市场经济的蛛网模型课程设计.docx
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市场经济的蛛网模型课程设计
商丘职业技术学院课程教学设计
（2学时）授课人：
祝福
教学内容
（早节、专题）
第七章差分方程模型
§1市场经济中的蛛网模型
教学目标
与要求
理解市场经济中的蛛网模型基本思想和方法，掌握市
场经济中的蛛网问题的建模及分析讨论。
教学重点
市场经济中的蛛网问题的数学建模。
教学难点
市场经济中的蛛网问题的数学建模及分析讨论。
选用教学素
材与设备
《数学模型》的各种教材及参考书籍。
教学设备为：
白板、水笔、多媒体课室及相关设备等。
教学过程、内容（含教与学的方法）
§1市场经济中的蛛网模型
［问题的提出］在自由贸易市场上你注意过这样的现象吗：
一个时期以来某种消费品如猪
肉的上市量远大于需求，由于销售不畅导致价格下降，生产者发现养猪赔钱，于是转而
经营其它农副业•过一段时间猪肉上市量就会大减，供不应求将导致价格上涨•生产者
看到有利可图，又重操旧业，这样下一个时期会重现供大于求、价格下降的局面•在没
有外界干预的情况下，这种现象将如此循环下去.
培根
阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。
在完全自由竞争的市场经济中上述现象通常是不可避免的.因为商品的价格是由消费
者的需求关系决定的，商品数量越多价格越低•而下一时期商品的数量由生产者的供应关系决定，商品价格越低生产的数量就越少.这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是振荡的•在现实世界里这样的振荡会出现不同的形式，有的振幅渐小趋向平稳，有的则振幅越来越大，如果没有外界如政府的干预，将导致经济崩溃.
［模型的建立及求解］本节先用图形方法建立所谓“蛛网模型”，对上述现象进行分析，
给出市场经济趋于稳定的条件•再用差分方程建模，对结果进行解释，并讨论当市场经
济不稳定时政府可以采取什么样的干预措施，最后对上述模型作适当推广.
记第k时段商品的数量为Xk,价格为yk,k=0,1,2,….这里我们把时间离散化为
时段，1个时段相当于商品的1个生产周期，如蔬菜、水果是一个种植周期，肉类是牲畜
的饲养周期.
同一时段商品的价格yk取决于数量Xk，设
以=fg）
（1）
它反映消费者对这种商品的需求关系，称需求函数•因为商品的数量越多价格越低，所以在图1中用一条下降曲线f表示它，f称需求曲线.
下一时段商品的数量xk彳由上一时段价格yk决定，设
忑屮二力b）*或必二g（禺+i）
（2）
这里g是h的反函数。
h或g反映生产者的供应关系，称供应函数.因为价格越高生产量
（即下一时段的商品数量）越大，所以在图中供应曲线g是一条上升曲线.
图中两条曲线相交于Po（xo,yo）点.Po是平衡点，其意义是，一旦在某一时
段k有Xk=X。
，则由
（1）,
（2）可知yk=yo,Xk1-Xo,yk1=yo，…，即是以后各
时段商品的数量和价格将永远保持在Po（Xo,yo）点•但是实际生活中的种种干扰使得数
量和价格不可能停止在Po点，不妨设X1偏离Xo（如图1）•我们分析随着是的增加Xk,
yk的变化.
图1需求曲线丁和供应曲线厂珂是稳定平衡点图2片是不稳定平衡点
商品数量xi给定后，价格yi由曲线f上的R点决定，下一时段的数量X2由曲线g上的P2点决定，y又由f上P3的点决定，这样得到一系列的点Pi（Xi，yi），P2（X2,
yi）,P3（X2,y2）,P4（X3,y2），…，在图i上这些点将按箭头所示方向趋向Po（xo,y°），表明Po是稳定的平衡点，意味着市场经济（商品的数量和价格）将趋向稳定.但是如果需求函数和供应函数由图2的曲线所示，则类似的分析发现，市场经济将按
照Pi,P2,P3,P4，…的规律变化而远离Po，即Po是不稳定的平衡点，
意味着商品数量和价格将出现越来越大的振荡.
图i和图2中折线R,P2,P3,F4，形似蛛网，所以这种用需求曲线和供应曲线
分析市场经济稳定性的图示法在经济学中称蛛网模型.实际上，需求曲线f和供应曲线g
的具体形式通常是根据各个时段商品的数量和价格的一系列统计资料得到的.一般地说，
f取决于消费者对这种商品的需要程度和他们的消费水平，g则与生产者的生产能力、经
营水平等因素有关•比如当消费者收入增加时，f会向上移动；当生产能力提高时，g将
向右移动.一旦需求曲线和供应曲线被确定下来，商品数量和价格是否趋向稳定，就完全由这两条曲线在平衡点Po附近的形状决定•只要分析一下图i和图2的不同之处就会
发现，在Po附近，图i的f比g平缓，而图2的f比g陡峭•记f在Po点斜率的绝对值
学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。
一一阿卜日法拉兹
（因为它是下降的）为kf,g在p0点的斜率为Kg,图形的直观告诉我们,
（7）是一阶线性常系数差分方程，对是递推不难得到
容易看出，当是kr时Xk「X0，即P0点稳定的条件是
K产心
（3）
时Po点是稳定的（图1），当
Kf>Kg
（4）
时P0点是不稳定的
（图2）•由此可见，需求曲线越平，供应曲线越陡，越有于经济稳定.为
了进一步分析这种现象，下面给出蛛网模型的另一种表达形式一一差分方程.
［差分方程模型］
在Po点附近可以用直线来近似曲线
f和h，设
（1）,
（2）式分别近似为
以_內二
-农（工左—工0）,&〉0
（5）
文k+1—
=-必）/〉o
（6）
从二式中消去yk可得
1
（9）
aRVI或qV鸟
而k>：
:
时Xk》：
：
，即Po点不稳定的条件是
申>1或a>j（10）
注意到⑸，⑹式中—-的定义，有kf=〉，Kg=1/-，所以条件（9）,（10）与蛛
网模型中的直观结果（3）,（4）式是一致的.
［模型解释］首先考察参数:
-,1的含义•由（5）式可知，〉表示商品供应量减少1个单位时价格的上涨幅度；由（6）式可知，1表示价格上涨1个单位时（下一时期）商品供应的增加量•所以:
-的数值反映消费者对商品需求的敏感程度，如果这种商品是生活必需
品，消费者处于持币待购状态，商品数量稍缺，人们立即蜂拥抢购，那么:
-会比较大；
反之，若这种商品非必需品，消费者购物心理稳定，或者消费水平低下，则〉较小.［的
数值反映生产经营者对商品价格的敏感程度，如果他们目光短浅，热衷于追逐一时的高利润，价格稍有上涨就大量增加生产，那么1会比较大；反之，若他们素质较高，有长
远的计划，则一：
较小.
根据〉，一：
的意义很容易对市场经济稳定与否的条件（9）,（10）作出解释.当供应函
数g即］固定时，〉越小，需求曲线越平，表明消费者对商品需求的敏感程度越小，（9）
式越容易成立，有利于经济稳定•当需求函数f即〉固定时，1越小，供应曲线越陡，
表明生产者对价格的敏感程度越小，（9）式也容易成立，有利于经济稳定•反之，当:
1较大，表明消费者对商品的需求和生产者对商品的价格都很敏感，则会导致（10）式成
立，经济不稳定.
应该指出，［和［都是有量纲的，它们的大小都应在同一量纲单位下比较.同时，:
-
和1的量纲互为倒数，所以:
'■是无量纲量，就可以与I比较大小了.
［经济不稳定时的干预办法］基于上述分析我们还可以看到，当市场经济趋向不稳定时政府有两种干预办法.一种办法是使尽量小，不妨考察极端情况=0,即需求曲线水
平（图3），这时不论供应曲线如何（即不管1多大），（9）式总成立，经济总是稳定的•实际上这种办法相当于政府控制物价，无论商品数量多少，命令价格不得改变.
另一种办法是使1尽量小，极端情况是1=0,即供应曲线竖直（图4），于是不论需
求曲线如何（不管〉多大），也总是稳定的•实际上这相当于控制市场上的商品数量，当
学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。
一一阿卜日法拉兹
阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。
供应量少于需求时，从外地收购或调拨，投入市场；当供过于求时，收购过剩部分，维
持商品上市量不变•显然，这种办法需要政府具有相当强的经济实力.
［模型的推广］如果生产者的管理水平和素质更高一些，他们在决定商品生产数量Xk4
时，不是仅根据前一时期的价格yk，而是根据前两个时期的价格yk和yk」，为简单起
见不妨设根据二者的平均值（yk+yk』）/2,于是供应函数
（2）式表为
工o=牙（必+I-2%）
（12）
相应地，
（2）式的线性近似表达式（6）修改为
其中一：
平均价格上涨1个单位时的增量Xk1•又设需求函数仍由
（1）,（5）式表示•则由
（5）,（12）式得到
2斗I+住甌*1+昭“-（I+如）帀M=1,2,…（13）
（13）是二阶线性常系数差分方程•为寻求是k>■-:
时xk>x0,，即Po点稳定的条件,
不必解方程（13），只须利用判断稳定的条件一一方程特征根均在单位圆内.
由方程（13）的特征方程
2A2+咿+唧=0
阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。
容易算出其特征根为
_口0士5/（ap）1—8a/?
4
当_：
「>8时显然有,
_口0_（apY—Safi”_口0
4―J~T
从而，妇>2，九2在单位圆外.下面设aP<8，由（14）式可以算出
要使特征根均在单位圆内，即人,2<1，必须
a（3<2（16）
这就是点稳定的条件.与原有模型中Po点稳定的条件（9）式相比，参数〉，1的范围放大了•可以想到，这是因为生产者的管理水平和素质提高，对市场经济的稳定起着有利影
响的必然结果.
教与学的方法：
米取讲解式、启发式教学并用多媒体技术辅助教学。
作业：
P222ex1
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