣元为4，勺,，色，则 ciHH,，gH是所有的等价块，构成对G的一个划分(参见习题46)。即G=alHa2H+-akH根据习题 4.7.可得aH = a2H =akH = H = ro因此G = kH = kr = n,所以厂必能整除小 即H的阶必除尽G的阶。4.10.若兀和y在群G作用下属于同一等价类，则x所属的等价类y所属的等价类价有IEJ = IEVI o证.设底基

9、X=l,2,.,n。对任一个元素 dwX, Ea=beX I BpeG , (a)p=b0因为已知x和y在群G作用下属于同一等价类，因此，存在zwX,使得艮，于是 3php2eG,使得(z)p=x,(z)P2=y o我们来证：Ex = Ey o为此，要分证： ExUEy ；(2) E、u Ex ；我们只证上一同理可证；ae Ex= a = (x)p n a = (z)pi/V =a =(y)ppe对任何元素aeXf(这里peG)(由(z)p=x)(由”2=y ,得(y)P2=z (群G有逆元) (由群G的封闭性:p=PpwG)= ae Ey所以Ex c vo 所以，由包含关系的反对称性，我们得

10、到Ex=EyO4.11.有一个3x3的正方形棋盘，若用红、蓝色对这9个格进行染色，要求两个格着红色, 其余染蓝色，问有多少种着色方案？a解.一个3x3的正方形棋盘，只能旋转，不能翻转，其详细的置换群为: 不动 0： Pi=d)(2)(3)(6)(7)逆时针旋转 90: P2=(5)(1793)(2486)顺时针旋转 90: P3=5)(1397)(26 84)旋转 180: P4=(5)( 19)(28)(37)(46)转动群格式置换循环节不动0(1 r1个9个中心902个3个中心180(1)01个5个第41题表将2个格着以厂色，7个格着以b色，相当于用二种颜色对3x3的止方形棋盘进 行染色。

11、于是根据母函数形式的P61ya定理，方案枚举：P(b,r)= (fe+r)9+2(/+r)(/?4+r4)2+(i+r)(2+r2)44其中方7/的系数即为所求染色方案数：lr 9! 4!= 1 4 2!7! 1!3! =36+4/4 =10(种)。4.12.试川贝恩塞特引理解决个人围一恻桌坐下的方案问题。解.(参见ppt第四章6例467.)目标集:n个坐位;图象集：n!个着色方案(排坐)。转动 群的2n个置换(参见第7题(第二版)，即第4.17题(第三版)，只有幺元有n!个不动点(图象), 其他2n-l个置换没有不动点(因为没有两个坐位坐同一人)，即Ci(e)= C|(P|)= n!, C|

12、(P2)= C|(P3)=.= C|(P2n)=0o故由Burnside引理有7=ci(e)/2n =n!/ 2n =(n-l)!/2个方案。4.13.对正六角形的6个顶点川5种颜色进行染色，试问有多少种不同的方案？旋转使之重 合作为相同处理。I解.见第4.13题图，使之重合的刚体运动群，它含有关于止六角形中心轴旋转60。,120。,180。的置换，绕过2个对和的轴翻转180的置换，以及绕过2个对凹的轴翻转180的置撫转动群格式置换循环节所求方案数不动 0（1）“1个6个56旋转 60(6)12个1个2-51旋转 120(3)22个2个2-52旋转 180(2)31个3个53翻转（角-角）18

13、0(1)W3个4个3-54翻转（凹-凹）1803个3个35第43题表丁-是根据P61ya定理，可得不同的染色方案数为:/=56 + 2-5+2-52 +53 +3-54 +3-53 12=右(15625 + 10 + 50+125 + 1875 + 375)I=1806012=1505(种)。4.25.若G和G是两个群GxG2(g,0)lgwG,0wG ,(g2,g2)全(glg2,glg2),GxG1的单位元素是20)。试证GxG成群。证 T封闭性:01,了1), (g2,g2)e G XG=(g , g2 E G)/ (gl ,2 W GJ=(gi g2 e G)a (g g，2 e G)

14、(群 G 和 G 的封闭性) =(gig2,0ig2)W G xG=(gi,gi) (g2,g2)e G xG因而封闭性成立。2。 结合律：X/(gl,gl) , (g2,g2), (g3,g3)W G xG(gl，gl)(g2,g2)(g3,g3)=(glg2,glg2)(g3,g3)=(glg2)g3,(glg2)g3)=(gl(g2X3),gl(g虫3)(群 G 和 G啲结合律)=(gl,gl)(gN3,g23) =(gl,01)(g2,g2)(g3,g3)因而结合律成立。3。 有幺元：(学gGxG,这里是群G的幺元，是群G的幺元。0(g, gjw G xG (e,N)(g, g) =

15、(eg , ergf)= (g，g) 2沪g, eg=g)= (ge,gH) 3=ge, g=ge、 =(g, g)(e,e)因而(,)是幺元。4。 有逆元:V(g,/)wGxG=(gwG)/(gwG) =(gwG)/(gEwG)(群 G 和 G有逆元) =(g*) wGxG使得(g,g)(g,gE) = (gg“，gg)= (gW)(g,g)因而有逆元。所以GxGf构成群。4.26.若G是关TX=xi,x2,.,x的置换群,G是关于X二门,班,，箱的置换群,对于G xG的每一对元素证G xG，是关于XuX的置换群。证将题中G xG中的置换的前置定义换为如下等价的后置定义:e)(g,F)全e)

16、g,e)g,vgXz因而 GxG = (gM)lgwG,0wG o于是，我们可定义GxG上的二元“乘法”运算如下:由丁置换群G和G；也是群，爲根坯习题4.25.,可知GxG是群。又由于GxG是X5, 上置换的集合，所以GxG是关于X3C的置换群。4.27.-个项链山7颗珠子装饰而成的，其中两颗珠子是红的，3颗是蓝的，其余两颗是绿的，问有多少种装饰方案？试列举Z?3。 懈.见第4.27题图，使Z重合的刚体运动群，令a=51-,7它含有关于圆环中心轴旋转土丄360。二土a ,72 3-360=2a, -360=3a,以及绕过一个顶点及其7 7对弧中点的轴翻转180的置换：不动0。：(7)旋转土a：

17、 (1 2345 67), (765 43 2 1)旋转2a： (1 3 57 246), (7 5 31642)旋转3a： (1473 625) , (7415 263)翻转(点-弧)180： (1)(2 7)(3 6)(4 5), (2)(1 3)(4 7)(5 6), (3)(1 5)(2 4)(6 7),(1 7)(2 6)(35), (5)(1 2)(3 7)(4 6), (6)(1 2)(3 7)(4 6), (7)(1 6)(2 5)(3 4)。转动群格式置换循环节不动0(l)71个7个旋转a(7)12个1个旋转2a(7)*2个1个旋转3a(7)i2个1个翻转(点-弧)180(D

18、l(2)37个4个第4.27题表将2颗厂色,2颗g色,3颗b色的珠子装饰在圆环的7个等分点上的问题，相当于用b, 小厂三种颜色对正七边型进行染色。于是根据母函数形式的P61ya定理，染色方案枚举:P（b,g,g 丄+計尸）7+60+/+/）1+7+計厂）b2+g2+P）314其中聞的系数即为所求项链串珠方案数：1= 25214=18（种）。所求18种项链串珠方案枚举如下:428.个正八而体,用红、蓝两色对6个顶点进行着色；用黄、绿两种颜色对8个而进行染 色，试求其中4个顶点为红，两个顶点为蓝，黄和绿的面各四血的方案数。注.正八面体可以看作是正方体的对偶，每一面用中心代表一个顶点，相交于一个顶点

19、的3个面对应过3个 中心的三角形，由此构成的6个顶点，8个面的几何图形。解.(参见第二版第17题)本题相当于把止八血休的6个顶点、8个面合并起来作为目标集; 6个顶点、8个而，共14个元索的置换群。转动群格式置换循环节不动0(1)6-(1)81个14个面心-面90(lfy4)l-(4)26个5个面心-面心180(1)2 2 43个8个顶点-顶点120(3)2$ ？8个6个棱中-棱中180二46个7个第17题图第4.28题图于是根据母函数形式的P61ya定理，染色方案枚举:P(r,b,y,g)二丄(r+fr)6(y+)8+6(r+Z?)2(r4+Z?4),(y4+4)2+3(r+/?)2(r2+

20、fe2)2(y2+2)424+8(八猗 2()，+g)2(b+g3)2+6(/+b2)3(y2+g2)4其中rVyY的系数即为所求项链串珠方案数：J_12415x704-6x2 + 3x(2 + 1)x6 + 6x3x6=1050 + 12 + 54 + 108=122424=51(种)。详细的点-血混合的置换群为：不动 0。:(4) (5)(6)-(1)(6)(7)绕外接正方体面心面心轴旋转 90: (1)(2345)(6)-(1234)(5678)(2)(1563)(4)-(1485)(2376)(3)(1264)(5)-(1562)(3487) -90: (1)(5432)(6)-(43

21、21)(8765)(2)(3651)(4)-(5841)(6732)(3)(4621)(5)-(2651)(7843)180: (1)(24)(35)(6)-( 13)(24)(57)(68)(2)( 16)(35)(4)-( 18)(45)(27)(36)(3)(16)(245)-(16)(25)(38)(47)绕外接止方体棱中棱中轴旋转 180 : (16X25)(34)-(17)(26)(35)(48)(16)(23)(45)-(15)(28)(37)(46)(24)(15)(36)-(17)(28)(34X56)(24)(13)(56)-(12)(35)(46)(78)(35)( 12)(46)(28)(35)(67)(35)(14)(26)-(17)(23)(46X58) 绕外接止方体顶顶轴旋转 120。:(123)(456)(1)(245)(386)(7)(134)(265)-(2)(163)(457)(8)(145)(236)-(3)(168)(274)(5)(152)(346)-(4)(138)(275)(6)-120:(321)(654)-(1 (542)(683)(7)(431)(562)-(2)(631)(754)(8)(541)(632)-(3)(861)(472)(5)(251)(643)-(4)(831)(572)(6)。