高三数学二轮复习专题三第2讲数列求和及数列的综合应用教案.docx
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高三数学二轮复习专题三第2讲数列求和及数列的综合应用教案
2019-2020年高三数学二轮复习专题三第2讲数列求和及数列的综合应用教案
自主学习导引
真题感悟
1．（xx·大纲全国卷）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列
的前100项和为
A.
B.
C.
D.
解析 利用裂项相消法求和．
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
∵a5＝5，S5＝15，
∴
，
∴
∴an＝a1＋（n－1）d＝n.
∴
＝
＝
－
，
∴数列{
}的前100项和为1－
＋
－
＋…
－
＝1－
＝
.
答案 A
2．（xx·浙江）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N＋，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3，n∈N＋.
（1）求an，bn；
（2）求数列{an·bn}的前n项和Tn.
解析
（1）由Sn＝2n2＋n，得
当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1.
所以an＝4n－1，n∈N＋.
由4n－1＝an＝4log2bn＋3，得bn＝2n－1，n∈N＋.
（2）由
（1）知anbn＝（4n－1）·2n－1，n∈N＋，
所以Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋（4n－1）·2n－1，
2Tn＝3×2＋7×22＋…＋（4n－5）·2n－1＋（4n－1）·2n，
所以2Tn－Tn＝（4n－1）2n－[3＋4（2＋22＋…＋2n－1）]＝（4n－5）2n＋5.
故Tn＝（4n－5）2n＋5，n∈N＋.
考题分析
数列的求和是高考的必考内容，可单独命题，也可与函数、不等式等综合命题，求解的过程体现了转化与化归的数学思想，解答此类题目需重点掌握几类重要的求和方法，并加以灵活应用．
网络构建
高频考点突破
考点一：
裂项相消法求数列的前n项和
【例1】（xx·门头沟一模）数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝
（n∈N＋），求数列{bn}的前n项和Tn.
[审题导引]
（1）运用公式an＝
求an，注意n＝1时通项公式an；
（2）裂项法求和．
[规范解答]
（1）由已知，当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，
∴数列{an}的通项公式为an＝
（2）由
（1）知，
bn＝
当n＝1时，T1＝b1＝
，
当n≥2时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＋
＝
－
，
∴{bn}的前n项和Tn＝
－
.
【规律总结】
常用的裂项技巧和方法
用裂项相消法求和是最难把握的求和问题之一，其原因是有时很难找到裂项的方向．突破这类问题的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧，如：
（1）
＝
；
（2）
＝
（
－
）；
（3）C
＝C
－C
；
（4）n·n！
＝（n＋1）！
－n！
等．
[易错提示] 利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面：
（1）裂项过程中易忽视常数，如
容易误裂为
－
，漏掉前面的系数
；
（2）裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误．
【变式训练】
1．（xx·大连模拟）已知函数f（x）＝
，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f（an）（n∈N＋）．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）若数列{bn}满足bn＝
anan＋1·3n，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求Sn.
解析
（1）由已知，an＋1＝
，∴
＝
＋1.
∴
＋
＝3
，并且
＋
＝
，
∴数列
为以
为首项，3为公比的等比数列，
∴
＋
＝
·3n－1，∴an＝
.
（2）bn＝
＝
－
，
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
－
＋…＋
－
＝
－
.
考点二：
错位相减法求数列的前n项和
【例2】（xx·滨州模拟）设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知an＋1＝2Sn＋2（n∈N＋）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）在an与an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成公差为dn的等差数列，求数列
的前n项和Tn.
[审题导引]
（1）利用递推式消去Sn可求an；
（2）利用错位相减法求数列
的前n项和．
[规范解答]
（1）由an＋1＝2Sn＋2（n∈N＋），
得an＝2Sn－1＋2（n∈N＋，n≥2），
两式相减得an＋1－an＝2an，
即an＋1＝3an（n∈N＋，n≥2），
又a2＝2a1＋2，
∵{an}是等比数列，所以a2＝3a1，
则2a1＋2＝3a1，
∴a1＝2，∴an＝2·3n－1.
（2）由
（1）知an＋1＝2·3n，an＝2·3n－1.
∵an＋1＝an＋（n＋1）dn，∴dn＝
，
令Tn＝
＋
＋
＋…＋
，
则Tn＝
＋
＋
＋…＋
①
Tn＝
＋
＋…＋
＋
②
①－②得
Tn＝
＋
＋
＋…＋
－
＝
＋
×
－
＝
－
.
【规律总结】
错位相减法的应用技巧
（1）设数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，求数列{anbn}的前n项和可用错位相减法．
应用错位相减法求和时需注意：
（2）①给数列和Sn的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论；
②在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n.
【变式训练】
2．已知等差数列{an}满足：
an＋1＞an（n∈N＋），a1＝1，该数列的前三项分别加上1、1、3后顺次成为等比数列{bn}的前三项．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设Tn＝
＋
＋…＋
（n∈N＋），若Tn＋
－
＜c（c∈Z）恒成立，求c的最小值．
解析
（1）设d、q分别为数列{an}的公差、数列{bn}的公比．
由题意知，a1＝1，a2＝1＋d，a3＝1＋2d，分别加上1、1、3得2、2＋d、4＋2d，
∴（2＋d）2＝2（4＋2d），∴d＝±2.
∵an＋1＞an，∴d＞0，∴d＝2，
∴an＝2n－1（n∈N＋），
由此可得b1＝2，b2＝4，∴q＝2，∴bn＝2n（n∈N＋）．
（2）Tn＝
＋
＋…＋
＝
＋
＋
＋…＋
，①
∴
Tn＝
＋
＋
＋…＋
.②
由①－②得
Tn＝
＋
＋
＋
＋…＋
－
.
∴Tn＝1＋
－
＝3－
－
＝3－
，
∴Tn＋
－
＝3－
＜3.
∴使Tn＋
－
＜c（c∈Z）恒成立的c的最小值为3.
考点三：
数列与不等式的综合问题
【例3】已知数列{an}的前n项和Sn满足：
Sn＝a（Sn－an＋1）（a为常数，且a≠0，a≠1）．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝a
＋Sn·an，若数列{bn}为等比数列，求a的值；
（3）在满足条件
（2）的情形下，设cn＝
－
，数列{cn}的前n项和为Tn，求证：
Tn＞2n－
.
[审题导引] 第
（1）问先利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）把Sn与an的关系式转化为an与an－1之间的关系，判断数列的性质，求其通项公式；
（2）根据第
（1）问，求出数列{bn}的前三项，利用b＝b1×b3列出方程即可求得a的值；
（3）先求出数列{cn}的通项公式，根据所求证问题将其放缩，然后利用数列求和公式证明．
[规范解答]
（1）当n＝1时，S1＝a（S1－a1＋1），
得a1＝a.
当n≥2时，Sn＝a（Sn－an＋1），
Sn－1＝a（Sn－1－an－1＋1），
两式相减得an＝a·an－1，得
＝a.
即{an}是等比数列．
所以an＝a·an－1＝an.
（2）由
（1）知bn＝（an）2＋
an，
bn＝
，
若{bn}为等比数列，则有b
＝b1b3，
而b1＝2a2，b2＝a3（2a＋1），b3＝a4（2a2＋a＋1），
故[a3（2a＋1）]2＝2a2·a4（2a2＋a＋1），解得a＝
，
再将a＝
代入bn，得bn＝
n，结论成立，
所以a＝
.
（3）证明 由
（2），知an＝
n，
所以cn＝
－
＝
＋
＝2－
＋
.
所以cn＞2－
＋
.
Tn＝c1＋c2＋…＋cn＞
＋
＋…＋
＝2n－
＋
＞2n－
.结论成立．
【规律总结】
数列与不等式综合问题的解题方法
（1）在解决与数列有关的不等式问题时，需注意应用函数与方程的思想方法，如函数的单调性、最值等．
（2）在数列的恒成立问题中，有时需先求和，为了证明的需要，需合理变形，常用到放缩法，常见的放缩技巧有：
①
＜
＝
；
②
－
＜
＜
－
；
③2（
－
）＜
＜2（
－
）；
④利用（1＋x）n的展开式进行放缩．
【变式训练】
3．已知数列{bn}满足：
bn＋1＝
bn＋
，且b1＝
，Tn为{bn}的前n项和．
（1）求证：
数列
是等比数列，并求{bn}的通项公式；
（2）如果对任意n∈N＋，不等式
≥2n－7恒成立，求实数k的取值范围．
解析
（1）证明 对任意n∈N＋，都有bn＋1＝
bn＋
，
所以bn＋1－
＝
，
则
是等比数列，首项为b1－
＝3，公比为
，
所以bn－
＝3×
n－1，即bn＝3×
n－1＋
.
（2）因为bn＝3×
n－1＋
，
所以Tn＝3
＋
＝
＋
＝6
＋
.
因为不等式
≥2n－7，
化简，得k≥
，对任意n∈N＋恒成立，
设cn＝
，
则cn＋1－cn＝
－
＝
，
当n≥5时，cn＋1≤cn，数列{cn}为单调递减数列；
当1≤n＜5时，cn＋1＞cn，数列{cn}为单调递增数列．
而
＝c4＜c5＝
，所以n＝5时，cn取得最大值
.
所以要使k≥
对任意n∈N＋恒成立，k≥
.
名师押题高考
【押题1】在数列{an}中，an＝
＋
＋…＋
，又bn＝
，则数列{bn}的前n项和Sn＝________.
解析 an＝
（1＋2＋3＋…＋n）＝
，
bn＝
＝8
∴数列{bn}的前n项和为
Sn＝8
＝8
＝
.
答案
[押题依据] 求数列的通项公式与数列的前n项和都是高考的热点．本题综合考查了以上两点及等差数列的求和公式，考查数列知识全面，综合性较强，故押此题．
【押题2】已知数列{an}是首项a1＝1的等比数列，且an＞0，{bn}是首项为1的等差数列，又a5＋b3＝21，a3＋b5＝13.
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）求数列
的前n项和Sn.
解析
（1）设数列{an}的公比为q，{bn}的公差为d，
则由已知条件得：
，
解之得：
.
∴an＝2n－1，bn＝1＋（n－1）×2＝2n－1.
（2）由
（1）知
＝
.
∴Sn＝
＋
＋
＋…＋
＋
.①
∴
Sn＝
＋
＋…＋
＋
.②
①－②得：
Sn＝
＋
＋
＋…＋
－
＝
＋
－
＝
＋
－
＝
＋1－
n－1－
.∴Sn＝3－
.
[押题依据] 数列求和中的错位相减法因运算量较大，结构形式复杂．能够较好地考查考生的运算能力，有很好的区分度，而备受青睐．本题综合考查了等差、等比数列的通项公式及错位相减法求和，难度中等，故押此题．
2019-2020年高三数学双曲线专题教案新人教A版
一、考纲要求：
双曲线的定义及标准方程
a
双曲线的简单几何
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