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建模论文
第三届“ScienceWord杯”数学中国
数学建模网络挑战赛
承诺书
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第三届“ScienceWord杯”数学中国
数学建模网络挑战赛
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题目Braess悖论的形成及研究的现实意义
关键词Braess悖论；交通规划；北京二环交通；最小二乘法；GPS应用
摘要：
Braess悖论的本质是非合作网络中的Nash平衡点不在Pareto边界上。
在本文中，我们通过建立模型来分析这种现象产生的原因及产生这种现象要满足的条件，通过模型，结合实际城市的道路交通情况来判断某个城市的交通拥堵的罪魁祸首是不是Braess悖论。
从而提出最优的避免Braess悖论的方法。
最后我们结合建立的模型讨论GPS导航系统应用后的交通情况。
英文摘要
Braessparadoxofformationandrealisticsignificanceofresearch
Abstract:
TheessenceofBraessparadoxofNashequilibriumnetworkisnotParetoboundary.Inthispaper,weanalyzethemodelestablishedbythereasonsofthisphenomenonandtomeettheconditions,practical,throughthemodelofurbanroadtrafficsituationtojudgeacitytrafficjamsculpritisn'tBraessparadox.ThustheoptimummethodtoavoidBraessparadox.Finally,wediscussthemodelwithGPSnavigationsystemappliedafterthetrafficsituation.
Keywords:
Braessparadox;Transportationplanning;Beijingontraffic;Least-squaremethod；GPSapplication
参赛队号
所选题目
一、问题的背景及重述
1.1问题的背景：
问题1；1968年意大利数学家DietrichiBraess发现交通网络中的Braess悖论现象。
在此之前，人们一直认为任意交通设施的改善能提高交通系统通行能力。
然而Braess指出：
不考虑网络出行需求和路径选择原则，单方面地增加路网中的路段可能会使路网的通行状况变差.Braess就满足Wardrop第一出行原则的用户平衡分配问题给出了一个实例，即在一个交通网络上增加一条路段，使网络上的出行时间增加，而且是所有出行者的出行时间都增加。
这一附加路段不但没有减少交通延误，反而降低了整个交通网络的服务水平。
问题2；交通拥挤的情况下通过增加路段来缓解，结果通过模型和实际情况分析交通状况更遭的..Braess悖论现象的存在，通过上述所建模型的改进和优化，引入GPS导航系统，进一步分析嚼用状况，并与问题1结果进行比较
1.2问题的重述：
交通网络中各路段的容量直接影响到车流量在网络上的分布，Braess悖论是由于司机从个人利益出发，选择出行时间最小的路径，致使系统达到均衡状态时总的出行时间增加。
二、模型一
2.1模型假设
（1）假设北京市规划道路前，从Ｏ地到D地只有两条路径，
（2）规划后在A—B间增建一条道路，且A—B间道路很短
（3）不考虑因交通灯转换停车的时间
（4）不考虑因意外车祸事故延迟的时间
（5）由于0A，BD段处瓶颈位置，路程很短，因此出行时间为0
（6）由于ＯＢ，ＡＤ处于对称位置，ＡＢ为新建路段，设ＯＢ，ＡＤ ，ＡＢ三段的延时参数相同，OA，BD的延时参数也相同
假设从某地到另一地开始时有两条路径，后来又在两个中点站修了一条路，假定这条路BA很短，不考虑在其上面车辆所花费的时间。
如下图
（1）所示：
2.2符号说明
：
自由流情况下，在某路段行车所需时间；
：
路段延时参数；
T：
修建BA路段前每分钟通过路段的车辆；
：
修建BA路段后路段每分钟通过的车辆；
：
通过某路段的车辆；
ψ（x）：
路段的车流量的函数；
：
行车所有的时间。
2.3模型分析
如图
（1），现有160辆车要从O到D，在没有修通BA路段前有两种选择OAD和OBD。
假定经过OA和BD的时间为固定值10分钟；通过路段OB和AD的时间为
，则通过A点到达D需要的时间为
；同样通过B所用时间为
。
出于个人利益，任何一个理性的司机都会选择较短交通状况较好的路，又A+B=160，综合考虑当A=B=80时所用总时间最小为10+4=14（分钟）。
若BA路段修建通车，不考虑通过AB路段所用时间，此时到达A点有两条路可走，即
和
。
①
所需时间
=10（分钟）②
做最坏的打算，所有车辆都走这条路线，到达A点所需时间
（分钟）。
因此，从司机的利己心里可知所有的车辆都会走
这条路线，从而选择路线
，这时所用的时间
=8+8=16（分钟）。
我们可以看到虽然加了路段BA反而增加了行车时间。
一般问题的处理：
如图
（1）所示：
假设通过路段i路段的时间t=αi+βiψ（x），
=α2.，α3=α4，且同一路段
相同，不同路段一般不同。
ψ（x）是路段的车流量的函数，在较接近实际有便于运算的情况下取ψ（x）=x。
若出现下列方程组；
α1+β1x1≥α2+β2（γ-x1）;α3+β3（γ-
）≥α4+β4x2；
由图
（1）流量方向可知x1≥（γ-
），x2≥（γ-x1），可得β1β3≥β2β4。
也就是说只要满足β1β3≥β2β4就会出现就会出现Braess悖论。
三、模型二
3.1模型假设：
在模型一的基础上，现在从O地到D地同样有两条路，但每条路分为三段，分别为
和
。
AF则是后来建立的一条公路。
各参考量如下图
（2）所示：
3.2符号说明
：
自由流情况下，在某路段行车所需时间；
：
路段延时参数；
：
修建BA路段后路段每分钟通过的车辆；
：
通过某路段的车辆；
：
行车所有的时间。
3.3模型分析
从图中可知：
车辆在OE、OA、EF、AF、AB、BD、FD上所需行驶时间分别为
其中α1+α2=α3+α4,α5+α6=α4+α7,β4=0；
有下列不等式组；
α1+β1*x1+α3+β3*x1≥α2+β2*（γ-x1）+α4+β4*（γ-x1-x2）;α5+β5*x2+α6+β6*x2≥α4+β4*（γ-x1-x2）+α7+β7*（γ-x2）;x2≤γ-x1；
可以得到（β5+β6）/β2≥β4/（β1+β3）；
也就是说在这种情况下出现Braess悖论。
2.3模型的修正，在上面的两个模型中ψ（x）=x，在车辆较少时很好，但当车辆高于一定数值时差距就很大，粗略计算（数据有限可能存在很大误差）ψ（x）=x+ξ（x）
（C，a为参数）。
大致如图
Date={{},{},{},{},{},{},{},{},{},{},{}}
line=Fit[date,{1,x},x]
Plot[{line,parabola},{x,start,end}]
从上面的的分析数据可以看出，北京市二环
3.5模型的求解
路段
距离（m）
Flow
α
β
1
19375
30.0
64.58
0.0162
2
19475
37.915
52.63
0.131
3
13125
40.12
32.81
0.026
4
2625
35.21
75
0.009
5
16875
41.54
42.18
0.051
6
2645
31.21
88.16
0.020
7
13225
36.25
35.74
0.017
路段
距离（m）
Flow
α
β
1
7900
25.36
360
0.0362
2
3600
30.12
180
0.241
3
4500
35.26
180
0.056
4
9000
33.24
240
0.049
5
7700
35.62
480
0.151
6
7100
30.21
300
0.140
7
5000
31.02
240
0.027
次数
距离（m）
Flow（分钟/量）
T（分钟）
β
1
7900
20.3
10.47
0.0362
2
7900
25.6
11.54
0.0361
3
7900
27.3
11.96
0.0364
4
7900
26.4
11.60
0.0354
5
7900
27.4
11.96
0.03626
6
7900
28.4
12.117
0.0359
7
7900
24．5
11.2626
0.0358
次数
距离（m）
Flow（分钟/量）
T（分钟）
β
1
7900
121
10.47
0.0362
2
7900
153
11.54
0.0361
3
7900
163
11.96
0.0364
4
7900
158
11.60
0.0354
5
7900
164
11.96
0.03626
6
7900
170
12.117
0.0359
7
7900
147
11.2626
0.0358
由最小二乘法结合matlab软件求出α，β值，代入（β5+β6）/β2≥β4/（β1+β3），验证Braess悖论的存在。
7模型的优缺点
优点；1能够较为准确的分析并解释简单路径的交通拥挤的原因；
2可以为北京市交通局提供较为有用的道路参考设计方案，进而改善道路交通状况;
3让行人理解道路拥挤的原因，从而选择最优道路，节省时间
缺点；1由于模型较为简陋，不能较为全面的分析复杂路径的交通拥挤情况
2由于模型只考虑了简单的因素，忽略了其他客观因素，所以模型分析的结果有可能会与事实有偏差
8参考文献及参考书籍和网站
[1]周晶．城市交通系统分析与优化[M]．东南大学出版社，
2001．
[2]段里仁．城市交通概论——交通工程学原理与应用[M]．北
京：
北京出版社，1986．
[3]傅白白，交通运输系统工程与信息JournalofTransportationSystemsEngineeringandInformationTechnology
Vol.3No.4
November2003第三卷第四期，2003，11
[4]MathType数学公式编辑器，origion制图与数据处理软件，matlab软件
[5]使用的网址
，维基百科，
[6]同济大学数学系，高等数学第六版上下册，高等教育出版社，2007年
[7]胡晓东，运筹学基础，中国科学院数学与系统科学研究院
9附录
序号
高速路名称
日平均车流量
1
京石高速
94,184
2
八达岭高速
142,922
3
京沈高速
39,362
4
京哈高速
28,744
5
京开高速
40,965
6
六环高速
61,310
7
京承高速（一期）
63,463
8
机场北线高速
12,536
9
机场南线高速
在建
10
京津高速
在建
11
京包高速
在建
12
京平高速
在建
13
机场第二高速
在建
14
机场高速
153,000
15
京通快速路
100,713
16
京津塘高速（北京段）
60,000
路线车流量
高峰（辆/小时）
平峰
A线
3789
2457
B线
4948
3353
高价6车道
10914
8471
二环路
8460
7278
三环路
7827
5410
长安街
7921
6740
下表为北京市车流量
结束语
自从Braess悖论提出以来，此悖论就广泛受到人们的关注。
同时它也使人们对交通网络中增加某一路段不一定能减少交通压力、缩短车行时间这一观点有了更正确的理解。
这一诡异现象在交通网络中的地位也越来越突出。
本文通过两个合理有效的模型对相关问题进行了探索和解释。
模型一中通过对两点-五段模型的分析，简明扼要地阐述了Braess悖论的形成及主要影响因素。
模型二是对模型一的进一步改进，通过此两点-七段模型，我们给出了更切合实际的Braess形成条件。
通过此形成条件和北京二环内的实际交通情况，我们分析出北京二环路以内的路网中的交通拥堵确实是来源于Braess悖论所描述的情况。
另外一方面，GPS导航系统的使用确实会在一定程度上缓解交通堵塞。
本文中仍有一些需要进一步研究的地方。
例如考虑红绿灯的情况下此模型是否仍然成立；当网络扩大成多O-D复杂路网时，文中所建立的模型是否还适用等等。
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